関数f(x、y、z)=axy^2+byz+cz^2x^3のX=(1,2、-1)における方向微分係数の値がV=(1/√3、1/√3、1/√3)の方向において最大であり、その値が32√3となるようにa,b,cの値を定めよ。
という問題なんですが、最大について、どのようにあつかえばいいのかわかりません。答えはa=11、b=12、c=-4です。

A 回答 (8件)

s,x,y,zをそれぞれ実数の変数とする


ψ(x,y,z)をx,y,zに関して連続微分可能な実数値関数とする
a,b,cをそれぞれ実数とする
α,β,γをそれそれ実数とする
α^2+β^2+γ^2=1とする
u(s)≡a+α・s,v(s)≡b+β・s,w(s)≡c+γ・sとする
G(s)≡ψ(u(s),v(s),w(s))とする
∇ψ(a,b,c)と(α,β,γ)のなす角をθとする
すると
d(G(0))/ds=∇ψ(a,b,c)・(α,β,γ)=|∇ψ|・1・cos(θ)
である

方向微分係数d(G(0))/dsが最大になるのはθ=0のときである
そのとき(α,β,γ)と∇ψ(a,b,c)は同一方向
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答えを出してないので問題が正しいかどうか分からないのですが


もし良かったら結果を報告せていただければありがたいのですが
 
よろしくお願いします
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p:q:r=1:1:1⇔p=q=r


についての説明を求めているのではないですよね?

「どうして等式としてあつかえるのでしょうか?」
の意味が理解できませんでした
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この回答へのお礼

何度も何度もすいませんでした。ヨウヤク理解することができました。なかなか知識が実践であらわされないことに残念です。ほんとうにありがとうございました。

お礼日時:2002/02/01 15:24

ψをx,y,zの関数とする


点Pの座標を(x,y,z)とする
点Pから直線gを引く
g上点Pの近くの点をQとする
点Qの座標を(x+dx,y+dy,z+dz)とする
点Pから点Qに向かう長さをdsとする
gと∇ψのなす角をθとする
√((∂x/∂s)^2+(∂y/∂s)^2+(∂z/∂s)^2)=1
だから
∂ψ/∂s=∂ψ/∂x・∂x/∂s+∂ψ/∂y・∂y/∂s+∂ψ/∂z・∂z/∂s=∇ψ・(∂x/∂s,∂y/∂s,∂z/∂s)
=|∇ψ|・1・cos(θ)
方向微分係数∂ψ/∂sが最大になるのはθ=0のときである

これは∇の基本的性質ではないでしょうか?
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連立方程式


∇(f(X))・V=32・√(3)
∂(f(X))/∂x):(∂(f(X))/∂y):(∂(f(X))/∂z)
=1/√3:1/√3:1/√3=1:1:1
を解け

ならどうでしょう?
∇(f(X))は傾き最大の方向を向いているのでは?

この回答への補足

何度も何度もすいません。やはりどうしても2つ目の式の意味がわかりません。どうして等式としてあつかえるのでしょうか?また最大との関係もいまひとつわかりません。
すいませんこのことを重点的に教えてください。

補足日時:2002/01/28 20:38
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α=(1,0,0),β=(0,1,0),γ=(0,0,1)として



連立方程式
∇(f(X))・V=32・√(3)
∇(f(X))・α=∇(f(X))・β=∇(f(X))・γ
を求めればいいのでは?

この回答への補足

∇(f(X))・V=32√3はわかるんですが、
次のグラディエントとα、β、γと内積をとる意味がわかりません。これと最大とどのような関係があるのでしょうか?また、α、β、γを単位ベクトルとおく意味もわかりません。すみませんが補足説明をいお願いします。

補足日時:2002/01/27 17:36
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問題か答えがおかしくない?


f(1、2、-1)=4a-2b+C=0 だよね。
ここでa=11、b=12、c=-4を代入すると、
44-24-4=16≠0

∴答えが違うか問題が違う。

この回答への補足

多分問題も答えも正しいと思われます。自分がわかるのはφ(t)=f(X+tV)として、φ’(0)=32√3とするところまでです。あと、なんでf(X)=0になるのですか??自分にはわかりません。

補足日時:2002/01/27 07:33
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(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)


=(ay^2+3cx^2z^2,2axy+bz,by+2czx^3)

出来るところまで書くのが礼儀です。
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Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

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(x^2)' = 2x^1
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(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q三角関数を使わずに∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
によると、
π:=∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

π:=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx

π:=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということですが、

∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx
=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということを三角関数を使わずに示すにはどうしたらよいのでしょうか?
三角関数を使わずに、という理由は、
arcsin(x)=∫[0,x]1/√(1-x^2) dx
というのが三角関数の定義として考えたいからです。

Aベストアンサー

∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=[x√(1-x^2)][-1,1]+∫[-1,1]x^2/√(1-x^2) dx
=-∫[-1,1]√(1-x^2) dx+∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

Qx≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は

こんにちは。


x≧1の時2(√(x+1)-√x),2(√x-√(x-1)),1/√xの大小関係は?

という問題なのですが
2(√(x+1)-√x) < 1/√x < 2(√x-√(x-1))
という大小関係になると思います。
単に引き算してもなかなか2乗の形に持ってけません。
どうやって証明するのでしょうか?

Aベストアンサー

ヒントのみ
1/√xに着目して
分子の有理化をしてください。
そして、逆数の大小の比較(差をとって比較)してください。
大小関係が決まりますので、その逆数をとってもとの大小関係が決まります。
ただし、不等号の両辺が1より大か、小かを確認して逆数の不等号を考えてください。

結果の大小関係は正しいですね。

Qcosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 +

cosx = 1/√2 - (1/√2)・(x-π/4) - (1/2√2)・(x-π/4)^2 + {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx)  
(0<θ<1)

f(x) = (4/π^2)・{2(x-π/4)(x-π/2)-√2・x(x-π/2)}
このグラフが分かりません…
教えてください!

Aベストアンサー

+ {(x-π/4)^3/3!}・sin(θx) は
+ {(x-π/4)^3/3!}・cos(θ(x-π/4)) ではないかと...違うかな?

で、これは cosx そのものです。θは x の関数なのでそれに惑わされないように。


下のはそれでなく、f(x)=(8/π^2){ (x-π/4)(x-π/2) - √2 x(x-π/2) } が正しいと思います・・・
このグラフは添付した図になります。
かなり近いです。

描き方は、計算機を用意して頂点を数値計算、あとは (0, 1) 、(π/4, 1/√2) 、(π/2, 0) を通るように二次関数のグラフを描けば良いです。
あるいはグラフ描画ソフトの力を借ります。


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