痔になりやすい生活習慣とは?

関数のグラフでy'は増減を、
y''は凹凸を意味しますが、
y'''はなにを意味するか強引にでも解釈したいです。

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A 回答 (9件)

y' は正ならば増加,負ならば減少だけでなく,絶対値が大きければ急勾配,小さければ緩勾配もわかります。


y''は正ならば凹,負ならば凸がわかります。しかし,放物線 y=x^2 はいたる所で y''=2 ですが,頂点の近くと遠くでは,凹み具合が全く違います。
逆に,円は膨らみ具合はどこでも同じなのに,y'' の値は違います。
曲がり具合(曲率)は y'' だけでなく y' も関係して決まります(参考URL「曲線の曲がり具合」参照)。
ですから,グラフを見て y'' の値の大小を読み取るのは難しいでしょう。
y''' になると,正負の違い(y''の増加減少)すらグラフから読み取ることは難しいでしょう。

参考URL:http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Misc/Shiryou/i …

この回答への補足

ありがとうございます。自分なりに整理してみました。

y=f(x)で表されるなめらかな曲線があったとき、その1点とその近傍に注目します。
それを、1次関数で近似した接線で、増加かどうかを見て取れる。
それを、2次関数で近似すると、下への膨らみ(凸)かどうかを見て取れる。
ところで、円で近似したのが曲率円で、曲がり具合が見て取れる。
そして、3次関数で近似すると。。。。
たとえば、3次の係数がプラスの3次関数のグラフの極大点の近傍と、
3次の係数がマイナスの3次関数のグラフの極大点の近傍とでは、視覚的に違いは無い。つまり、視覚的には何も見て取れない。
近傍の点のいくつかを精密に測定して、計算にて3次関数で近似したら、その近似関数の3次の係数が判別できるかもしれないが。

物理な考え。xを時間、y=f(x)を距離とし、車で走っているという状況をイメージしてみる。ある時間と、その時間の近傍での人間の感覚で、n次導関数の値が0であるかどうかを判別できるか?

加加速度(躍度)がプラスの値から、0になり、そしてマイナスになるという状況を考えて見ます。
加加速度(躍度)がプラスのとき、加速度が増していくので、車に乗っている人間の体は、後ろにひきつけられ続けます。
人間は、姿勢を保とうと、前のめりになり続けようとします。
加加速度(躍度)が減少していき、0になりそして、
マイナスになったとき、加速度は減少しはじめます。
車に乗っている人間の体が、後ろにひきつけられる力は弱まり始めます。
人間は、少し先を予測して、体を前のめりになり続けようとしていたのに、行き過ぎてしまい、つんのめってしまうと思います。
そのときが、加加速度(躍度)が0になった時。

補足日時:2006/03/24 13:58
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No.4 の siegmund です.



No.6 の take008 さんのご説明はなかなか説得力を感じました.
さすが,専門家です.

y=x^4 のグラフですと,y''' は x と共に増加します(x>0).
そう思って y=x^4 のグラフを見れば確かにそう思えますが,
知らずに見て y'' (下に凸,上に凸の区別)の様に明確には判定できないと
思います.
結局,直接 y のグラフを見て簡単にはわからないでしょう.
もちろん,デジタイザなどで曲線を詳しく調べれば y''' はわかるでしょうが,
それは質問の意図ではないですよね.

No.4 の私の回答:
> 急に加速度がなくなると,つっかい棒をはずされたようなもので
> (あるいは相撲ではたき込まれた,など),
> 体は前のめりになってしまいます.

ちょっと間違えたみたいです.
体が前のめりにならないように,後ろ向きに体の力が入っているんですね.
で,車が停まると急に加速度が無くなるから,一旦体がシートに押しつけられ,
その反動でもう一度前のめりになる,ですかね.
頭は質量が大きいから,これを派手にやると(衝突など)むち打ちに
なるということか.

