ガウスの定理の証明を眺めて5時間、理解できません。やっていることは面積分⇔体積積分ということですよねぇ。
だれか分かりやすく証明してもらえないでしょうか。
出来れば電磁気学の例を出してどのように使えばいいのかも教えていただけないでしょうか?
例だけでも助かります。
お願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (6件)

 320gさん。

まだ若いっすよ。
 touch_me_8さん。ガウスの定理ですね。発散定理とか、ガウスの発散定理とか、ガウスの法則積分形とか言うやつの事だよね。大学1年生かな?

 電荷密度とか電束密度から電界を求めたり、コンデンサーの電気容量とかを求めるときに使うやつでしょ。

 数式はここでは書くのもつらいし、読むのもつらいから書きませんよ。
 私も学部時代、なんかの定理の証明で行き詰まった事がよくありましたが、そういう時は、似たようなものが載っている本をたくさん調べました。そのなかに自分が理解のできる方法で証明されているものにたどり着くまで。たどり着く頃にはたいてい始めに理解できなかったものも理解できているんだよな。

今の場合は大学の図書館とかで、ベクトル解析とか電磁気学とか応用解析とかいう類の本で調べて見てください。どの本にも証明が出ています。名前は発散定理で出ていることの方が多分、多いのかな。
 

 
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはりいろいろな本を見た方がいいのですか。
一つの本を徹底的にやる方がいいのではないかと思っていました。

お礼日時:2002/01/31 12:34

x,y,zをそれぞれ実数の変数としΔを正の実数としl,m,nをそれぞれ整数とし


V[l,m,n]を(l・Δ,m・Δ,n・Δ)から(l・Δ+Δ,m・Δ+Δ,n・Δ+Δ)に引いた直線を対角線とする立方体内部の領域とし
S[l,m,n]をV[l,m,n]の表面の領域とし
S[m,n]≡{(y,z)|yはm≦y/Δ≦m+1である実数、
zはn≦z/Δ≦n+1である 実数}とし
S[n,l]≡{(z,x)|zはn≦z/Δ≦n+1である実数、
xはl≦x/Δ≦l+1である 実数}とし
S[l,m]≡{(x,y)|xはl≦x/Δ≦l+1である実数、
yはm≦y/Δ≦m+1である 実数}とし
n(x,y,z)をS[l,m,n]上の点(x,y,z)においてS[l,m,n]に垂直でV[l,m,n]外部に向かう大きさ1のベクトルとし
E(x,y,z)を点(x,y,z)におけるベクトルとし
●を内積演算とする

(y,z)を固定すれば
∫(l・Δ~l・Δ+Δ)dx・(∂/∂x)・Ex(x,y,z)=
Ex(l・Δ+Δ,y,z)-Ex(l・Δ,y,z)
従って
∫∫∫(x,y,z)∈V[l,m,n]dxdydz・(∂/∂x)・Ex(x,y,z)=
∫∫(y,z)∈S[m,n]dydz・(Ex(l・Δ+Δ,y,z)-Ex(l・Δ,y,z))
同様にして
∫∫∫(x,y,z)∈V[l,m,n]dxdydz・(∂/∂y)・Ey(x,y,z)=
∫∫(z,x)∈S[n,l]dzdx・(Ey(x,m・Δ+Δ,z)-Ey(x,m・Δ,z))
∫∫∫(x,y,z)∈V[l,m,n]dxdydz・(∂/∂z)・Ez(x,y,z)=
∫∫(x,y)∈S[l,m]dxdy・(Ez(x,y,n・Δ+Δ)-Ez(x,y,n・Δ))
上式を辺辺加え合わせて
∫∫∫((x,y,z)∈V[l,m,n])dxdydz・div(E(x,y,z))
=∫(S∈S[l,m,n])dS・n(x,y,z)●E(x,y,z)
ただし右辺の積分内においてdSをS[l,m,n]の無限小分割平面の面積とし(x,y,z)を前記無限小分割平面上の点とする

