数学なのかは分かりませんが、高橋正一郎という人の本を読みました。
ゲーデルという人の話なのですが、その中の不完全性定理という話の中で、
世界は矛盾があるから不完全?なのだみたいなことが書いてありました。
でもよく数学で変な記号?とか使っていろいろなことが証明されたいるじゃないですか。これは矛盾するんだみたいな記号を作ったらどうなんですかね。
そういう学問の基礎的な知識がないので申し訳ないんですが良かったら答えてください。

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矛盾 数学」に関するQ&A: 数学の矛盾

A 回答 (1件)

 


  論理的な「矛盾」については、まず、「論理的に等しい」とは何かを理解しなければなりません。論理的に等しい二つの命題は、「論理等号」で結ぶことができます。丁度、4と(2+2)というのは、数の世界では、同じことで、「等しい」ので、等号を使って、4=2+2と書くように、論理の命題にも、同じ内容のことを言っている、論理的に同じである、「論理的に等値だ」ということがあり、これを、「論理等号」で結びます。
 
  具体的な例で話をしましょう。「ジョンは大酒飲みだ」という命題があるとします。「命題」とは、何か主語があって、その主語について、何かを断定的に述べる文章のようなものです。他方、「大酒飲み」とはどういうことかという疑問も起こります。どれぐらい酒を飲むと「大酒飲み」になるのか。論理学では、こういうことも決めておかないと、話が進まないのです。
 
  そこで、「大酒飲み」とは、1)酒を飲み始めると、一日、最低で2升の酒を飲む。また、2)一週間7日のあいだに、5日以上酒を飲む。この1と2を満たすのが、大酒飲みだとします。すると、「ジョンは大酒飲みだ」という命題をAとして、先の1と2を、S1,S2の命題とします。この時:
 
  A≡S1&S2
 
  と書きます。線が三本並んでいる等号は、普通の等号ではなく、「論理等号」と言います。言葉で云いますと、
 
  ジョンは大酒飲みだ ≡(は、論理的に、右の主張と等しい) S1(ジョンは酒を飲み始めると一日最低で2升の酒を飲む)かつS2(ジョンは、一週間7日のなか、5日以上酒を飲んでいる)
 
  「大酒飲み」とは何かの定義から、この論理式が正しいことが分かるでしょう。こういう風に、論理的に、命題が主張している内容(真偽)が、同じである場合、二つの命題は、論理的に等値である、等しいと言い、二つを論理等号で結びます。
 
  矛盾というのは、簡単に言えば、論理的に等値でないものを、等値だとしたような場合です。「ジョンは大酒飲みである」をAとして、その否定命題を notAつまり、「ジョンは大酒飲みでない」とします。この時:
 
  A≡notA
 
  はおかしい訳です。これが正しいと主張した場合、「矛盾している」と言います。これは間違った式だという場合、別に矛盾ではありません。矛盾したことを、正しいと言っている人は矛盾を主張していることになりますが、それが矛盾していると指摘する人は、別に矛盾していないのです。
 
  矛盾というのは、元々、昔の中国の伝説的故事から来ていて、ある市で、商人が、自分の商品を自慢して、まず最初に「矛(ほこ)」を出し、「この矛は素晴らしい矛で、どんな楯(たて)でも貫き通す」と言いました。また、更に商品を自慢して、今度は、「楯(たて……盾の元の漢字)」を出し、「この楯は素晴らしい楯で、どんな鋭利な刃物もこの楯を貫くことはできない」と言いました。すると、商人の話を聞いていた群集のなかの一人が尋ねたのです。「では、その矛で、その楯を突いてみてくれ。どうなるのだろうか?」
 
  矛について商人が言ったことと、楯について商人が言ったことが、両方とも正しいとすると、その矛でその楯を突くとどうなるのか。現実の話だと、矛の先が折れるとかして、楯の方が強いということになるか、または、矛が見事楯を貫いて、優れた矛であるとなるでしょうが、どちらの場合も、商人の主張には合わないのです。そこで、こういう商人のような主張を「矛盾」と呼ぶのです。
 
  簡単に言うと、命題Aが、「この矛は楯を貫く」だとすれば、反対命題 notAは、「この矛は楯を貫かない」です。Aと notAが論理的に両立することはないので、Aであり、同時に notAであると言っていた商人の言葉は、嘘で、間違っており、矛盾しているのです。
 
