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赤球4個と白球3個が入っている袋から3つの球をとり出すとき、
(1) 3つとも赤球である確率は?
  
解説
 4/7×3/6×2/5=4/35

(2) 赤球2個と白球1個である確率

解説
 白になる確率
 3/7×4/6×3/5=6/35
 白は3個入っているから
 6/35×3=18/35

高校生の問題で、教える際に私は公式を用いて解いたのですが、このような問題でCを使わずに解く方法を見たことがなく、全く理解できない状態です。
この考え方が理解できると、計算がぐっと早くなりそうですので、是非どなたか、助けてください。

A 回答 (2件)

(1)の方の説明はNo.1の方の(2)の説明と似ていますが、



一回目に赤を引く(残り7個のうち4個が赤)→4/7
二回目に赤を引く(残り6個のうち3個が赤))→3/6

三回目に赤を引く(残り5個のうち2個が赤))→2/5

なので、それを全てかけて
4/7×3/6×2/5=4/35
が出てきます。



また、Cを使わずに計算すると早くなると考えておられるようですが、それはCを計算するときに
全体7つから3つとる→7C3=35
赤4つから3つとる→4C3=4
を一回一回先に計算しているからであって、それぞれ
7C3=(7×6×5)/(3×2×1)、
4C3=(4×3×2)/(3×2×1)
と(頭の中で)とめておいて

4C3/7C3=(4×3×2)/(3×2×1)/{(7×6×5)/(3×2×1)}

と書けば、分母と分子に(3×2×1)が出てくるので約分して

4C3/7C3=(4×3×2)/(7×6×5)

という全く同じ式がすぐに出てきます。

(2)も同様に
全体7つから3つとる→7C3=35
赤4つから2つとる→4C2=6
白3つから1つとる→3C1=3
を計算せずに
7C3=(7×6×5)/(3×2×1)、
4C2=(4×3)/(2×1)、
3C1=3/1
と(頭の中で)とめておいて

4C2×3C1/7C3=(4×3)/(2×1)×(3/1)/{(7×6×5)/(3×2×1)}

と書けば分子、分母に2×1×1がでてくるので約分して

4C2×3C1/7C3=(4×3×3×3)/(7×6×5)

という全く同じ式が出てきます。


順列の公式にnPr=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=n!/(n-r)!
というものがあったと思いますが、同様に
nCr=n!/{(n-r)!r!} とだけ書いて計算してもよいと思います。(つまり○!が分子分母に出てきて約分できることを期待する)

基本的に、確率の問題は同じような数字ばかり出てくるのでかなり約分ができます。この方法さえ知っていれば(約分の仕方さえ知っていれば)計算時間はほとんど変わらないと思いますよ!

後はあなたがCを使って考えるのがすきか、それとも今回の考え方を使って解くのがすきかという問題です。理解しやすい方を選択しましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。文型頭の私には、言葉の言い回し一つで理解度がぐっ、と上がります。とても分かりやすい解説で、理解できました。

お礼日時:2006/04/05 00:46

球が全て区別がつくものとする


(これがポイント)

(1)
全体の事象は7C3=35通り
赤球を選ぶ事象は4つの赤球の内の3つを選ぶ事だから
4C3=4通り
よって赤球を選ぶ確率は4/35

(2)
> 白になる確率
> 3/7×4/6×3/5=6/35

これは一回目に白を引く(残り7個のうち1個が白)
二回目に赤を引く(残り6個のうち4個が赤)
三回目に赤を引く(残り5個のうち3個が赤)

という確率を経れば白を1つ引けるという発想です。
よってこの通りに引く確率は3/7×4/6×3/5=6/35

>6/35×3=18/35
先ほどは1回目に白を引くと(白赤赤)決め付けましたが、
赤白赤、赤赤白と引くパターンもありうるので先ほど求めた確率を3倍しているという事です。
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この回答へのお礼

この度は私の質問に全てご回答いただきありがとうございました。すばやいご回答、助かりました。

お礼日時:2006/04/05 00:44

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