従ってV[l,m,n]においてはガウスの定理が成立する
従って任意の閉曲面の内部にV[l,m,n]を敷き詰めてできた立体についてもガウスの定理が成立する
Δを小さくしていけば前記立体の体積積分が前記閉曲面内部の体積積分に限りなく等しくなり前記立体表面の面積分が前記閉曲面の面積分に限りなく等しくなるので前記閉曲面についてもガウスの定理が成立する

「限りなく等しくなる」の証明の骨子:
(1)
pを面積Sの平面としn≡(α,β,γ)をpの単位法線ベクトルとし
pのyz平面への射影の面積をSxとし
pのzx平面への射影の面積をSyとし
pのxy平面への射影の面積をSzとすると
Sx=S・α,Sy=S・β,Sz=S・γであるから
S・n=(S・α,S・β,S・γ)=(Sx,Sy,Sz)である
Ex,Ey,Ezをそれぞれ実数とし E=(Ex,Ey,Ez)とすれば
S・n●E=Ex・Sx+Ey・Sy+Ez・Szである
(2)
x=l・Δ (l=0,±1,±2,±3,・・・)の平面と
y=m・Δ (m=0,±1,±2,±3,・・・)の平面と
x=n・Δ (n=0,±1,±2,±3,・・・)の平面で
前記閉曲面を切断し前記閉曲面上に切断閉曲線を作る
すると前記閉曲面は前記閉曲線で囲まれた曲面で分割される
前記分割曲面をxyz3方向に前記立体表面上へ射影する
するとほぼ前記射影面が前記立体を構成する立方体のむき出しの面に1:1対応することが分かる
対応しなかった射影の面積の総和はΔを限りなく小さくすれば限りなく小さくなる

ストークスの定理の証明手順:
(1)
(l・Δ,m・Δ,n・Δ)-(l・Δ,m・Δ+Δ,n・Δ+Δ)が対角線の正方形について証明し
(l・Δ,m・Δ,n・Δ)-(l・Δ+Δ,m・Δ,n・Δ+Δ)が対角線の正方形について証明し
(l・Δ,m・Δ,n・Δ)-(l・Δ+Δ,m・Δ+Δ,n・Δ)が対角線の正方形について証明する
(2)
適当な(l,m,n)で複数の前記正方形をつなぎ任意曲面を近似する
(3)
Δを小さくしていけば両線積分が限りなく等しくなり両面積分が限りなく等しくなることを示す
    • good
    • 0

質問文からすると,ガウスの発散定理ですね.


他の方もお書きのように,証明や応用が載っている本はいくらでもあります.
ここで証明や応用を書いても,それらの本と似たような内容で,
式が読みにくく図もろくなものがない,というものになるだけです.

touch_me_8 さんがどこで引っかかっているのか,
具体的に書かれた方がよいでしょう.

私の講義経験では,
(a) 証明以前に,用語や概念があやふやのままである.
(b) 証明の議論の組み立てを理解していない.
(c) 式変形がわからない.
  特に,式変形が単純な(いつでも成り立つような)ものか,
  それとも今考えている状況の特殊性故に成り立つのか,
  そういうことの認識がない.
が理解できない三大原因(?)です.

チェックポイントをあげておきます.
○ 面積分の意味.
○ dS (S はベクトル)とはどういうもの?
  特に,閉曲面と dS の向きは?
○ div F = lim_{ΔV→0} {∫_S F・dS / ΔV} であること.
○ 下図のようなAとBの面積分を加えたとき,AとBの境界からの寄与は
完全にキャンセルすること.

┌─────┐┌─────┐
│     ││     │
│     ││     │
│  A  ││  B  │
│     ││     │
│     ││     │
└─────┘└─────┘

上のポイントをチェックしてから,もう一度証明を読み直してみてください.

motsuan さんの
> 気分的には∫(df/dx) dx=f(x)みたいなもんです
はまさにそうです.
この式のある意味での高次元版がガウスの発散定理やストークスの定理です.

