f(x)=a+O(x^α)、as x→0(aは0でない、α>1)のとき、
f(x)^1/k (k∈N)に最良の評価を与えよ。
という問題です。普通に1/kしたらわけがわからなくなりました。解法を教えてください。

A 回答 (2件)

別に評価するだけならテーラー展開しなくてもいいのですが


あえて多項式で評価したいという場合には
g(x)=(a-Mx^a)^1/kとおくと
g(x)=g(0)+g'(0)x/1!+g"(0)x^2/2!+・・・
という風にテーラー展開することにより多項式近似が得られます
g(0)とかg'(0)とかは実際に微分したりして0を代入すれば
求められます。
たとえばg(0)=a^1/kという風になります。
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f(x)=a+O(x^α) as x→0


という仮定より
十分小のxに対してあるMが存在して
M≧|f(x)-a|/|x|^α
x>0として考えれば、

a+Mx^α≧f(x)≧a-Mx^α

あとはこれを1/k乗して
必要ならばTaylor展開してみれば評価が得られます

ちなみにこの評価はxの十分小さいところでのみ成り立っています
またその範囲でMはxによらない定数です

この回答への補足

返事遅くなってすいません。1/kしたあと、(a-Mx^a)^1/kでどうやって
テーラー展開するんですか??

補足日時:2002/02/10 14:23
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