すべての定数xに対して、
     cos(x+α)+sin(x+β)+√2cosx
が一定になるようなα、βを求めよ。正し、0<α<180,0<β<180とする。

この問いで、『すべての定数x』と書いてあったから、xに適当な数を代入して
連立して解いてみたのですが、うまくいきません。どのようにしたらよいでしょうか?

A 回答 (1件)

たぶんですが。

。。
0<α<180,0<β<180では、この式では解がないような気がしますが。。。
問題の式のどっかの符号か、もしくはα、βの定義域が違ったりしませんか?

考え方は、
1.加法定理で Acosx + Bsinx の形にすることができる。(A,Bはα、βを含む式)
2.(三角関数の合成を考えると)これがすべてのxについて一定であるためには、A^2+B^2=0 すなわちA=B=0であることが必要十分。→未知数α、βの2つに対して、条件式2つ完成。

ということなのですが、cosxの係数が、cosα+sinβ+√2となり、0<β<180よりsinβ>=0、かつcosα>=-1より、この係数は、-1+√2以上、すなわち0になることはありません。。。

ということで、+√2の符号が違う、もしくはα、βの定義域が0-360度であることを希望。。。(^^;)
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上に凸だから、「f(α)≧0 かつ f(β)≧0」であれば
「α<x<βで常に f(x)= -x^2+ax+b ≧ 0」を満たすことは分かる。

逆に「f(α)≧0 かつ f(β)≧0」でないとする。例えばf(α) < 0とすれば
f(x)が αで連続だから、「αより『少し』大きいxでも」f(x) < 0。
証明にはαより大きいxでf(x) < 0なるxの存在を具体的に示してもよいし、
面倒臭ければ平均値の定理を持ち出してもよい。 また、この程度の
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y=f(x)=x^2-2ax+a+6 とおくと
y=(x-a)^2-a^2+a+6
これは、軸が直線x=aの下に凸の放物線です。

(i) a<4 のとき
f(4)≧0
16-8a+a+6≧0
-7a≧-22
a≦22/7
a<4 より
a≦22/7

(ii) 4≦a≦6 のとき
f(a)>0
-a^2+a+6>0
a^2-a-6<0
(a-3)(a+2)<0
-2<a<3
これは 4≦a≦6 より 不適

(iii) 6<a のとき
f(6)≧0
36-12a+a+6≧0
-11a≧-42
a≦42/11
これは 6<a より 不適

(i)、(ii)、(iii) より
a≦22/7

y=f(x) のグラフが、4<x<6 の範囲でx軸の上方になるようなaの値の範囲を求めればよく、 
例えば、
軸が x=2 の放物線、x=5 の放物線、x=7 の放物線を描いて確認してみてください。

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
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上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
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ちなみに1問目で左辺の正式をf(x)とおくと
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なぜならxにα+1, β+1を代入すれば
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(1) 2次元ユークリッド平面上のベクトルの話だという限定を付けないと、長方形にはならない。(3次元なら、たとえば原点に重心がある正四面体の頂点がα,β,γ,δでも条件を満たすでしょ。)
(2) |α|=0の場合は例外だし、α,β,γ,δのうちに同じものが含まれる場合も例外。
ということに注意した上で
(3) |α|=|β|=|γ|=|δ|=1の場合に証明すれば、他の場合は自明なので、=1の場合だけ考える。
(4) x = (α+β) とすると、αとxがなす角θはxとβがなす角と同じ。
(5) (γ+δ) = -xでなくちゃならない。で、γとxがなす角ξはxとδがなす角と同じ。
あとはθ=ξを示せばよかろ。


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