  また、Aと notAは、論理的に等値でないので、これを、
 
  A [≠] notA
 
  と書きます。[≠] は、本当は、三本の線にそれを横切る斜め線を引くのですが、記号がありませんので代用します。A≡notA は矛盾ですが、先に言ったように、これを「真だ」というと矛盾になるので、これが「偽」だと言うのは、矛盾ではありません。「真だ」というのを、Rという記号で示し、「偽だ」というのを、Fという記号で示しますと:
 
  (A≡notA)≡R
 
  は、「矛盾を示している式」なのです。式が、こんな形になると、「矛盾しているのだ」という意味になるのです。
 
  もっと込み入っているのですが、 「これは矛盾するんだみたいな記号」というのは、すでにあるのです。「これは矛盾していない」という記号を逆にする(否定する)と、「これは矛盾している」という記号になるのです。
 
  これは矛盾だ、という記号というか、そういう表現の式が確かにあり、ゲーデルの不完全性定理というのは、ある数学の理論を造ると、その理論に対し、ある命題が考えられ、この命題は「真か偽か」で、ある方法で証明して行くと、「真になる」のですが、別の方法で証明してみると、おかしなことに、「偽である」という結果がでるのです。ゲーデルは、どんな数学理論でも、その真偽が決定不能な命題がありえるということを証明しました。
 
  どんな数学の理論も矛盾がある、つまり、不完全なのだ、というのが、ゲーデルの定理なのですが、注意がいるのは、では、その真偽が決定できない命題というのは、具体的に何のことかというと、具体的には、まったく分からないのです。
 
  これは「嘘つきのパラドックス」によく似ていて、例えば、或る男が、「おれの言っていることは嘘だ」と言ったとします。そう言ったのですから、「おれの言っていることは嘘だ」は嘘になります。しかし、これが嘘だと、「おれが言っていることは本当だ」となります。しかし、「おれが言ったこと」は何かと言えば、「おれが言っていることは嘘だ」ですから、この言葉が本当だとすると、やはり、この言葉は嘘だったのか、となります。
 
  しかし、考えなければならないのは、この「嘘つきの男」は、「具体的に何を言ったのか」です。実は、何も具体的に言っていないのです。「おれの言うことは嘘だ。あの林檎は腐っている」と言ったとすると、「あの林檎は腐っていない」と言っているのと同じで、腐っているかどうか、確かめることができます。
 
  ここで、林檎が本当に腐っていた場合、男の言った通りですが、林檎が腐っていなかった場合、男に対し、「嘘を言うな」となり、男は、実際の林檎の状態で、本当のことを言ったか、嘘を言ったか決まります。しかし、「おれの言っていることは嘘だ」では、何が嘘だと言っているのか、さっぱり分からないのです。ゲーデルの不完全性定理に出てくる証明は、これと実によく似ています。
 
  「それは矛盾するのだ」という記号あるいは「概念」はすでにあるのだというのが回答です。(訳の分からない話ですが、あまり易しく言うと、余計におかしくなるので、ゲーデルの定理や、嘘つきのパラドックスの話は、跳ばしても構いません)。
  
    • good
    • 0
この回答へのお礼

凄く難しい話ですね。
全て読みましたが、自分の中で完全に理解できてないので
印刷してじっくり考えます。
こんなに素晴らしい回答をして貰えたことを凄く嬉しく思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/27 13:21

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Qゲーデルの不完全性定理に現れる決定不能命題の数学的具体例を教えてください

最近、クルト・ゲーデルにはまっている者です、これが、なかなか難しくて困っています、ゲーデルが不完全性定理で表現した「真であるにもかかわらず証明できない」と言われる決定不能命題は、メタ数学を使って、A≡¬Bew(「A」)などなど、これ以外にも色々な表現方法で表されています、
 しかし、具体的に、これを数学の中に表すスキルを私はもっていません、京大の林晋先生は、以前、掲示板上で簡単に決定不能な式を簡単にチョコチョコと作って、紹介していましたが・・・、忘れてしまいました(T.T)バカです。
 
