関数f(x、y、z)=axy^2+byz+cz^2x^3のX=(1,2、-1)における方向微分係数の値がV=(1/√3、1/√3、1/√3)の方向において最大であり、その値が32√3となるようにa,b,cの値を定めよ。
という問題なんですが、最大について、どのようにあつかえばいいのかわかりません。答えはa=11、b=12、c=-4です。

A 回答 (8件)

答えを出してないので問題が正しいかどうか分からないのですが


もし良かったら結果を報告せていただければありがたいのですが
 
よろしくお願いします
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p:q:r=1:1:1⇔p=q=r


についての説明を求めているのではないですよね?

「どうして等式としてあつかえるのでしょうか?」
の意味が理解できませんでした
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この回答へのお礼

何度も何度もすいませんでした。ヨウヤク理解することができました。なかなか知識が実践であらわされないことに残念です。ほんとうにありがとうございました。

お礼日時:2002/02/01 15:24

s,x,y,zをそれぞれ実数の変数とする


ψ(x,y,z)をx,y,zに関して連続微分可能な実数値関数とする
a,b,cをそれぞれ実数とする
α,β,γをそれそれ実数とする
α^2+β^2+γ^2=1とする
u(s)≡a+α・s,v(s)≡b+β・s,w(s)≡c+γ・sとする
G(s)≡ψ(u(s),v(s),w(s))とする
∇ψ(a,b,c)と(α,β,γ)のなす角をθとする
すると
d(G(0))/ds=∇ψ(a,b,c)・(α,β,γ)=|∇ψ|・1・cos(θ)
である

方向微分係数d(G(0))/dsが最大になるのはθ=0のときである
そのとき(α,β,γ)と∇ψ(a,b,c)は同一方向
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ψをx,y,zの関数とする


点Pの座標を(x,y,z)とする
点Pから直線gを引く
g上点Pの近くの点をQとする
点Qの座標を(x+dx,y+dy,z+dz)とする
点Pから点Qに向かう長さをdsとする
gと∇ψのなす角をθとする
√((∂x/∂s)^2+(∂y/∂s)^2+(∂z/∂s)^2)=1
だから
∂ψ/∂s=∂ψ/∂x・∂x/∂s+∂ψ/∂y・∂y/∂s+∂ψ/∂z・∂z/∂s=∇ψ・(∂x/∂s,∂y/∂s,∂z/∂s)
=|∇ψ|・1・cos(θ)
方向微分係数∂ψ/∂sが最大になるのはθ=0のときである

これは∇の基本的性質ではないでしょうか?
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連立方程式


∇(f(X))・V=32・√(3)
∂(f(X))/∂x):(∂(f(X))/∂y):(∂(f(X))/∂z)
=1/√3:1/√3:1/√3=1:1:1
を解け

ならどうでしょう?
∇(f(X))は傾き最大の方向を向いているのでは?

この回答への補足

何度も何度もすいません。やはりどうしても2つ目の式の意味がわかりません。どうして等式としてあつかえるのでしょうか?また最大との関係もいまひとつわかりません。
すいませんこのことを重点的に教えてください。

補足日時:2002/01/28 20:38
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α=(1,0,0),β=(0,1,0),γ=(0,0,1)として



連立方程式
∇(f(X))・V=32・√(3)
∇(f(X))・α=∇(f(X))・β=∇(f(X))・γ
を求めればいいのでは?

この回答への補足

∇(f(X))・V=32√3はわかるんですが、
次のグラディエントとα、β、γと内積をとる意味がわかりません。これと最大とどのような関係があるのでしょうか?また、α、β、γを単位ベクトルとおく意味もわかりません。すみませんが補足説明をいお願いします。

補足日時:2002/01/27 17:36
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問題か答えがおかしくない?


f(1、2、-1)=4a-2b+C=0 だよね。
ここでa=11、b=12、c=-4を代入すると、
44-24-4=16≠0

∴答えが違うか問題が違う。

この回答への補足

多分問題も答えも正しいと思われます。自分がわかるのはφ(t)=f(X+tV)として、φ’(0)=32√3とするところまでです。あと、なんでf(X)=0になるのですか??自分にはわかりません。

補足日時:2002/01/27 07:33
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(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)


=(ay^2+3cx^2z^2,2axy+bz,by+2czx^3)

出来るところまで書くのが礼儀です。
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