No.7 の jbg さん:
> 「加加速度」略して「加っ君」
> いい命名でしょう。(笑)

な,なるほど(^^).
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微分というのは変化率を取り出す操作ですので、グラフを視覚的に読み取ったときに





yを知るには: 位置が (1) x軸より下ならy=負  (2) x軸上ならy=0  (3) x軸より上ならy=正


y'を知るには: 傾き(位置の変化率)が (4) 右下がりならy'=負  (5) 水平ならばy'=0  (6) 右上がりならy'=正


y''を知るには: 傾きの変化率が (7) 凸ならy''=負  (8) 直線ならy''=0  (9) 凹ならy''=正


となっていることを念頭におけば y, y', y'' の値の符号くらいは大体知ることができますね。


これらを見ると (6) というのは (1)→(3) の変化を簡単に表現したものであり、逆に (3)→(1) への変化を表現したものが (4) であると判ります。 ついでにy位置が一定なら (5) です。

同様に、(9) というのは (4)→(6) の変化を簡単に表現したもので、逆に (6)→(4) への変化を表現したものが (7) であると判ります。また、y'すなわち傾きが一定不変なら (8) です。


y''' については、適切な用語が私には不明なのですが、同様の関係を日本語で表現した、

y''' が正であるのは、(7)→(9)への変化、すなわち凸から凹へと移り変わる領域、

y''' が負となるのは(9)→(7)への変化、すなわち凹から凸へと移り変わる領域、

y'''=0 となるのは 傾きの変化率 が一定のところ。

といったことに注意しながら観察すると、ある程度は推定可能でしょう。
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#3の者です。



#4さんが言われる「加加速度」という言葉は、私は知りませんでした。
(若しくは、遠い過去に聞いたのを、私が忘れたのかも)


「加加速度」略して「加っ君」
いい命名でしょう。(笑)


さて、

>>>
そして、y'''の値が正か負であるかを、視覚的に見分ける方法があれば教えていただきたいです。


なるほど。

私なりに、ちょっと考えてみました。

「y’’’が正か負かを視覚的に見分ける」

これが出来るということは、

「正と負の境目を視覚的に見分けることができる」

つまり

「y’’’=0 となる場所を目で発見できる」

ということになります。

2次微分までを復習すると

y=0 → グラフとx軸が交わるところ
y’=0 → 上りと下りの境目(極値)
y’’=0 → 凹凸の境目

果たして、これ以上の高次微分の情報を、グラフを目で見て読み取ることができるでしょうか?


-----(以下は蛇足)


そして、一見、
「y’’’は、凹凸の鋭さ(急峻さ)」
を表しているかのように思えます。
(私も第一感、そうだと思いました)


しかし、例えば、3つの解x=-1,0、+1 を持つ三次方程式
(x+1)・x・(x-1)=0

を関数にした

y=f(x)=(x+1)・x・(x-1)=x^3-x

y’=3x^2 -1
y’’=6x
y’’’=6

これを、
y=1億×f(x)
と比較しましょう。

y=1億・f(x)=1億・(x+1)・x・(x-1)=1億x^3-1億x

y’=1億3x^2 -1億
y’’=6億x
y’’’=6億

たしかにyが1億倍になったことにより、y’’’は1億倍になり、それによって例えば、極値を取る2つのx(=±√(1/3)) において「凹凸の鋭さ」みたいなものも1億倍になっています。
しかし、それと一緒に傾き(1次微分)も2次微分も1億倍になっています。

これは結局、y軸の目盛りの刻みを1億倍したり、1億分の1にしている徒労をしているにすぎません。


以上のことから、3次微分の正・負などをグラフを目で見て判定することは出来ない、という私なりの結論になりました。
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> そして、y'''の値が正か負であるかを、視覚的に見分ける方法があれば教えていただきたいです。



X'-Y'座標にすれば凹凸
X''-Y''座標にすれば増減
X'''-Y'''座標にすれば位置
で+-がわかると思うよ。
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関数のグラフで,


y',y'' がゼロでない場合は,y'''の効果は
ちょっと見えにくいのではないかと思います.

