線形性ってのは言葉で説明するとどういう意味があるのでしょうか?
数式でT(x+y)=Tx+tyのとき線形性をもつと定義されていますが、
図か何かにしたときどういう意味があるのでしょう?
物理などで用いるとき、どういうときに使えるとか例を出してもらえるとありがたいです。
ご回答、お願いします。

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A 回答 (6件)

既にご理解を頂いていますように線形性は物理や数学では非常に重要な概念です。


系や問題が線形であれば
(1)問題をより簡単な問題に分解できる
(2)問題の見通しが立て易い(微分方程式でも、線形のものは非線形のものに比べてはるかに体系化・理論化が進んでいる)
などのメリットがあるため、その問題や系が線形であるかないかに関心が払われるのです。また非線形の問題でもある種の近似を摂り入れて線形の問題に帰着させることがありますが、これも非線形の問題より線形の問題の方が解き易いからです。

例はたくさんありますが、電気回路の例を挙げておきます。
図のように、抵抗やコンデンサ、コイルが入った回路があり、その中のある個所Xを流れる電流を求めたいとします。(抵抗やコンデンサ、コイルだけですからこの回路は線形です)

┌──────┐
│┷ ・X  │
│┯  ┨┠ ├○A
│ ─∧∧─ │ ↑電圧E
│─∧∧─  ├○B
│ ─ωω─ │
└──────┘

加える電圧Eが単純な直流や交流ならまだ簡単なのですが、
E=Ed+Ea sin(ωt)
という、直流と交流の重ね合わせだったら地点Xを流れる電流はどのように求めたらいいでしょうか? 根本原理に立ち返るなら、総てのコイル、抵抗、コンデンサについて
コイルの逆起電力 L×(di/dt)
コンデンサの両端に生じる電圧 C×(dV/dt)
(L: コイルのリアクタンス i:コイルを流れる電流 C:コンデンサの容量 V:コンデンサの両端の電圧)
から連立の微分方程式を立てれば解けます。ただしそれは決して楽な作業ではありません。

ところが線形性を使えば、地点Xに流れる電流を印加電圧Eの関数I(E)として表現した場合、
I(E)=I(Ed+Ea sin(ωt))=I(Ed)+I(Ea sin(ωt))
と分解することができます。(2番目の等号のところで線形性を利用しています)
すなわち、直流成分と交流成分それぞれについて問題を独立に解き、最後に足し算をすればよいことが分かります。これなら上記のように微分方程式を逐一立てなくても解けますから簡単です。(重ね合わせの原理などと呼ばれます)
このような問題の分解は非線形の系ではできず、非線形の系を解くのは一般に煩雑なのです。

この回答への補足

重ね合わせの原理は電磁気学でいやと言うほど出てきて分かる、と言うか原理だから認めざるを得ないのですが。
性質的に線形性と重ね合わせの原理は同じようなものであると考えてもいいのですか?

補足日時:2002/01/26 17:12
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数学が専門ではないのでうまい解答ではないですが



線形:方程式が1次の関数の和、差のみで表されるもの(変数の数は問わない)
   偏微分を行った時に導関数が定数で表されるもの

非線形:方程式に変数の2次以上の項を含むもの
    偏微分を行った時に導関数に変数が含まれるもの

図にした時は通常、直線(平面)になるものではないでしょうか。
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この回答へのお礼

ちょっと、僕には理解できませんが。
ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2002/01/28 20:13

>いまいち、具体的な創造に苦しむのですが・・・・。


yを0に収縮(という言葉で良かったカシラ.lim y→0)させれば.n次元まで拡張できますけど.

> 図やアップレットで説明しているサイトを知りませんか?
サイトは知りませんが.制御工学(発行所不明.同名の発行所の異なる本が2-3冊あるので要注意)の先頭のあたりに書いてあったような気がします。微分積分方程式の本のはじめの頃に.1次元の定義をn次元に拡張する方法を数式で説明してある部分があるはずです。そのあたりを見つけてください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちょっと探して見ます。

お礼日時:2002/01/28 20:11

そういえば、「制御工学」の教科書に書いてあったような気がします。


線形システムと非線形システムについてでした。
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言葉では.


連続である
とか
常に微分が出来る
とか言います。
不連続点(特異点?)を考えないで住みますから.区間を区切って数式を融くということをしないで住むのです。

この回答への補足

連続であるってことがなぜ、あの式で表せているのですか?
3次元で考えると・・・・いまいち、具体的な創造に苦しむのですが・・・・。
図やアップレットで説明しているサイトを知りませんか?

