伝達関数が1/(s^2+s+1)で与えられているときのボード線図(ゲインと位相)の概形を教えてください。どこが折点周波数になって傾きがどれくらいとか
だいたいの形でいいんでお願いします。また、その理由もお願いします。

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A 回答 (1件)

ここでボード線図は描けませんが、


解りやすく簡単にいいますと、一般的に、LP系は分子が常数(この常数は全ての帯域に係るゲインで、ここでは1)になり、
2次系であれば、1/(T^2S^2+(1/Q)TS+1)の形をなします。
ここで、実関数でみればSはjw(オメガ)で複素周波数を表し単位は[1/t]、Tは時定数で単位は[t]になります。また、Qは2次系
の場合のf0(すなわちS=1/T)のときのゲインを表しています。
出題の伝達関数では、T=1、Q=1となるわけです。
さて、foはS=1/Tの点ですが、Sをjwで置換えればわかるようにT^2S^2の項は-1となるとして、分母はT^2S^2+1が0になるので
伝達関数のゲインは、1/(1/Q)T)1/T)でQになります。
実際の値にあてはめれば、f=1(=fo)でゲイン1となるLPFの形になります。
なお、カットオフ周波数fcはあくまで-3dBの点の周波数ですから、このf0ではありません。も少し高いところになります。
また、2次のLPFはQが1/2^-1(ルート2分の1、約0.707=この時はf0=Fc)以上になると、それより低い周波数でかならずゲインが
1より大きくなります。このピークポイントとそのゲインおよびfcについては、s=jwと置換えて計算します。これはやって
みてください。
このように、TSを使うと計算も楽ですし、簡単にゲインが推測できて大変便利です。
なお、傾斜は12dB/octですが、これはSが無限大のときです。
従って、簡単には、s=0からs=1/Tのところまで(左から右に)直線を引き、s=1/Tの点から12dB/octで落ちる右下がりの直線
を引くと、これが漸近線になります。問題のような場合は(Q>0.707...)、実際のカーブはこの漸近線の常に上側になります。

ちなみに伝達関数が、TSならS=1/Tを通って0~∞に向う-6dB/oct、T^2S^2なら同じく-12db/oct、T^3S^3なら同じく-18db/oct
になり、TS+1ならS=0からS=1/Tはフラット(ゲイン1)で、そこから6dB/octで上り、T^2S^2+1なら12dB/octで上るカーブに
なります。
反対にこれらが、分母にある場合は、1/TSなら、S=1/Tを通って-6dB/octで0に至るカーブになります。
また、次数が1次の場合はS=1/Tのときfc=f0になります。
もし、TS/(TS+1)なら、S>=1/Tのところでは6db/octと-6db/octのカーブの合成(掛算=dBでは足し算)ですからフラットになり、
s<1/Tのところは6dB/octで上昇する、HPFになり、カットオフ周波数はfc=1/Tで、このときの位相は45°になります。

伝達関数の和の形の場合はどう類推できるでしょう。そうです、上のTS+1で見てみると解るように、常に”ゲインの大きい(上)
ところを残して漸近線を引けばいいのです。

以上ですが、これだけ知ってれば大体のカーブが描けると思います。細かなところは実際にjwに置換えて計算します。
いろいろやってみるといいと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時:2002/01/25 23:27

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再登場です。いろいろと詳しく述べるとめちゃめちゃ長くなるので、必要な部分に関連したことだけ詳しく述べますね。ということで、色々省いちゃってるので、わからなかったらおっしゃってください☆

・最小位相系
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つまり、
ゲインが負の傾き→位相が遅れる
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です。

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です。

・相補感度関数
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因数分解を教えて下さい。

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素直に一度全部を展開しましょう。

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次の曲線と2直線及びx軸で
囲まれた部分の面積Sを求めよ

(1)y=x²+2x+2 x=0 x=1

この問題の回答には
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S= … と書いてありますが
なぜ0以上yでは駄目なのかが
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教えてくださるとありがたいです。

Aベストアンサー

問題は、

(1)y=x²+2x+2
 x=0
 x=1
 及びx軸
で囲まれた面積を求めよ、ということですね?

そこで、
 y=x²+2x+2 = (x + 1)² + 1  ①
は、どうして y>0 であって、y≧0 でないのか、というのが質問ですね?

①式で
 (x + 1)² ≧ 0   ②
です。実数であれば、2乗すれば必ず「正の数」になりますから。ここで、等号が成立するのは、
 x + 1 = 0
つまり
 x = -1
のときだけです。

②式を①式に代入すれば
 (x + 1)² + 1 ≧ 1   ③
で、等号が成立するのは、
 x = -1
のときだけということになります。よいですか?

③では、1 > 0 ですから(等しくないので、等号が成立することはない)
 (x + 1)² + 1 ≧ 1 > 0
つまり
 (x + 1)² + 1 > 0
ということになります。「1 > 0 で、等しくないので、等号が成立することはない」のですから、ここには等号はあり得ません。


>例えば
>y= - 2x² - 1 (x= - 2 x=1)
>の場合だとyは0以上になるのは
>どうしてですか?

x=-2 だと y=-5、x=1 だと y=-3 で、y が0以上にはなりませんね。

この場合には、
 y = -2x² - 1 = -(2x² + 1)
ですから、すべての x に対して
 x² ≧ 0 (等号成立は x=0 のとき)
です。従って
 2x² + 1 ≧ 1 (等号成立は x=0 のとき)
です。
 1 > 0 (等号が成立することはない)
ですから、
 2x² + 1 > 0
従って
 y = -2x² - 1 < 0
です。

y ≦ -1 (等号成立は x=0 のとき)であって、y=0 となることはあり得ません。(だって、-1<0 で等号は成立しませんから)


どういうときに等号が成立するのか、考えている式は等号が成立し得るのか、ということを考えれば分かると思います。

問題は、

(1)y=x²+2x+2
 x=0
 x=1
 及びx軸
で囲まれた面積を求めよ、ということですね?

そこで、
 y=x²+2x+2 = (x + 1)² + 1  ①
は、どうして y>0 であって、y≧0 でないのか、というのが質問ですね?

①式で
 (x + 1)² ≧ 0   ②
です。実数であれば、2乗すれば必ず「正の数」になりますから。ここで、等号が成立するのは、
 x + 1 = 0
つまり
 x = -1
のときだけです。

②式を①式に代入すれば
 (x + 1)² + 1 ≧ 1   ③
で、等号が成立するのは、
 x = -1
のときだけということになります。よ...続きを読む


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