jbg さんご指摘の「カックン」は「加加速度」あるいは「ジャーク(jerk)」
と呼ばれています.
重量挙げのジャークと同じ言葉です.
物理の運動方程式では,
F = ma (F:力,m:質量,a:加速度)
ですから,加速度が急に変化することはと,
力が急に変化することと同じです.
車でブレーキを掛けたときには負の加速度が働いていますから,
それに逆らうように同乗者の体には力が入っています.
急に加速度がなくなると,つっかい棒をはずされたようなもので
(あるいは相撲ではたき込まれた,など),
体は前のめりになってしまいます.
したがって,jbg さんの言われるように,
加速度を徐々に変えることで同乗者は不快な思いをしないで済みます.
運転者は予想がついているから,「カックン」になっても同乗者ほど
不快な思いはしないですね.
そういえば,運転している本人が車に酔うという話は
聞いたことがないような気がします.
やっぱり,予測の効果でしょうかね.

何だか,雑談で失礼しました.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。加加速度やジャークは初耳です。あとで、調べてみます。

y=f(x)のグラフで、ある1点に注目したとします。
そのyの値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
x軸より上にあるか下にあるかです。
そのy'の値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
増加しているか減少しているかです。
そのy''の値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
凹か凸かです。
そして、y'''の値が正か負であるかを、視覚的に見分ける方法があれば教えていただきたいです。

お礼日時:2006/03/20 00:44

単に、関数のグラフで考えると、3次微分以降は、つまんないんですが、


私は、「意味のある」考え方、実用性のある考えかたが大事だと思います。


私が若かりし頃に気づいた、3次微分の良い例を紹介しましょう。



位置Xを時間で1回微分すれば、速度です。
X’=v

2回目の微分は、加速度です。
X’’=a

以上のところまでは、高校・大学で習います。

さて、
3回目の微分は、加速度の時間変化です。
X’’’=「カックン」



なぜ私は、時間で3回微分したものを
「カックン」
と呼ぶか?


・バスに乗っているときに、運転手がブレーキ踏んだり、ギアチェンのときアクセルをいったん戻したりするときに、「カックン」


・クルマの運転で、ブレーキを一定の強さで踏み続けていて、実際クルマが停止した瞬間の「カックン」
(動摩擦力による負の加速度が、速度に依存せずに速度がゼロでないうちは一定で、それが、速度ゼロになった瞬間に負の加速度が急にゼロになるために「カックン」が起こる)


以上のことをわかって運転していれば、同乗者にとって快適な運転が出来ます。
赤信号が見えたらブレーキを踏み始め、その交差点の寸前ぐらいに来たら、ブレーキを徐々に弱めて、ふわっと停止。



Xをスカラーでなく、2~3次元のベクトルで考えれば、さらに、色々な例はあると思います。
例えば、急ハンドルのときに感じる衝撃とか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。加加速度などという概念は初耳です。あとで、調べてみます。

y=f(x)のグラフで、ある1点に注目したとします。
そのyの値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
x軸より上にあるか下にあるかです。
そのy'の値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
増加しているか減少しているかです。
そのy''の値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
凹か凸かです。
そして、y'''の値が正か負であるかを、視覚的に見分ける方法があれば教えていただきたいです。

お礼日時:2006/03/20 00:46

テイラー展開をご存じでしょうか?


ある関数y=f(x)があるときに
f'(x),f''(x),f'''(x)…が求まれば、f(x)をxの多項式で書くことができますよね。
これは言い換えると
f(x),f'(x),f''(x),f'''(x)…が求まると、グラフの形がわかるということです。
(逆に求まらないものはグラフが描けないことが多い)

ですからy'''だけでなくその他の導関数すべてが意味するのは、その関数のグラフの形なんです。
「形」の特徴の一部として増減や凹凸があり、それがy',y''だけを見ただけでわかるんです。
でもグラフの完全な形はy',y''をちょっと見ただけではわからないですよね、
完全な形まで知ろうと思えば残りの導関数を調べる必要があるんです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
y=f(x)のグラフで、ある1点に注目したとします。
そのyの値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
x軸より上にあるか下にあるかです。
そのy'の値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
増加しているか減少しているかです。
そのy''の値が正か負であるかは、視覚的に見分けられます。
凹か凸かです。
そして、y'''の値が正か負であるかを、視覚的に見分ける方法があれば教えていただきたいです。