> やはりいろいろな本を見た方がいいのですか。
> 一つの本を徹底的にやる方がいいのではないかと思っていました。

入試対策では「一つの本を徹底的」がよく言われるようですが,
今の場合とは目的が違います.
入試では,広い範囲からいろいろな問題が出る中で,
とにかく合格点を取らなければいけません.
したがって,どこか抜けているところがあっても他でカバーしてトータルで
合格点になればよいのです.
あれこれ読みあさって,「あ,これは知らない,大変だ」と焦るよりも,
できるところを確実にというので「一つの本を徹底的」なのでしょう.
今の話は様子が違います.
どうしてもガウスの法則を理解しなければならないのなら,
それこそいろいろな本など見て,比較検討すべきです.
大学ではそういう姿勢が当然要求されています.
    • good
    • 1

証明を知りたいのか使い方を知りたいのかわからないのですが


(証明は正しくないですが気分的には∫df/dxdx=f(x)みたいなもんです。
 意味はnikorinさんがおっしゃられているとおりですよね)、
ファインマンの教科書に電荷密度ρが与えれらた系の電場を求める計算では
対称性の良い系では∫E・dS=∫ρdVの左辺でEの値をSの上で
一定になるようにとれるのでその場合は発散定理を使い、
そうでない場合はポテンシャルをもとめて電場をもとめるほうが良いと
使い方についてコメントがあってなるほどと思ったことがあります。
以上参考までに。
    • good
    • 0

∫E・dS=∫divE・dV ですよね。


式の意味するところをイメージできれば証明もわかることと思います。
Eを水の流れとでも思ってください。
左辺は考えている領域の表面からでていく流量を表します。
一方、右辺は考えている領域の微小体積からの「わき出し」を全領域に
わたって足し合わせています。
要するに表面から出て行く流量は全体積からのわき出しと等しいという
ことを上式はいっています。
    • good
    • 0

質問の意味がよく分かりませんが??



ガウスは、磁束密度 1m四方の中に何本磁力線があるか、たとえば、500本なら、500ガウスと記憶してます。
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qオイラーの公式とガウス座標の関係

オイラーの公式e^(iθ)=cosΘ+isinΘの右辺はガウス座標で原点からのベクトルのような感じで理解すべきなのでしょうか。またこれと関連して虚数単位iをかけると90度だけ回転するということとどのような関係があるのか考えるヒントを教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは、e^(ia) (aは実数)は長さ1で実軸とa ラジアンの角度をなすベクトルでいいと思います。


(1) 全ての複素数zは z = re^(ic) と書ける。(r>=0, cは実数)

(2) e^(ia)e^(ib) =e^(i(a+b))

を示してください。これでe^(ia)を他の複素数に掛けることは、その複素数をaだけ回転する事をあらわすことが分かるはずです。

(3) i = e^(ix)

でxを求めてください。これで90°回転が分かるはずです。

Q電磁気学 ガウスの法則

微分系のガウスの法則について質問があります。

点電荷が置かれているときに電場は距離、1/r^2に比例して減少しますよね。
電荷が置かれている点からRだけ離れた位置でガウスの法則を適用すれば、
電荷密度は0、よって電場の発散も0のはず。
これは電場が1/r^2に比例することに反しませんか?

1次元で考えると1/x^2の微分は明らかに0ではないし、
2次元で考えて発散を計算しても0にはならないはずです。
どこが間違っているのでしょか?

