例えば、
y=(a^t)*sint (a:定数, t:実数全体)
という関数があったとすると、y=0になるのはsintが0になる、 t=0、Π、2Π、3Π、…
だと思うんですが(違ってないですよね?)、
t=-∞ のとき
a^tが0になるのでsintが何であっても y=0になるのか、lim(t→∞)a^t は0に限りなく近づくだけなので0でないから y=0になるのはt=nΠ なのか、どっちなのでしょう(僕は後だと思うんですけど…)? また、人に説明するとき(証明?)、どうすればいいですか?

A 回答 (3件)

>t→-∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね?


…はぁ?
t→-∞の場合とt=±nΠ(n=0,1,2,…)の場合とは別の話ですが…

> lim(t→∞)f(t)=∞
>というのは、
>「tを限りなく大きくしていった場合、f(t)は限りなく大きくなる」
>ということを略記しているだけです。
というのを勘違いされたかなぁ…

繰り返しになりますが、lim(t→∞)f(t)というのは「tを限りなく大きくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号ですし、lim(t→-∞)f(t)というのは「tを限りなく小さくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号です。
また、∞が論文の式の中に登場した場合は、「限りなく大ききなる」ということを略記しているだけです。

まず、質問文の記述から、|a|>1と推測します。このとき、
 lim(t→-∞)a^t=0
となります。しかしだからといって、
 a^(-∞)=0
と書いてはいけませんし、そもそも-∞という「数」はありません。

この問題の場合、y=(a^t)*sin tはa^tの部分が絶対0にならないためsin tが0となるt=±nΠ(n=0,1,2,…)の時のみy=0となります。

…っていかん、y=0を満たすtが実数全体となるパターンがありました。
それは、a=0のときです。
つまり、問題の答は正しくは、
 a≠0の時、t=±nΠ(n=0,1,2,…)、
 a=0の時、tは任意の実数
でした。

余談になりますが、
 lim(t→-∞)y
の値は|a|>1またはa=0の時に0になります。
 0<a<1の時はlim(t→-∞)y=∞となり、
 -1≦a<0またはa=1の時はlim(t→-∞)yは定まりません。
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この回答へのお礼

すみませんでした、理解しました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/31 16:04

lim(t→∞)a^t sin(t) は0です。


sin は-1~1の範囲しか取りません。
ところが、j_takoyaking-manさんのおっしゃられるとおり、lim(t→∞)a^t → 0なので、0となるはずです。
「定数がかかっているのと同じ」ととって問題ないと思います。
厳密な話は忘れました^^;

>t→-∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね
「t=-∞」というのは普通の数学では扱わないので、t=±nΠ(n=0,1,2,…)となると思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/31 16:06

>t=-∞ のとき


と書かれていますが、∞という数はありません。
lim(t→∞)f(t)というのは「tを限りなく大きくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号です。
 lim(t→∞)f(t)=∞
というのは、「tを限りなく大きくしていった場合、f(t)は限りなく大きくなる」ということを略記しているだけです。
(-∞もその向きが負なだけで言ってることは変わりません)
したがって、t=-∞という「数」を考えるのはナンセンスです。

なお、この問題の答えは、
 t=±nπ(n=0,1,2,…)
となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます.
すみません、間違えました.t=-∞ではなくてt→-∞です.
t→-∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね?

お礼日時:2002/01/30 18:03

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