お礼日時:2006/03/20 00:45

y'とy''の関係とy''とy'''の関係は同じです。


つまり、あなたの表現で言えば、y'''はy''の増減を表し、y'''はy'の凹凸を意味します。
連鎖している感じですね。

それとも、もっと深く知りたいということでしょうか?
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(1)
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Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
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ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

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となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qlogx/xの極限でロピタルはダメ??

x→+0の時の(logx)/xの極限を求めたいのですが、どうすればよいのでしょう?

logx自体は-∞で、1/x自体は+∞なので掛けて-∞としていたのですが、ロピタルの定理を使うと答えが違ってしまいます。

(logx)'=1/xと、(x)'=1で
x→+0で1/xなので+∞になってしまいます。
何故なのでしょうか?

Aベストアンサー

生兵法は大疵の基。同じことわざで、生兵法、知らぬに劣るです。

ロピタルの定理は、分母と分子が微分可能なときに、∞/∞または0/0の不定形極限になっているときのみ、適用できます。それ以外では使ってはダメ。証明を知らずにただロピタルが万能と過信している、そういう間違いをする人はよくいます。

極限の問題、まずは形式的に極限を求めるのです。この場合は-∞/+0の形だから、何も考えずとも-∞とできなくてはいけない。ものすごく負で小さい数をものすごく正で小さい数で割るわけです。たとえば、-1兆÷(1000億分の1)を想像してみましょう。これは決して不定形などではありません。ロピタルの定理や、あるいは有理化など、いろいろなテクニックを習うでしょうが、それはすべて不定形解消のための技であって、不定形になっていないときはそんなことをする必要はまったくないのです。

ちなみにx→+∞のときは、∞/∞になってますので、この場合はロピタルの定理使ってもいいです。使わなくてもできますけど。

参考URL:http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/study/lhopital.html

生兵法は大疵の基。同じことわざで、生兵法、知らぬに劣るです。

ロピタルの定理は、分母と分子が微分可能なときに、∞/∞または0/0の不定形極限になっているときのみ、適用できます。それ以外では使ってはダメ。証明を知らずにただロピタルが万能と過信している、そういう間違いをする人はよくいます。

極限の問題、まずは形式的に極限を求めるのです。この場合は-∞/+0の形だから、何も考えずとも-∞とできなくてはいけない。ものすごく負で小さい数をものすごく正で小さい数で割るわけです。たとえば、-1兆÷(...続きを読む

Qセンター過去問(追試験)ってやるべきですか?

はじめまして。センターを控えた国公立理系志望の高3です。センター受験科目は、英語、数学、物理、国語、化学、地理です。

過去問(本試験)や河合の黒本、駿台の青本は終わっちゃって、これからやる問題集が切れてきました。
なので過去問(追試験)もやろうかなと思っています。
しかし学校の先生は追試は難しいからやっても意味ないと言っていました。
そこで質問なのですが、本試験と追試験のレベルが違いすぎてやらない方がいい科目ってなんですか?また、やった方がいい科目とか何年分やった方がいいとか教えてください。お願いします!!

Aベストアンサー

自分はあまり追試験の過去問はオススメしません。
やはり内容はそこそこ難しいのもありますし、
それをする時間があまりにももったいないからです。

過去問・黒本・青本、すべて3回以上やってはどうですか?
全試験の解答時間を3/4に減らしてやってみましょう。
なかなか回答速度があがって、即実践できる勉強方法ですよ!

それと、おせっかいかもしれませんが、質問者様は寝るべきです。
2時まで起きて朝8時(睡眠時間6時間と仮定)に起床するよりか
12時で寝て6時に起きて勉強した方がモノ覚えが数倍良く、
なおかつスッキリした一日をむかえることができますよ!
今が勝負時です!先生や親のいうことがうっとうしくなる時期ですが、
自分が正しい!と思って頑張ってくださいね!
合格できることを祈っております!


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