カラテオドリは、熱力学の公理系を作ったという話をご存知のかたはいませんでしょうか?
参考文献などあったら、教えてください。
※原論文は英語でなさそうな気が・・・

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A 回答 (5件)

カラテオドリによる熱力学第2法則の定式化のことでしたら、


以下の文献で8ページに渡って一通りの解説がなされています。

●原島鮮,熱力学・統計力学,培風館,1966

「3.12 積分分母としての熱力学的温度」のところです。

要は、カルノーサイクルという仮想的なものを導入しなく
ても、熱力学的温度とエントロピーを定義できることに
意味があるようです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
まさか日本語であるとは。
最近思うのですが、アマチュアでもよければ
かなりのことが日本語でもできるようです。
・・・おかげで英語を勉強する気がなくなりつつあります^^;

お礼日時:2002/01/27 22:06

>「空の手の踊り」で、冗談かと思いましたが


私も,昔々熱力学の講義ではじめて名前を聞いたとき,冗談かと思いました.

熱力学のテキストでよく出てくる話はカラテオドリの原理で,
熱力学第2法則の表現の一つです.
○ 熱力学的体系の一つの状態の任意近傍に,その状態から断熱過程では達することが
  できない状態が存在する.
というのがカラテオドリの原理です.
これはトムソンの原理やクラウジウスの原理と等価であることが示されています.
トムソンやクラウジウスよりはかなり数学的な表現ですね.

カラテオドリの外測度のカラテオドリと同一人物です.
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この回答へのお礼

>>「空の手の踊り」で、冗談かと思いましたが
>私も,昔々熱力学の講義ではじめて名前を聞いたとき,冗談かと思いました.

私は数学出身ですが、授業ででてきたときはぜんぜん違和感はありませんでしたが、
今になって考え直してみると、かなりおかしな名前です。

カラ・テオドリと読んでましたね、当時。

>カラテオドリの外測度のカラテオドリと同一人物です.

そうでしょうねぇ
こんな名前がそうそういても・・・

お礼日時:2002/01/27 22:01

測度論に関連する分野の勉強をしているのでカラテオドリの名前はよく聞いていましたが、熱力学の公理系まで作っていたとは初耳でした。

(数学カテゴリーで質問されているので当然ibm_111さんも数学者のカラテオドリについてはご存知なのだと思いますが) 測度論で有名なカラテオドリとは同名の別人かと思ったら同一人物のようです。(参考URL)

原論文はこれのようです。
Caratheodory, C., INVESTIGATION INTO THE FOUNDATIONS OF THERMODYNAMICS,Math. Ann., Berlin, V67, pp. 355-386, 1909.

参考URL:http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ …
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この回答へのお礼

原論文はやはりドイツ語ですか?

お礼日時:2002/01/27 22:08

 


  カラテオドリとは、「空の手の踊り」で、冗談かと思いましたが、そういう人が本当にいたようです。Constantin Caratheodory, 1873.9.13-1950.2.2 で、ギリシア生まれで、ドイツの大学で学び、ドイツ語で本を多数書いたとされています。ドイツ語で検索すると、何か出てくるかも知れません。熱力学第二法則に関係して、独特な見解を示して、エントロピー関数の存在と、エントロピー増大の法則を、彼独自の原理で説明したとされます。以下のURLに断片的ですが、説明が載っています。
 
  URL「第2部 地球における物質とエネルギーの循環」資料
  http://wakana.fcs.muroran-it.ac.jp/jugyo/ningen2 …
 
  また、参考URLには長いので、彼の個人的な情報のページのURLを入れました。ドイツ語が読めるなら、カラテオドリの綴りは上の通りですから検索できるでしょう。
 

参考URL:http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/ …
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下のURLは、役に立ちますかね?



参考URL:http://webclub.kcom.ne.jp/ma/horizon/science/the …
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Qルベーグ可測集合ってなんですか???

