行列を作り掃きだし法で解を求めよう
と思うのですが、
掃きだし法がなんなのか分からないのですが
行列を階段状にしました。しかし右側
はのこっているので、結局は連立方程式を解く
ことになりそうなのですが、掃きだし法ってどんな物なのですか?

また未知数がたくさんあるのですが、
解を持つためには行列Aがどのような条件を持てばいいのでしょう?

連立方程式の場合、未知数が3個の場合3個式を立てればよかった

A 回答 (2件)

>結局は連立方程式を解くことになりそうなのですが



ええと~、掃き出し法による連立方程式の解法ですか?それとも掃き出し法による逆行列の作り方でしょうか。
いずれにせよ掃き出し法の使い方がよくわかってないようですね。次のページ辺りを参照して下さい。
http://yonex1.cis.ibaraki.ac.jp/%7Eyonekura/math …
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/%7Echem/itou/cem …

解を持つための条件ですか?逆行列を持つ条件なら、元の行列Bが、連立方程式がおのおの一つの解を持つ条件ならば一番右の列を除いた正方行列Bが、
det(B)≠0 を満たす、
つまりBの行列式が0にならないこと
です。
ただし連立方程式の場合で不定でもいいのなら話は違ってきます。
一般に掃き出し法で000002のようにすべて0で右端のみ0以外という行が作れたなら、解のない、いわゆる不能になります。一方000000のようにすべて0の行が作れたなら不定になると思います。

この回答への補足

手計算でやるため、逆行列よりも掃きだし法のほうが
勝手がいいと思います。特に未知数が多いので。
ただAx=0
Aは4*4の様に正方行列でないとxはすべてでてこないのですか?
横に長いと解けませんよね?
縦に長かったら解けそうな気がしますけれども・・。

補足日時:2006/04/10 07:22
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補足に対する回答ですが、



おっしゃる通り、正方行列でなくとも解けます。
ただし、
横に長い場合、式より未知数の数が多く、一意に決まらない。
縦に長い場合、未知数より式の数が多くなるので、
実際に使う式は独立な式で、未知数の数です。
残りの式は、2x+y+3z=0 4x+2y+6z=0 の2式のように、独立でない式のはずです。
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いまいちやり方がわからないので分かりやすく解説いただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

(0 1 1 5 | 3)
(2 1 7 1 | 7)
(3 1 9 1 | 8)
から始めます。1行目を(-1)倍して2行目に加えます。
そして、2行目を(-1)倍して3行目に加えます。すると、
(0 1 1 5 | 3)
(2 0 6 -4 | 4)
(3 0 8 -4 | 5)
となります。2行目を2で割ると、
(0 1 1 5 | 3)
(1 0 3 -2 | 2)
(3 0 8 -4 | 5)
となります。2行目を(-3)倍して3行目に加えると、
(0 1 1 5 | 3)
(1 0 3 -2 | 2)
(0 0 -1 2 | -1)
3行目を1倍して1行目に加え、3行目を3倍して2行目に加えると、
(0 1 0 7 | 2)
(1 0 0 4 | -1)
(0 0 -1 2 | -1)
3行目を(-1)倍すると、
(0 1 0 7 | 2)
(1 0 0 4 | -1)
(0 0 1 -2 | 1)
となります。このように、左側の0の数をできるだけ多くして、
単位行列に近づけます。
ここまできたところで、x,y,z,w の式に戻すと、
y + 7w = 2
x + 4w = -1
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こんな感じの回答で大丈夫でしょうか?
わからないことがありましたら、お尋ね下さい。

(0 1 1 5 | 3)
(2 1 7 1 | 7)
(3 1 9 1 | 8)
から始めます。1行目を(-1)倍して2行目に加えます。
そして、2行目を(-1)倍して3行目に加えます。すると、
(0 1 1 5 | 3)
(2 0 6 -4 | 4)
(3 0 8 -4 | 5)
となります。2行目を2で割ると、
(0 1 1 5 | 3)
(1 0 3 -2 | 2)
(3 0 8 -4 | 5)
となります。2行目を(-3)倍して3行目に加えると、
(0 1 1 5 | 3)
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ということでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「連立」の意味がよく分かれば、疑問点は晴れると思います。

y=2x-2 …… (1)
y=-x+4 …… (2)

方程式(1)は、傾きが+2で、切片が-2〔つまり、(0,-2)を通る〕の直線ですね。そして、この式を満たす点は(0,-2)(1,0)(2,2)(3,4)…と無限にあります。

同じように、方程式(2)は、傾きが-1で、切片が+4〔つまり、(0,+4)を通る〕の直線ですね。そして、この式を満たす点は(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)…と、これも無限にあります。

方程式(1)も(2)も、個別に満たす点はいっぱいありますが、この両方を同時に満たす点は1つしかありません。すなわち、それはこの両直線が交わるところです。

それを求めるためにはどうするかと言うと、方程式(1)と(2)とを「連立」させるわけです。連立させる方法は、代入法や加減法がありますが、どれで解いても結果は同じはずです。

質問者様は代入法で解いたので、ここでは加減法でやってみましょう。
(1)から(2)を引くと、
0=(2x-2)-(-x+4)
3x-6=0
x=2

と、このように同じ解が出ます。これを(1)に代入すれば、
y=2
が得られます。

つまり、座標(2,2)が、方程式(1)と(2)とを「連立」させて解いた解である。すなわち、方程式(1)と(2)を同時に満たす点である。さらにすなわち、両直線の交点である、ということになるわけです。

以上、ご回答まで。

「連立」の意味がよく分かれば、疑問点は晴れると思います。

y=2x-2 …… (1)
y=-x+4 …… (2)

方程式(1)は、傾きが+2で、切片が-2〔つまり、(0,-2)を通る〕の直線ですね。そして、この式を満たす点は(0,-2)(1,0)(2,2)(3,4)…と無限にあります。

同じように、方程式(2)は、傾きが-1で、切片が+4〔つまり、(0,+4)を通る〕の直線ですね。そして、この式を満たす点は(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)…と、これも無限にあります。

方程式(1)も(2)も、...続きを読む


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