 どなたか決定不能な命題を数学上に作り出せるようなスキルが身につく書籍などを知っている方はおられませんでしょうか
 
 それから、いまいち、抽象的で分かりにくい決定不能命題を数学的(メタ数学でなく)に表現した実例を一つでも知っている方はいませんでしょうか、私は数学的知識は大変乏しいのですが、どんな難しい数学的な実例でもかまいませんので、どなたか教えてください、また、どのような文献からその命題を知ったのか教えていただけるとさらにありがたいです。どうかよろしくお願いします。

最近、クルト・ゲーデルにはまっている者です、これが、なかなか難しくて困っています、ゲーデルが不完全性定理で表現した「真であるにもかかわらず証明できない」と言われる決定不能命題は、メタ数学を使って、A≡¬Bew(「A」)などなど、これ以外にも色々な表現方法で表されています、
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Aベストアンサー

後半について。僕も初心者ですが。

まず、何かの数学的命題が「独立」という為には、言語と公理系を決めねばなりません。

どういう言語上で、どういう公理から独立なのか、ということです。

言語は普通は一階述語論理ですよね。(これには異論があるかも知れません。二階算術の公理系に対しても、独立命題が見つかっているようです。下のURL参考)

公理は、いろいろありますが、有名なのはZFC(集合論の公理系)とPA(算術の公理系。ペアノの公理系)ですよね。

ZFC上独立な命題は、巨大基数公理たちなど沢山あるでしょうが、有名なのは#1の方の仰るように、連続体仮説ですね。(コーエンの仕事)

PA上独立な命題は、有名なのはパリスとハーリントンの定理で示された、ラムゼーの定理の一変種ですね。その仕事以降、他にも色々見つかっているようです。

ZFCというのはZF(ツェルメロ・フレンケルの公理系)に、AC(Axiom of Choice 選択公理)を付け加えたものですが、ZF上ACは独立であることが、ゲーデルによって証明されています。

僕の知っているのはこんなところです。

参考URL:http://members.at.infoseek.co.jp/nbz/ref/hprogram.html

後半について。僕も初心者ですが。

まず、何かの数学的命題が「独立」という為には、言語と公理系を決めねばなりません。

どういう言語上で、どういう公理から独立なのか、ということです。

言語は普通は一階述語論理ですよね。(これには異論があるかも知れません。二階算術の公理系に対しても、独立命題が見つかっているようです。下のURL参考)

公理は、いろいろありますが、有名なのはZFC(集合論の公理系)とPA(算術の公理系。ペアノの公理系)ですよね。

ZFC上独立な命題は、巨...続きを読む

Qゲーデルの不完全性定理を、小学生にも分かるように教えていただきたい

本の中の不完全性定理の説明文で、

>「この命題は証明不能である」
 という命題が証明可能であるならば、
 この命題の中で主張している「証明不能である」ということと、
 それが「証明可能」であるということとは、
 「矛盾」していることになる。

とあるのですが、
どうして矛盾しているのでしょうか?
(何となくはわかるのですが)

私は、小学生くらいの数学知識しかないので、
命題、証明の意味がよくわかってないのかもしれませんが、

たとえば
未確認物体(宇宙人みたいな)が、草原などにあったと仮定して、

解剖しても今の科学では、この物体は「なにか」わからない。
「この物体は証明不能である」

今の科学では証明不能であるということは、
証明可能なのではないのでしょうか
(科学がまだ未発達ということで)
ということとは意味が違うのですかね?

自分で書いていても、頭が混乱してきました・・・笑

数学の知識がある人には笑われる質問かも知れませんが、
「小学生(私)には、証明不可能」な問題を、
証明可能な方、教えて頂きたい。・・・笑
お願いします。

本の中の不完全性定理の説明文で、

>「この命題は証明不能である」
 という命題が証明可能であるならば、
 この命題の中で主張している「証明不能である」ということと、
 それが「証明可能」であるということとは、
 「矛盾」していることになる。

とあるのですが、
どうして矛盾しているのでしょうか?
(何となくはわかるのですが)

私は、小学生くらいの数学知識しかないので、
命題、証明の意味がよくわかってないのかもしれませんが、

たとえば
未確認物体(宇宙人みたいな)が、...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。

失礼ながら、
たいぶ解釈を違えておられるようです・・・

こう書けばわかっていただけると思うのですが、
-------------
A:「この命題Aは証明不能である」
という命題Aが証明可能であるならば、
・命題Aにおける「証明不能である」