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形・・・・・・・・・・・・   3次元ルベーグ可測集合  という。

私の疑問は、Q1.長さや面積や体積を持つ図形以外に、ルベーグ可測集合に属するものは無いのか???

ということと、

Q2.「全ての図形はルベーグ可測というわけではない」  とは、どういう意味なのか???

ということです。測ることが出来ないくらい巨大な(宇宙サイズ?)図形に対して言ってるんですかね???

ちなみに、

面積(体積)がゼロの図形は、面積(体積)が0で確定しているので、面積(体積)を持つというそうです。
ってことは、面積(体積)0の図形はルベーグ可測集合に属しますよね?

面積が0の図形とは、円盤じゃなくて円周のこととか、
体積が0の図形とは、壁の無いお家(柱、骨組み)のこととか・・・ですか???

なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・

すっごく分かりやすく教えて下さい。

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形...続きを読む

Aベストアンサー

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

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以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。例えば、以下のリンクにあります

pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/papers/nagoya-logic-seminar-05.pdf

平面(2次元)を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。そして、おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
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理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

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Q第2可算公理が成立すると第1可算公理が成立します。ところで、その逆「第

第2可算公理が成立すると第1可算公理が成立します。ところで、その逆「第1可算公理が成立するが第2可算公理が成立する」は必ずしも言えないのでしょうか。それはどのような場合でしょうか。

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第一可算公理は、各点の近傍基が可算ですから、点ごとの性質です。第二可算公理は開基が可算ですから、全体の性質です。
だから、非可算個の点が広い範囲に広がっていれば第一可算公理は成り立って第二可算公理が成り立たない場合もあります。ANo.3に書かれている実数Rに離散位相を入れた例は点をばらばらにした例です。この空間は可分でなく、距離化可能なので第二可算公理は満たしません。
# 距離空間では可分と第二可算公理は同値

なお、第一可算公理が成り立って可分でも第二可算公理が成り立たないこともあります。ANo.2に書かれたゾルゲンフライ直線(Sorgenfrey line)がその例です。ゾルゲンフライ直線は実数に半開区間からなる位相を入れたもので、色々と変な性質を持っているので位相空間論ではよく出てきます。覚えておいて損はないでしょう。
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Qルベーグ測度について

質問があります。今ルベーグ測度について勉強しているのですが,ルベーグ測度0というのはどういう意味なのでしょうか??

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はじめまして。

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数学を少しはかじっていますが、専門ではないのでちゃんとした説明できないことをお許しください。

Q【ZFC】置換公理の定義の統合【置換公理】

【ZFC】置換公理の定義の統合【置換公理】

ZFC公理系の置換公理に就いての質問です。
ZFCの公理を見渡すと、置換公理と、分出公理は、複数のパラメタを取る事が知られて(しかも、分出公理は置換公理に拠って導く事が出来ます)います。
しかし、ネットを見回して診ると、関係式(φ,P,F etc.)が、複数のパラメタを採る物と、採らない物が在ります。

複数のパラメタは考慮されずに記述された置換公理
ttp://okwave.jp/qa/q2959778.html
ttp://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
↑9.
ttp://ufcpp.net/study/set/axiom.html
ttp://blog.livedoor.jp/calc/archives/50760599.html#
ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis/9587/tips/zahlen.html


複数のパラメタを考慮して記述された置換公理
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
↑6.
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_replacement
ttp://pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/tmp/kikaku03-proj.pdf
↑10頁
ttp://page.mi.fu-berlin.de/geschke/ModelleMengenlehreV2/MMskriptV2.pdf
↑1頁(7)

公理は1ヶなのに、上記のサイトを見廻して診ると、まるで2つの記述法が在る様な印象を受けます。もしも、統合可能な場合、どの様な記述に成るのでしょうか。

「複数のパラメタは考慮されずに記述された置換公理」を自分なりに記述した物
∀x ' ∀X ( x ' ∈ X ⇒ ∀Y_0 ∀Y_1 ( F( X , Y_0 ) ∧ F( X , Y_1 ) ⇒ Y_0 = Y_1 ) ⇒ ∃Y ∀y ( y ∈ Y ⇔ ∃x ( x ∈ X ∧ F( x , y ) ) )