Aベストアンサー

> 1次元で考えると1/x^2の微分は明らかに0ではないし、
> 2次元で考えて発散を計算しても0にはならないはずです。
実際に3次元では計算してみましたか?
次元が変わっても大して変わらない気がしてしまいますが、実際に計算してみると異なった答えが出てきます。

電場の大きさは 1/r^2 に比例しますが、その向きは動径方向の単位ベクトル r↑/r で表されるので、
結局電場はベクトルとして r↑/r^3 に比例します。
ですから、たとえばx成分は x/r^3 です。
これから発散を計算すると、ちゃんとゼロになります(実際には、三次元極座標を使って計算した方が楽ですが)。

Qオイラーの公式と微積分の関係

sinとcosは微積分において,ちょうどガウス座標での回転に一致しているそうですが,このこととオイラーの公式とはどのようにつながっているのでしょうか。sin をiとおくかcosをiと置くのかわかりませんが、不思議な感じがします。]

Aベストアンサー

すみません,
> (sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=sin(x) -- (*)となる.



(sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=-sin(x) -- (*)となる

と訂正します.

Q電磁気学 ガウスの法則、力

 導体で作った同心球殻で、外角を接地し、内球を一定の電位V[V]に保ちながら、その半径を変えた。内球の表面の単位面積当たりに働く力が、最も小さくなるのはどのような場合か。ただし、媒質は真空である。

という問題の答えが以下の通りなのです。

 内球の半径をa[m],外球の内半径をb[m]、内球の電荷量をQ[C]とするとQは次のようになる。

V=-∫(b→a) Edr
 =-∫(b→a) (Q/4πε0r^2)dr
 =Q/4πε0(1/a-1/b)

∴Q=4πε0V/(1/a-1/b)

従って、内球の表面の単位面積当たりに働く力F[Pa]は、次のようになる

 F=(1/2)(σ/ε0)σ  ←ここがわかりません。
  =ε0V^2/2a^2(1-(a/b))^2

Fが最小になるには分母が最大となるので・・・
以下省略。

上の←ここがわかりません。 と記した式について、σは単位面積当たりの電荷ということは、
 F=電界×電荷
この式と思うのですが、どうして電界が(σ/ε0)ではなく、(1/2)(σ/ε0)になるのか、どこからきた1/2なのかわかりません。

どなたかご教授お願い致します。

なお、
∫(b→a) Edr
とは、Eをrでbからaに不定積分するという意味です・・・。書き方がよくわからないのでこういう形にさせて頂きました。

 導体で作った同心球殻で、外角を接地し、内球を一定の電位V[V]に保ちながら、その半径を変えた。内球の表面の単位面積当たりに働く力が、最も小さくなるのはどのような場合か。ただし、媒質は真空である。

という問題の答えが以下の通りなのです。

 内球の半径をa[m],外球の内半径をb[m]、内球の電荷量をQ[C]とするとQは次のようになる。

V=-∫(b→a) Edr
 =-∫(b→a) (Q/4πε0r^2)dr
 =Q/4πε0(1/a-1/b)

∴Q=4πε0V/(1/a-1/b)
...続きを読む

Aベストアンサー

一様な電界 E の中にある電荷 q に働く力 F は、
 F = qE
で表せます。
しかし、この問題の場合、内球の表面にある電荷が作る電界なので、球の外部電界は E 、球の内部は 0 という不連続面に電荷が存在します。
 そのような不連続面にある電荷の受ける力は、一般に
 F = q (E1 + E2)/2
で表せるのですが、ここで E1 = E、E2 = 0 なので
 F = q E / 2
になります。
 

Qガウス積分を含む関数の微分について

f(u)=∫exp(-ax^2+iux)dx
のuに関する微分df(u)/duを求めるという問題です。iは虚数単位で、a>0です。積分範囲は-∞~∞です。

ガウス積分の公式からexpの最初の項が√π/aになると思ったのですが、オイラーの公式のような∫exp(iux)dxの部分が微分や積分ができません。どうやら答えはf(u)*(-u/2a)になるようなのですが。。

答えがf(u)*(-u/2a)となることを示せれば、1階の微分方程式が成り立ち、解析的にf(u)が決定できそうなんです。すみませんが回答の程よろしくお願いします。

