連立方程式の作り方

AB:BC=3:2とする平行四辺形ABCDがある。

(1)
平行四辺形ABCDの2辺BCとCD上を、点Bから点Dmade移動する点Pがある。
この点Pが点Bからx cm移動したときの△DBPの面積をy cm＾2とすると、xとyの間には次の関係が成り立つという。

・点PがBC上にあるとき
ｙ=(5/2)x

・点PがBC上にあるとき
y=-ax＋15(aは定数）

BCの長さを求める問題で


(5/2)*BC=-a*BC＋15

-a*(5/2)*BC＋15=0

の２つの連立方程式がどうやって出たのかわかりません。
教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/25 14:38

点Pが点C上のときはｘ＝ＢＣなので

ｙ＝（５／２）ｘ　（０≦ｘ≦ＢＣ）
にｘ＝ＢＣを代入して

ｙ＝（５／２）ＢＣ

ｙ＝－ａｘ＋１５　（ＢＣ≦ｘ≦（５／２）ＢＣ）
にｘ＝ＢＣを代入して

ｙ＝－ａＢＣ＋１５

でこの２つの面積が等しいと考えるので

（５／２）ＢＣ＝－ａＢＣ＋１５

であり、
＞（５／２）ＢＣ＝－ａ(5/2)ＢＣ＋１５　
ではありません。


別の考え方として、一次関数のグラフを使って考えてみます。
ｙ＝（５／２）ｘ　（０≦ｘ≦ＢＣ）を考えると、
これは正比例のグラフですね？
（ただし、定義域より０≦ｘ≦ＢＣですが）
この正比例のグラフの端の２点はそれぞれ
（０，０）（ＢＣ，（５／２）ＢＣ）　です。

次に
ｙ＝－ａｘ＋１５　（ＢＣ≦ｘ≦（５／２）ＢＣ）　のグラフですが、これは変化の割合－ａかつｙ切片が１５のグラフですね？
このままではａの値によってグラフが変わることがわかると思いますが、２つのグラフはｘ＝ＢＣで連続である、つまりｙ＝－ａｘ＋１５が（ｘ、ｙ）＝（ＢＣ，（５／２）ＢＣ）の点を通るので

（５／２）ＢＣ＝－ａＢＣ＋１５

という式を導くことができます。

この回答へのお礼

ありがとうございます、
こんなとき方をするんですね。
とても助かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2006/03/25 23:42

No.3 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/25 02:31

この問題は順を追って考えるとこうなります。

平行四辺形ABCDの2辺BCとCD上を、点Bから点Dまで移動する点P（点Bからx cm移動したもの）がある
→　ｘが取りうる範囲は　０≦ｘ≦ＢＣ＋ＣＤ

ここで、AB:BC=3:2という関係式から
ＣＤ＝（３／２）ＢＣ
であることがわかるので
ｘが取りうる範囲は　０≦ｘ≦（５／２）ＢＣ
と変形することができます。

ただし、この範囲は点ＰがＢＣ上にあるときと点ＰがＣＤ上にあるときに分割されます。
つまり、点ＰがＢＣ上にあるときは
０≦ｘ≦ＢＣ　となり、（ｘ＝０のとき点Ｐは点Ｂ上、ｘ＝ＢＣのとき点Ｐは点Ｃ上）
同様に点ＰがＣＤ上にあるときは
ＢＣ≦ｘ≦（５／２）ＢＣ　となります。
（ｘ＝ＢＣのとき点Ｐは点Ｃ上、ｘ＝（５／２）ＢＣのとき点Ｐは点Ｄ上）


次に、上記の範囲と与えられた面積の式の関係から

ｙ＝（５／２）ｘ　（０≦ｘ≦ＢＣ）
ｙ＝－ａｘ＋１５　（ＢＣ≦ｘ≦（５／２）ＢＣ）

が言えます。

ここで、三角形の性質から
点Ｐが点Ｂ上または点Ｐが点Ｄ上のとき　△ＤＢＰ＝０が言えるのですが、ｘ＝０を代入してもあまりうれしくないのでｘ＝（５／２）ＢＣの方を代入します。
∴　－ａ（５／２）ＢＣ＋１５＝０

また、点Ｐが点Ｃ上にあるときは上記２つの△ＤＢＰの面積は等しくなる（関数が連続になる）はずなので、
∴　（５／２）ＢＣ＝－ａＢＣ＋１５　

という連立方程式が出てきます。


つまり
＞点PがあるときBCと置き換えるときCDと置き換えもできますか？
については、「ＢＣと置き換えた」と考えるのではなく「ｘ＝ＢＣを代入した」と考えた方がいいでしょう。

もちろんＢＣ＝（２／３）ＣＤなので

ｙ＝（５／２）ｘ　（０≦ｘ≦（２／３）ＣＤ）
ｙ＝－ａｘ＋１５　（（２／３）ＣＤ≦ｘ≦（５／３）ＢＣ）

と考えて「ｘ＝（２／３）ＣＤを代入したときに２つの面積が等しい」としても正解にたどり着けますが、ＢＣの長さを求める問題なので全くお勧めできません。

この回答への補足

丁寧な説明ありがとうございます。
とても感謝をしております。
点Pが点C上のとき
ｙ＝（５／２）ｘ　（０≦ｘ≦ＢＣ）
ｙ＝－ａｘ＋１５　（ＢＣ≦ｘ≦（５／２）ＢＣ）
の二つの式は同じ面積ななので、
（５／２）ＢＣ＝－ａ(5/2)ＢＣ＋１５　

と考えていいのですか？

補足日時：2006/03/25 13:32

No.2 回答者： gingam78180 回答日時： 2006/03/24 16:42

点ＰがＣにある時とＤにあるときを考えて連立方程式を立てているだけだと思います。

・点ＰがＣにある時は、△DBPの面積は"(5/2)BC"と"-aBC＋15"の２つが考えられるのでこれが等しいとして上式が成立する。

・点ＰがＤにある時は、y=-ax+15の式においてxは(BC+CD),yは0だから、-a(BC+CD)+15=0が成り立つ。またAB:BC=3:2とあるので、AB=CDからAB:BC=CD:BC=3:2となりCD=(3/2)BCが成り立つ。よって-a(BC+CD)+15=-a(5/2)BC+15=0が成立する。

この回答への補足

＞・点ＰがＣにある時は、△DBPの面積は"(5/2)BC"と"-aBC＋15"の２つが考えられるのでこれが等しいとして上式が成立する。

点PがあるときBCと置き換えるときCDと置き換えもできますか？

補足日時：2006/03/24 18:13

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2006/03/24 13:57

上の式は点ＰがＣ上に有るときに２つのｙをイコールとしたものです。

下の式は点ＰがＤ上に有る時のものです。
ただＢＣではなく(ＢＣ＋ＣＤ)だと思いますが。