空間座標で t を媒介変数として x=acost , y=asint , z=(ht)/(2Π) で与えられる曲線が Πah=c(定数) の関係をもつとき
(1) 0 <=(小なりイコール) t <= 2Π のときのこの長さの最小値をcで表せ.
(2) このときのaとhの関係を求めよ.

という問題で、答えが (1)2√c (2)2Πa=h と書いてあるんですけど、解き方が分かりません(最小値の意味も…). (2)は 相加平均 >= 相乗平均 を使うらしいです.
高校生で理解できる範囲でお願いします(数3(?)含)

A 回答 (3件)

おおっとちょっと訂正。


L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2} に最後にdtをつけて、


L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt としてください。証明は平面のときと同じように出来ます。

では証明しよう。速度ベクトルを使う方法が多勢だがここでは簡単に長さから直接やる。
曲線C:x=f(t),y=g(t),z=g(t) の区間a≦t≦bの長さをLとする。
C上の点P(x,y,z)が微少量(Δx,Δy,Δz)だけ移動して点P’となったとする。
∴ΔL=√{(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2}    (∵三平方の定理)
⇔ΔL=√{(Δx/Δt)^2+(Δy/Δt)^2+(Δz/Δt)^2} Δt  
→dL=√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt (Δt→0)

よって、
∫(from a to b) dL 
=∫(from a to b)√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt 
 

以上じゃ!

この回答への補足

おぉ、証明まで….有難うございます
∫(0~2Π)√{a^2 (sint)^2 + a^2 (cost)^2 + h^2/4Π^2}dt
=∫(0~2Π)√[a^2{(sint)^2+(cost)^2}+h^2/4Π^2]dt
=∫(0~2Π)√(a^2*1 + h^2/4Π^2)dt
=√(a^2 + h^2/4Π^2)∫(0~2Π)1dt
=2Π√(a^2 + h^2/4Π^2)
=2√(Π^2 a^2 + h^2/4)
となったので、 Πah=c をいろいろ変形して代入してみたんですけど、2√cにならないんです.
どこに問題があるのでしょうか?

補足日時:2002/01/27 07:16
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これがどんなグラフになるかわかりますか?


x^2+y^2=a^2
別に思いつかなくてもいいですけど、z軸を中心に、半径aでらせん状にぐるぐるとなるグラフです(tの条件がない場合)。イメージ湧きました?

では、KaitoTVGAMEKOZOUさんのアドバイスにしたがって、頑張ってくださいね。
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この回答へのお礼

はい.ありがとうございます

お礼日時:2002/01/27 06:56

(1)空間での曲線の長さの公式は平面のときの拡張で、


L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}です。

この問題ではが) 0≦t≦2Πが積分範囲をあらわしている。あとはご自分で考えてね。

(2)(1)で出したL=f(c)に、c=Πahを代入して検討する。

あとはご自分で考えてお礼に答えを書くこと。相加相乗平均の不等式を使うかどうかはそれから。
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この回答へのお礼

ありがとうございます.

お礼日時:2002/01/27 06:55

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