「複数のパラメタを考慮して記述された置換公理」を自分なりに記述した物( ∧ , ⇒ 等かなりいい加減です)
∀y_1 … ∀y_n ∀A ( ∀x ( x ∈ A ⇒ ∃1y ( f ( x , y , y_0 , … , y_n ) ) ) ) ⇒ ∃Y ∀y ( y ∈ Y ⇔ ∃x ( x ∈ A ∧ f ( x , y , y_0 , … , y_n ) ) )

【ZFC】置換公理の定義の統合【置換公理】

ZFC公理系の置換公理に就いての質問です。
ZFCの公理を見渡すと、置換公理と、分出公理は、複数のパラメタを取る事が知られて(しかも、分出公理は置換公理に拠って導く事が出来ます)います。
しかし、ネットを見回して診ると、関係式(φ,P,F etc.)が、複数のパラメタを採る物と、採らない物が在ります。

複数のパラメタは考慮されずに記述された置換公理
ttp://okwave.jp/qa/q2959778.html
ttp://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
↑9.
ttp://ufcpp.n...続きを読む

Aベストアンサー

y_1,...,y_nのようなパラメータは、たとえば定数を表現するのに使います。
実際、数学では、空集合φとか、自然数全体Nといった定数を使いますが、公理論的集合論の論理式には本来そのようなものはありません。
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φ(x) := ∀a(¬a∈x)
という論理式を使って
f(x,y,y_0,...) := φ(y_0)⇒P(x,y,y_0,...)
のように書けば、変数y_0が空集合だとPが意味を持つようにできるわけです。
複数のパラメータを持つ公理図式を使えば、上のようなfを使って外側で∀y_0とすることで
P(x,y,φ,...)
のように空集合を表す定数が含まれる論理式でも実質的に公理で扱えることが分かります。

具体的な論理式での定数の除去は煩雑ですので、ここではこれ以上は記載しません。
気になるようなら自分で具体的な記述を確認してみると良いでしょう。

Qルベーグ外測度についての質問

大学数学のルベーグ積分を独学しているものです。

ルベーグ外測度について聞きたいことがございます。

ルベーグ外測度を具体的に求める問題と解説を載せているサイトはありますでしょうか?

または、具体例を挙げられる方はおりますでしょうか?

回答をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

う~ん、ルベーグ積分ねぇ、昔かじった(しかも挫折した笑)程度なんで、参考になるか......。
以下外測度、内測度、測度はルベーグの意味で使います。

いえることは、いわゆるルベーグ可測集合なるものは、外測度=内測度の集合なんで
初めからその外測度=その測度となります。
実用的な点集合は、ほとんど可測集合なので、その外測度はその測度(たいてい0でない)です。

なので、外測度=0 の例 をあげると、有限個の点集合というトリビアルな例以外に、
可付番無限個の点集合、たとえばある実数区間の中の、有理数の集合とか
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外測度=0 という性質を持っています。

ここらあたりをキーワードに検索してはどうでしょう。

Q米国Ph.Dで公理的集合を学べる大学は?公理的集合論の今後の展望は?

日本の大学(A大学)で修士を終公理的集合論えました(専攻は数論)。
以前から公理的集合論に興味があり
アメリカの大学院Ph.Dで公理的集合論(数学基礎論)を学びたいのですが
(英語ではAxiomatic set theoryというんですかね)
どの大学で学べるのでしょうか?
公理的集合論はエリートの学問のような気がしますが(日本の数学学部の講義で公理的集合論を開講してる所は少なく,書籍の著者も東大や京大の教授の方ばかりのような気がするからです)
論文を閲覧できるサイトは高額の年間契約金を払わねばならず現在A大学では部外者となってますので大学に潜入して調べる事もできません(っていうか飛行機で行かねばならない遠方なのでそう簡単に赴けません)。
市内の図書館もインターネット使用不可なので調べようもありません。
逐一,各大学のHPでチェックしていくしかないのでしょうか?
現時点でプロフィール欄でAxiomatic set theoryを研究対象にしてる教授は発見できずです。

何かてっとり早く探す方法は無いものでしょうか?