補足日時:2002/01/27 19:37
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線形なシステム、非線形なシステム、という言い方がありますね。


具体的に、といわれても・・・ごめんなさい。
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Aベストアンサー

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形空間と考えられます。無限次元の関数空間です。
そして、微分作用素a1*D^n+a2*D^(n-1)+…+an*D+a(n+1)を改めてDと
書くと、D(f+g)=Df+Dg、D(af)=a*Dfが成り立ち、関数空間の間の線型
写像と考えられます。このようなことから、上の形の微分方程式は線形
と呼ばれます。
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Q数学Iの問題です。 x,yを実数とするとき、x^2+4xy+5y^2-6yが最小値sをとるときのx,

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解説をお願いします。

Aベストアンサー

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これと、(x+2y)^2+(y-3)^2≧0より、z≧-9
したがって、z=-9となるようにx、yをもとめる。
z=-9を最初の式に入れると(x+2y)^2+(y-3)^2=0よりx+2y=0、y-3=0
ゆえに、x=-6、y=3のとき最小値s=-9 です。

Q平衡点で線形化する理由とは?

いつもお世話になっております。

題名のとおりなのですが、
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よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

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谷という平衡点からちょっとボールをずらしても、また谷に戻るように収束するなら安定です。

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(⇒)
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x^2-y^2+x+3y-2=0

x^2+x-(y^2-3y+2)=0

()の中を因数分解します。

x^2+x-(y-1)(y-2)=0

全体を因数分解します。

(x+y-1)(x-y+2)=0

※yの次数でそろえてもできます。
※因数分解の仕方は教科書がわかりやすいと思うので、
教科書を参照してください。


(←)
一つずつ掛け合わせて展開していきましょう。

(x+y-1)(x-y+2)=0

x^2-y^2+x+3y-2=0

Q線形微分方程式とは…

今理系大学の一年生をやっています!
そこで、物理んぼ授業で習ったのですが、数学っぽいのでこちらに投稿したのですが…
私は、線形微分方程式とか非線形微分方程式とかの意味が全くわからないんです。
まず、何を求めるのかがわからない。
そして一般解と特解の意味がわからないし、どうして一緒にでてくるのかがわからない。
などなど、初歩の初歩でとまどってます。
なので、もしやさしく書いてあるサイトや回答者様がいたら教えてほしいです。
ここでも同じような質問がないか探しましたが、書いてある事の意味がよくわかりませんでした。
早く今の状況(わからないという状況)から脱出したいので、わかる方、お願いします。

Aベストアンサー

第1回から順に見てみてください

参考URL:http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/4KHouteishiki/

Q(1)x^2+(3y+1)x+(y+4)(2y-3)

(1)x^2+(3y+1)x+(y+4)(2y-3)
(2)x^2-2xy+y^2-x+y-2
(3)2x^2+5xy+2y^2+4x-y-6
(4)2x^2+5xy-3y^2-x+11y-6
を因数分解するとどうなりますか?
途中式も宜しくお願いします。

Aベストアンサー

まず(1)。
これは既にX^nの係数できれいにまとめられていますね。
たすき掛けは分かりますか?
Xの係数が 3y+1で、
X^0の係数が(y+4)(2y-3)なので、
掛けると(y+4)(2y-3)、足すと3y+1になるものを考えればいいわけです。
したがって、途中式を書きようもなく、
x^2+(3y+1)x+(y+4)(2y-3)=(x+y+4)(x+2y-3)
です。

(2)
yを定数と考えて、(1)と同様の形に変形します。
x^2-2xy+y^2-x+y-2
=x^2-(2y+1)x+y^2+y-2
=x^2-(2y+1)x+(y-1)(y+2)
ここまで来れば(1)と同じですね。
ちょっと過剰に細かい途中式も書いておきましょう。
={x-(y-1)}{x-(y+2)}
=(x-y+1)(x-y-2)

(3)以降も
Xの次数でまとめることで同じように回答可能です。
分かりやすくまとめられたサイトがあったので、参考にどうぞ。

参考URL:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/tasuki1.htm

まず(1)。
これは既にX^nの係数できれいにまとめられていますね。
たすき掛けは分かりますか?
Xの係数が 3y+1で、
X^0の係数が(y+4)(2y-3)なので、
掛けると(y+4)(2y-3)、足すと3y+1になるものを考えればいいわけです。
したがって、途中式を書きようもなく、
x^2+(3y+1)x+(y+4)(2y-3)=(x+y+4)(x+2y-3)
です。

(2)
yを定数と考えて、(1)と同様の形に変形します。
x^2-2xy+y^2-x+y-2
=x^2-(2y+1)x+y^2+y-2
=x^2-(2y+1)x+(y-1)(y+2)
ここまで来れば(1)と同じですね。
ちょっと過剰に細かい途中式も書いておきまし...続きを読む

Q「rankは線形独立であるベクトルの最大個数である。」の最大とは?

「rankは線形独立であるベクトルの最大個数である。」の"最大"とはどういう意味でしょうか?
「rankは線形独立であるベクトルの個数である。」ではなぜいけないのでしょうか?
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Aベストアンサー

「最大」を付ければ (いろんな議論のはてに) 一意だけど, 付けないと一意にならないから.
例えば 2次単位行列を考えると, そのランクは 2 で, 実際に「線形独立なベクトルの最大個数」は 2 です. でも, 1本だけもってきても線形独立ですよね. だから, この場合に「最大」を付けないと「1 でも定義にあっている」ことになってしまいます (「0本のベクトル」は定義から線形独立なので 0 と答えてもよい).

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)


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