動摩擦係数がμ=0.20の水平面上に、質量2.0kg、3.0kgの物体A、Bをおいて、
軽い糸でつないだ。AをBがあるのとは正反対の方向に18Nの力で引く。次の問に
答えよ。
(1)物体A、Bに対して運動方程式をたてなさい。
(2)物体A、Bの加速度の値を求めよ。
(3)AB間の糸の張力の大きさを求めよ。

糸の張力をT、AとBの加速度をそれぞれa、bとすると、
(1)
A: 2a=14-T
B: 3b=T-6
まで出来たのですが、
(2)が分かりません。
全体の加速度がXだとすると、
(2+3)X=18
という位しか分かりません。

詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

問題文に「水平面」とありますから、このような場合、普通は、「地上における運動(重力加速度あり)」と考えます。


ここではそれで解いてみます。まず文字式で解きます。後で、具体的な値を入れたいと思います。

物体A, Bの質量をそれぞれM[kg]、m[kg]とし、物体Aに加えられた力(18N)をf[N]、重力加速度をg[m/s^2]とする。
fの方向を正方向としてx軸、鉛直上向きにy軸をとる直交座標系を設定する。物体A, Bのx方向の加速度をそれぞれ
a[m/s^2], b[m/s^2]とおく。また、物体A, Bが水平面から受ける鉛直上向きの抗力をそれぞれ、N[N], R[N]とする。
張力をT[N]とすれば、物体A, Bの運動方程式のx成分、y成分は、次のようになる。

物体A
x成分:Ma = f-T-μN ……(1)
y成分:M0 = N-Mg ……(2)

物体B
x成分:mb = T-μR ……(3)
y成分:m0 = R-mg ……(4)

(1)と(2)よりNを消去して、
物体A:Ma = f-T-μMg ……(5) ⇔ a = 1/M(f-T-μMg) ……(5')
(3)と(4)よりRを消去して、
物体B:mb = T-μmg  ……(6) ⇔ b = 1/m(T-μmg) ……(6')
物体AとBは等しい速度で運動し、また最初どちらも静止していて、同時に動き出したなら、
a = b
すなわち、(5')=(6')で、
1/M(f-T-μMg) = 1/m(T-μmg)
⇔T = mf/(M+m) ……(7)

上の解答に、具体的な値、
M=2.0, m=3.0, f=18, μ=0.20, g=9.8
を代入すると、答は以下のようになります。問(1)はx成分のみ書きます。


問(1) 式(5), (6)に値を代入して、 
 物体A:x成分:2a = 18-T-3.92
 物体B:x成分:3b = T-5.88
問(3) 式(7)に値を代入して、
 T=3*18/(3+2)=54/5=10.8
問(2) 式(5')あるいは(6')に値を代入して、(このとき上のTの値も代入)
 a=b=1.64[m/s^2]
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alien55さんのお答えのとおりですが、手短な方がよければ次でいいでしょう。



記号はalien55さんと同じにします(加速度以外)。
摩擦力の性質などを考慮すると、引く方向の運動と力だけを考え、また、AとBの加速度は同一と見なしていいことが分ります。そこで、引く方向を正とする1次元の座標で考え、加速度をaとおきます。

Aの運動方程式:Ma=f-T-μMg
Bの運動方程式:ma=T-μmg

上の2式からTを消去し、a= の式にすれば、
a=f/(M+m)-μg

運動方程式に戻って、今度はaを消去して T= の式にすれば、
T=m/(M+m)f

あとは代入するだけですね。
私としては、fやmなどは、それ自身で単位を含む物理量の記号(m[kg]のように書かないもの)として扱うことをお勧めします。
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重力加速度が 10m/(s^2) ならば powanさんが正解だと思います。


あとは糸が伸び縮みしなければa=b=X

宇宙ステーションかどこかで重力加速度が1m/s^2ならばstarfloraさんが正解。

だと思われます。以上。
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ヒントだけです。


starflora様でもミスタイプされたようですから。

摩擦のある面で、質量mに外力Fが働き、運動しているときの運動方程式は
ma=F-μmg
ただし、μは動摩擦係数、gは重力加速度です。

では、
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  こんな問題は分かりません。以下のように思えるのですが、どうなのかな。
 
  Aの方程式: 2a=18-0.4-T
  Bの方程式: 3b=T-0.6
 
  Aの加速度: a=8,8-T/2
  Bの加速度: b=T/3-0.2
 
  全体の運動は、a=bで
  8.8-T/2=T/3-0.2
  よって、5T/6=9
      T=54/5=10.8 N で張力です。
  本当だろうか。
 
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斜面を転がる物体の加速度aについて

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だったら実際に斜面を重い物と軽い物を転がすとすると、
実際は摩擦力と空気抵抗の関係で重いものが速く転がって、軽いものは遅く転がるのでしょうか?

摩擦力や空気抵抗を考慮して加速度を計算した場合、実際に近い加速度がわかると言うことでしょうか?