・B:「命題Aは証明可能」である
ということとは、
矛盾していることになる。
-------------

つまり、文章中に出てくる「命題」というのは、全部同じ命題(Aのこと)なのです。

いわば、
-------------
「わかりません」が正しいということが証明できるならば、
・「わかりません」ということと、
・「‘わかりません’ということが正しい」ということとは、
矛盾していることになる。
-------------
ということです。


>>>
たとえば
未確認物体(宇宙人みたいな)が、草原などにあったと仮定して、
・・・
ということとは意味が違うのですかね?

違いますね。
むしろ、こう考えたほうがよいです。

・数学や算数の教科書に書かれていることは、すべて、ある前提を元に書かれているが、その前提は証明できない。
(この前提のことを「公理」と言います。)

あるいは、(例として適切かどうかわかりませんが)

・法律に書かれていることが正しいかどうかは証明できない。

というのも、イメージをつかむためには良いかもしれません。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんにちは。

失礼ながら、
たいぶ解釈を違えておられるようです・・・

こう書けばわかっていただけると思うのですが、
-------------
A:「この命題Aは証明不能である」
という命題Aが証明可能であるならば、
・命題Aにおける「証明不能である」

・B:「命題Aは証明可能」である
ということとは、
矛盾していることになる。
-------------

つまり、文章中に出てくる「命題」というのは、全部同じ命題(Aのこと)なのです。

いわば、
-------------
「わかりません」が正しいと...続きを読む

Qゲーデルによれば、無限を前提にしないと数の整合性/無矛盾性が保てない?

ゲーデルによれば、無限を前提にしないと数の整合性/無矛盾性が保てないと言えるのでしょうか?

Aベストアンサー

逆になぜ質問のような考えに辿りついたかの説明を求めたいところですが……

ゲーデルによらずとも、数の全体を考えれば自然に無限がでてくると思います。
ゲーデルの不完全性定理などはむしろ、数のような無限対象では無矛盾性を証明することは不可能だと言っていると思いますが。

Q私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系Sに

私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系Sにおいて、形式的体系Sが無矛盾である限り、「形式的体系Sにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Sにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される(別表現もありますが)とあります。
ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 『例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である』はその例のように思うのですが 間違っているでしょうか。
問題は 無限遠点が公理を用いて表されるか どうか という先輩のご指摘があり公理をあらためてみてみますと 公理2に線分を限りなく伸ばすことができる とあります。つまり無限遠点は「公理2の限りなく線分を伸ばした点」と理解され 公理の定義を用いることで表されるとおもうのです。間違っているでしょうか。参考までに公理を挙げておきます。
<ユークリッド 幾何学の公理>
(公理1)与えられた2点に対して、それらを結ぶ線分をちょうど1つ引くことができる。
(公理2)与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる。
(公理3)平面上に2点が与えられたとき、一方を中心とし、他方を通る円をちょうど1つ書くことができる。
(公理4)直角はすべて相等しい。
(公理5(平行線公理))直線外の1点を通り、その直線に平行な直線は1本に限る

私がよく分らないのは ゲーデルの第1不完全性定理です。『形式的体系Sにおいて、形式的体系Sが無矛盾である限り、「形式的体系Sにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Sにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される(別表現もありますが)とあります。
ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 『例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である...続きを読む

Aベストアンサー

不思議で不思議でならない.
質問者は「ゲーデルの不完全性定理」
を理解してるんだろうか・・・・
この定理の大事な「前提」を
スルーしているんじゃないのかな.
「自然数論を含む形式的体系」じゃないと
不完全性定理はでてこない.
実際「ゲーデルの完全性定理」ってのもあるんですよ.

前の質問で,証明の粗筋をかいてくれた人がいたでしょう?
そこでは「ゲーデル数」っていうのが大事な働きをしてるという
指摘があったでしょう?
「数」が必要なんですよ,不完全性定理には.
ものすごくぶっちゃけていえば
「完全性定理」と「不完全性定理」の境界は「数」.
ちなみにこの場合の「数」ってのも
きちんと公理系(ペアノ公理系ってのがメジャー)で
定義される「形式体系」.