あと,現在・将来での公理的集合論の展望はどんな感じなのでしょうか?
御意見賜れれば幸いでございます。

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論文を閲覧できるサイトは高額の年間契約金を払わねばならず現在A大...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは
t-h1970さんも仰っしゃっているように、米国のPh.D.コースを目指しておられるのでもまずは国内の専門家に相談されることをお勧めします.(米国でPh.D.を取得した後 日本の大学で教えている集合論の専門家も何人かいます.)去年、京大の数理解析研究所で「公理的集合論と集合論的位相空間論」という研究集会が開かれました.その出席者を調べてみたらいかがでしょうか? そこからたどっていけばきっと集合論が学べる米国の大学院や「公理的集合論の将来の展望」についても知ることが出来ると思いますよ.

Qルベーグ積分について教えて下さい。

ルベーグ積分はリーマン積分とは異なり、横方向にグラフをスライスし、その和をとることで行う積分ですが、
いろいろな書籍を見たところ、ディリクレ関数などリーマン積分出来ない関数に関しては計算が載っているのですが、
リーマン積分可能な関数に関しては見かけたことがありません。

例えば
y=x^2を-10~+10
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一応、私の中で回答はあるのですが、極めて面倒くさいので本当かどうか分かりませんのでどなたか教えて頂けないでしょうか?
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

リーマン積分可能ならば、
ルベーグ積分も可能で、
その値は一致する。

…という基本的な定理を
掲示板上で手短に説明する方法が、
貴方の中に有るのなら、
是非、補足に書いてください。

結論は、簡潔この上ないのですが、
証明は、極めて面倒くさいです。

Q高校数学を勉強中の者です。数学で、公理の定義はわかっても具体的にどんな公理があるのかわかりません

高校数学を勉強中の者です。

数学で、公理の定義はわかっても具体的にどんな公理があるのかわかりません

公理とは以下のような定義と考えています。

論証がなくても自明の真理として承認され、他の命題の前提となる根本命題

公理を元に定義が生まれ、そこから定理が開発されると理解していますが、

肝心の公理とは具体的にどんなものがあるのか、教科書には載っていません。

現代数学(特に高校数学のレベル)の公理を集めたような本やサイトがあれば教えてください。

Aベストアンサー

有名なのは、ユークリッドの5個の公準でしょうか?
議論の出発点の「要請」事項です。

1 任意の点から任意の点へ直線を引く
2 有限直線を連続して1直線に延長する。
3 任意の位置と距離で円を描く
4 全ての直角は等しい
5 1直線が2直線に交わり、同じ側の内角の和を2直角より小さくすると
この2直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側
にで交わる。

今の数学の全ての分野は公理系で成り立っているので、
「代数 公理」「幾何 公理」「線形代数 公理」「集合論 公理」など、個別に検索すれば色々解ります。

Qルベーグ可測集合

ルベーグ可測集合は常に有界集合ですか?

Aベストアンサー

定義を復習してください。集合が可測であることと、有界であることとは別の問題です。たとえば、開区間(0,∞)はルベーグ可測であって、ルベーグ測度は∞ですよね。

QLaTexでの参考文献

参考文献で[1-3]と\citeを使って書きたいのですが, [1,2,3]という書き方しかわかりません。どうすればいいですか?

Aベストアンサー

\usepacage{cite}
をプリアンブル部に書いておけばOK.
ただし,cite.sty というファイルをパスの通っているディレクトリに置いておく必要があります.
mintia12 さんの LaTeX に含まれていなければ,
「LaTeX cite.sty」で検索すればすぐ見つかるでしょう.


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