もしそうなら、空気抵抗の計算は良くわからないので、摩擦力だけを考慮したらどういった加速度の計算式になるのか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず、誤解があるようです。
重い物体の方が軽い物体より速く落ちるわけではありません。
空気抵抗の大きさによっては、軽い物体の方が速く落ちます。
多分、「重い物体」を鉄の玉、「軽い物体」を羽毛や紙、とした説明を聞いたのだと思います。
この場合は、羽毛や紙の方が、空気抵抗の影響を大きく受けますので、したがって、ゆっくり落ちます。
でも、「重い物体」でも空気抵抗の影響が大きい形状をしているならば、必ずしも速く落ちるとは言えません・・・まあ、羽毛や紙よりかは速く落ちるでしょうけれど(^^;)
それから、斜面の場合でも一概には言えません。
全く摩擦の無い斜面ですと、物体は加速g・sinθ (θは斜面の傾き角)で滑り降りますが、
摩擦がある場合、物体と斜面の間で滑りが起こる場合と起こらない場合で加速度が異なってきます
  滑りが無い場合:加速度 (2/3)g・sinθ ただし、物体の形状が球のとき
  滑りがある場合:加速度 g(sinθ ー μcosθ) μ:動作摩擦係数 μの値は、物体と斜面の材質で決まります。
そんなわけで、重い物が速く転がって、軽い物が遅く転がるとは言えません。
例えば、斜面との摩擦が大きいゴム製の直方体と摩擦の小さい紙で作った同じ大きさの直方体
を斜面上において、同時に手を離したとします。
ゴム製の直方体は摩擦が大きくて、斜面上で静止し、
紙製の直方体はスーッと斜面上を滑り落ちていく、なんて事もあります。
確かに、斜面の実験で重力加速度を求めることは可能ですが、実験上の様々な事柄を考慮しないと、求めることはできません。

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空気抵抗の大きさによっては、軽い物体の方が速く落ちます。
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この場合は、羽毛や紙の方が、空気抵抗の影響を大きく受けますので、したがって、ゆっくり落ちます。
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a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

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t〔s〕+⊿t〔s〕より
t〔s〕=0、lim〔t→0〕⊿t=0となるから
t〔s〕+⊿t〔s〕=0s+0s=0s
よって、0sにおける瞬間の加速度になるんでしょうか?

Aベストアンサー

>⊿tをドンドン0sに近づけると加速度aは、
>t〔s〕+⊿t〔s〕より
> (略)
>t〔s〕+⊿t〔s〕=0s+0s=0s
>よって、0sにおける瞬間の加速度になるんでしょうか?

はい、そのように理解なさって良いです。


似たようなことを書いて補足とします。
たとえば、t=5.0[s]のとき
⊿tをドンドン0sに近づけると加速度aは、
t〔s〕+⊿t〔s〕より
t〔s〕=5.0、lim⊿t=0となるから
t〔s〕+⊿t〔s〕 → 5.0s+0s=5.0s
よって、5.0sにおける瞬間の加速度になる。

こんなふうに、いくらでも応用できます。

 ちなみに、v-tグラフが、「参考書」にあるような 直線 になっていようと、もっと複雑な 曲線 になっていようと、上に述べたことは常に正しいです。
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あるいは、逆に、どの瞬間での加速度でもある、と言っても構わないことになります。
 しかし、v-tグラフが曲線になってしまう運動では、瞬間の加速度 と 平均の加速度 とは、きちんと使い分けする必要があります。

((おまけ))
 一般的に、単に 「速さ」、「速度」、「加速度」 と書いてある場合は、「瞬間の速さ」、「瞬間の速度」、「瞬間の加速度」 を意味していることが多いです。

>⊿tをドンドン0sに近づけると加速度aは、
>t〔s〕+⊿t〔s〕より
> (略)
>t〔s〕+⊿t〔s〕=0s+0s=0s
>よって、0sにおける瞬間の加速度になるんでしょうか?

はい、そのように理解なさって良いです。


似たようなことを書いて補足とします。
たとえば、t=5.0[s]のとき
⊿tをドンドン0sに近づけると加速度aは、
t〔s〕+⊿t〔s〕より
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Aベストアンサー

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通常は、
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(2)全体の質量:M + m

(3)加速度:a

として、運動方程式 (力)=(質量)×(加速度)

  mg - μMg = (M + m)a

から求めるのが普通です。

 初速度ゼロ、初期位置を変位ゼロとして

・加速度:a = (m - μM)g / (M + m)   ①

・速度 :V = [ (m - μM)g / (M + m) ] * t   ②

・落下距離 :y = (1/2)[ (m - μM)g / (M + m) ] * t^2  ③

となります。

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  F = ma
と書けます。力の単位「ニュートン:N」が「 kg・m/s² 」と等価であることが分かります。

 働く力が「下向きの重力:mg」だけのときには、「上」を正として
  F = -mg (これは運動方程式ではなく「力が下向きに mg である」という式)
であり、運動方程式は
 -mg = ma
となるので、
 a = -g
ということが、運動方程式から導き出されます。

 重力以外に、たとえば「ロケットの上昇推進力」が働くような場合では、「上昇推進力」を Fs とすれば
  F = -mg + Fs (これも運動方程式ではなく「力が上向きに -mg + Fs である」という式)
ですから、運動方程式は
 -mg + Fs = ma
となります。左辺が「働く力」、右辺が「ロケットの運動」です。
 これより、ロケットの加速度は
  a = -g + Fs/m
ということが導き出されます。


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