利用規約の変更について

AB:BC=3:2とする平行四辺形ABCDがある。

(1)
平行四辺形ABCDの2辺BCとCD上を、点Bから点Dmade移動する点Pがある。
この点Pが点Bからx cm移動したときの△DBPの面積をy cm^2とすると、xとyの間には次の関係が成り立つという。

・点PがBC上にあるとき
y=(5/2)x

・点PがBC上にあるとき
y=-ax+15(aは定数)

BCの長さを求める問題で


(5/2)*BC=-a*BC+15

-a*(5/2)*BC+15=0

の2つの連立方程式がどうやって出たのかわかりません。
教えてください。

A 回答 (4件)

点Pが点C上のときはx=BCなので


y=(5/2)x (0≦x≦BC)
にx=BCを代入して

y=(5/2)BC

y=-ax+15 (BC≦x≦(5/2)BC)
にx=BCを代入して

y=-aBC+15

でこの2つの面積が等しいと考えるので

(5/2)BC=-aBC+15

であり、
>(5/2)BC=-a(5/2)BC+15 
ではありません。


別の考え方として、一次関数のグラフを使って考えてみます。
y=(5/2)x (0≦x≦BC)を考えると、
これは正比例のグラフですね?
(ただし、定義域より0≦x≦BCですが)
この正比例のグラフの端の2点はそれぞれ
(0,0)(BC,(5/2)BC) です。

次に
y=-ax+15 (BC≦x≦(5/2)BC) のグラフですが、これは変化の割合-aかつy切片が15のグラフですね?
このままではaの値によってグラフが変わることがわかると思いますが、2つのグラフはx=BCで連続である、つまりy=-ax+15が(x、y)=(BC,(5/2)BC)の点を通るので

(5/2)BC=-aBC+15

という式を導くことができます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます、
こんなとき方をするんですね。
とても助かりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2006/03/25 23:42

この問題は順を追って考えるとこうなります。



平行四辺形ABCDの2辺BCとCD上を、点Bから点Dまで移動する点P(点Bからx cm移動したもの)がある
→ xが取りうる範囲は 0≦x≦BC+CD

ここで、AB:BC=3:2という関係式から
CD=(3/2)BC
であることがわかるので
xが取りうる範囲は 0≦x≦(5/2)BC
と変形することができます。

ただし、この範囲は点PがBC上にあるときと点PがCD上にあるときに分割されます。
つまり、点PがBC上にあるときは
0≦x≦BC となり、(x=0のとき点Pは点B上、x=BCのとき点Pは点C上)
同様に点PがCD上にあるときは
BC≦x≦(5/2)BC となります。
(x=BCのとき点Pは点C上、x=(5/2)BCのとき点Pは点D上)


次に、上記の範囲と与えられた面積の式の関係から

y=(5/2)x (0≦x≦BC)
y=-ax+15 (BC≦x≦(5/2)BC)

が言えます。

ここで、三角形の性質から
点Pが点B上または点Pが点D上のとき △DBP=0が言えるのですが、x=0を代入してもあまりうれしくないのでx=(5/2)BCの方を代入します。
∴ -a(5/2)BC+15=0

また、点Pが点C上にあるときは上記2つの△DBPの面積は等しくなる(関数が連続になる)はずなので、
∴ (5/2)BC=-aBC+15 

という連立方程式が出てきます。


つまり
>点PがあるときBCと置き換えるときCDと置き換えもできますか?
については、「BCと置き換えた」と考えるのではなく「x=BCを代入した」と考えた方がいいでしょう。

もちろんBC=(2/3)CDなので

y=(5/2)x (0≦x≦(2/3)CD)
y=-ax+15 ((2/3)CD≦x≦(5/3)BC)

と考えて「x=(2/3)CDを代入したときに2つの面積が等しい」としても正解にたどり着けますが、BCの長さを求める問題なので全くお勧めできません。

この回答への補足

丁寧な説明ありがとうございます。
とても感謝をしております。
点Pが点C上のとき
y=(5/2)x (0≦x≦BC)
y=-ax+15 (BC≦x≦(5/2)BC)
の二つの式は同じ面積ななので、
(5/2)BC=-a(5/2)BC+15 

と考えていいのですか?

補足日時:2006/03/25 13:32
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点PがCにある時とDにあるときを考えて連立方程式を立てているだけだと思います。



・点PがCにある時は、△DBPの面積は"(5/2)BC"と"-aBC+15"の2つが考えられるのでこれが等しいとして上式が成立する。

・点PがDにある時は、y=-ax+15の式においてxは(BC+CD),yは0だから、-a(BC+CD)+15=0が成り立つ。またAB:BC=3:2とあるので、AB=CDからAB:BC=CD:BC=3:2となりCD=(3/2)BCが成り立つ。よって-a(BC+CD)+15=-a(5/2)BC+15=0が成立する。

この回答への補足

>・点PがCにある時は、△DBPの面積は"(5/2)BC"と"-aBC+15"の2つが考えられるのでこれが等しいとして上式が成立する。

点PがあるときBCと置き換えるときCDと置き換えもできますか?

補足日時:2006/03/24 18:13
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上の式は点PがC上に有るときに2つのyをイコールとしたものです。



下の式は点PがD上に有る時のものです。
ただBCではなく(BC+CD)だと思いますが。
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