Hamilton-Cayleyの定理を証明してください
お願いします

A 回答 (2件)

xにAを代入しちゃうなんて、とってもはしょった証明ですね。

びっくりました。

さて、|x・E-A|はxのn次多項式
x^n+a_[n-1]・x^(n-1)+…+a_[0];a_[k]は係数。
と書けます。

ここで|x・E-A|・E=(x・E-A)・B(x)の左辺に上式を、
右辺にB(x)=…の式を代入し、両辺のx^kの係数を比較します。

出来上がったn+1個の式について、x^nの係数を比較した式の両辺にA^nをかけ、
x^(n-1)の係数を比較した式の両辺にA^(n-1)をかけ…
そして全部足す(これをはしょると「代入」にみえるんですね。)とケーリー・ハミルトン
の定理が得られます。

方針だけ示しましたが、計算してみてください。

(あれ?「ハミルトン・ケーリーの定理」と「ケーリー・ハミルトンの定理」、どっちが正しいんでしょう?)
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問題の背景やご自分でどこまで考えたかをお示しにならないと


なかなか回答してくれる方はおられないんではないでしょうか。

多分以前にお書きになっておられたと思いますが、証明が怪しい
と思われる教科書があったとか。
例えばその部分を書き出してなぜ怪しいと思われるのかを書いて
みたらどうでしょう?

この回答への補足

大変よく分かりました
解決です
どうもありがとうございました

「ハミルトン・ケーリーの定理」と「ケーリー・ハミルトンの定理」、どっちが正しいんでしょう?
私の本では3冊とも「Hamilton-Cayley」です
多分語呂がいいから「ケーリー・ハミルトンの定理」とも言うのかもしれません
しかし貢献度がハミルトンのほうが高いから「Hamilton-Cayleyの定理」と言うのではないですか?
私も真偽を知りたいので質問してみます

補足日時:2002/01/30 05:06
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この回答へのお礼

Hamilton-Cayleyの定理:
xを複素数の変数としAをn次正方行列としEをn次単位行列としf(x)≡|x・E-A|とすればf(A)=0である

Hamilton-Cayleyの定理の証明:
x・E-Aの余因子行列をB(x)としB[0],B[1],B[2],B[3],・・・,B[n-1]をそれぞれ適当なn次正方行列として
B(x)=x^(n-1)・B[0]+x^(n-2)・B[1]+・・・+x^0・B[n-1]
|x・E-A|・E=(x・E-A)・B(x)=B(x)・(x・E-A)
よってB[0],B[1],B[2],B[3],・・・,B[n-1]はAと交換可能である
xにAを代入すればf(A)=(A-A)・((A^(n-1)・B[0]+・・・+A^0・B[n-1])=0

が定理の証明です
xにAを代入することができるのが不思議なのですが

よろしくお願いします

お礼日時:2002/01/30 00:39

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