さて。。。あなたが述べている「ユークリッド幾何の公理」系
(原論の言葉でいえば本当は「公準」であって
原論でいうところの「公理」はべつのもの)は
果たして,不完全性定理の述べるところの
「公理系」なのでしょうか?
つまり,古典的な
「原論の形のユークリッド幾何の公理(公準)」
は,現代的な意味での「公理系」なのか?です.
現代的な意味での公理系であるならば
なぜヒルベルトは「幾何学の基礎」で
ユークリッドの公理系をある意味で「批判」して
新しい体系を提示したのか?
ヒルベルトの意味でのユークリッド幾何でも
果たしてゲーデルの議論に乗せるのには十分なのか?

そもそも「無矛盾な形式体系」であっても
不完全性定理の前提を満たさないものがあるのではないか?

まずはそこらへんから考えないと
そもそも不完全性定理を適用できるか分からないわけです.
#って。。。実は答えはすでにあるのですが
#ちょっと調べれば分かるのでスルー.

ちなみに・・・・
不完全性定理のいうところの「決定できない命題」の
自然なものってのは1973年とか1977年ころに
なってでてきたんですよ.
不完全性定理が1931年で,連続体仮説とか
選択公理の方面での命題が1940年近辺の話なので
いかに大変な仕事だったのかが分かりますね.

資料:
・ゲーデルの20世紀シリーズ(東大出版会)
・ゲーデル 不完全性定理(岩波)

ちなみに,私もalice_44さんやTacosanさんと同じで
無限遠点は出てこないでしょうと答えます.
だって「限りなく伸ば」したって,
それからどうなる?ということについて何も述べてない.
演繹できるから大丈夫?
ユークリッド幾何で導ける点って「有限」のところだけでは?
公理系の外部のものが内部で証明できないのは当然です.

不思議で不思議でならない.
質問者は「ゲーデルの不完全性定理」
を理解してるんだろうか・・・・
この定理の大事な「前提」を
スルーしているんじゃないのかな.
「自然数論を含む形式的体系」じゃないと
不完全性定理はでてこない.
実際「ゲーデルの完全性定理」ってのもあるんですよ.

前の質問で,証明の粗筋をかいてくれた人がいたでしょう?
そこでは「ゲーデル数」っていうのが大事な働きをしてるという
指摘があったでしょう?
「数」が必要なんですよ,不完全性定理には.
ものすごくぶ...続きを読む

Qゲーデルの不完全性定理

不完全性定理って結局、数学は不完全であるということが証明されたってことですよね?だとしたら、これから数学を研究することに何の意味があるのでしょうか?

Aベストアンサー

その「不完全」という意味は日常会話などで
使われる意味での「不完全」とは違います。

数学基礎論においては、完全性とは、ある公理系が
与えられたときその公理系において全ての恒真命題が
証明可能であることを言います。また、証明可能とは
公理から有限の手順で結論が導かれることを言います。

この意味での完全性から転じて、不完全性とは、ちょっと
アバウトな言い方ですが、真ではあるが公理から
導けない命題が存在することを言います。

ゲーデルの不完全性定理は、再び厳密さに欠ける
アバウトな言い方ですが、矛盾のない体系には証明
できない命題が存在することを示しています。

つまり、不完全性定理は数学になにか瑕疵があることを
意味しているわけではありません。

数学の分野もかなり現代では裾野が広いですが、
それだけ未解決問題も多くあります。ゲーデルの
不完全性定理によって数学基礎論ではある種の決着
がついたのかもしれませんが、まだまだ多く残る
未解決問題に手をつけることにより発展の余地は
多く、未踏の地平は広大です。

その「不完全」という意味は日常会話などで
使われる意味での「不完全」とは違います。

数学基礎論においては、完全性とは、ある公理系が
与えられたときその公理系において全ての恒真命題が
証明可能であることを言います。また、証明可能とは
公理から有限の手順で結論が導かれることを言います。

この意味での完全性から転じて、不完全性とは、ちょっと
アバウトな言い方ですが、真ではあるが公理から
導けない命題が存在することを言います。

ゲーデルの不完全性定理は、再び厳密さに欠ける
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