Aベストアンサー

0=∫dx・exp(-a・x^2+i・u・x)・(-a・x^2+i・u・x)'
より
∫dx・x・exp(-a・x^2+i・u・x)
=(i・u/2/a)∫dx・exp(-a・x^2+i・u・x)
=i・u・f(u)/2/a

一方
f'(u)=i・∫dx・x・exp(-a・x^2+i・u・x)

よって
f'(u)=-u・f(u)/2/a

この微分方程式を解けば
f(u)すなわちガウシアンのフーリエ変換が求まる

この微分方程式を解いて補足に書け

Q電磁気学のガウスの定理について

表題について、内半径がa(m)、外球の内半径がb(m)、外半径がc(m)の同心球導体がある。
このとき、内球に+Q(C)、外球に0(C)を与えた時、b<r<Cの時、導体内であるので、E=0となります。※rを中心からの距離rの関数として考えた。
しかし、ガウスの定理から考えると、E4πr二乗=Q/ε(閉曲面内の全電荷はQなので)になり、E=0とはならないと思います。
何故導体内の電界Eは0となるのでしょうか。

Aベストアンサー

球体のコンデンサーになっていますよ。

外側の球殻の内側表面には内球電荷Qに対応する-Qが帯電し、外側表面には+Qが帯電しています。

Qオイラーの公式の用い方

オイラーの公式とド・モアブルの定理を利用して3倍角の公式を証明せよ。という問題のなのですが、私にはオイラーの公式の出番がないように思えます。。。
ド・モアブルの定理
(cosθ+i×sinθ)^n=cosnθ+i×sinnθ
でn=3にして実部と虚部を比較するのではだめなのでしょうか??

一応。。。
オイラーの公式
e^iθ=cosθ+i×sinθ

Aベストアンサー

度もあぶるの定理はこの世に存在しなかったとして忘れてしまって結構
オイラーの式によって無用の長物になった
オイラーの定理のみを使って3倍角の公式の導出を補足に書け

Q電磁気のガウスの定理について質問です。

大学院試の過去問をといているのですが、自分が教科書でやってきた電磁気と雰囲気が違い戸惑っています。

電位VをV(x,y,z)=x^4-y^2-z^2+10としたとき次の問いに答えよ。
(a)原点における電位を基準としたとき点P(2,1,1)の電位を求めよ。
V(2,1,1)=16-1-1+10=24V
(b)電場E(x,y,z)を求めよ。
E=-gradV=[-dV/dx,-dV/dy,-dV/dz]=[-4x^3,2y,2z]
(c)ガウスの定理を利用し、-2≦x≦2,-2≦y≦2,-2≦z≦2の範囲で定義される体積領域の表面を通過する全電束を求めよ。
(d)(c)で定義された領域内に含まれる全電荷量を求めよ。

(b)までは自分なりに解いたんですが(c)からわかりません。
座標系でガウスの定理を扱うのがもっている教科書に記されていなく、どうやっていけばいいかわかりません。
解答をよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

まず(a)が違う。
原点が基準ですので原点との電位差をとらないといけない。
求めるものは
V(2,1,1)-V(0,0,0)
なのです。この問題の場合V(0,0,0)≠0なのでご注意ください。

(c)
ガウスの定理(ガウスの法則ではない)から
∫D・dS=∫divD dV (E,Sはベクトル、・はスカラー積、積分範囲はわかりますよね)
ですので∫divD dVを計算すればよいのです。D=εEとして解くのかな。

(d)
ここで使うのは"ガウスの法則"です。つまり
Q=∫ρdV=∫D・dS
を使います。よく見ると(c)で計算したものそのものです。

Qオイラーについて

レオンハルト・オイラーって、凄い数学者なんですってね。
どのくらい凄いのか教えてください。

Aベストアンサー

まずは、
http://ja.wikipedia.org/wiki/レオンハルト・オイラー

業績として例えばオイラーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの等式
これは複素関数を考える上でもっとも基礎的な考えの一つ。

またゼータ関数を最初に考えた。位相幾何学のはじめ。変分法や整数論の業績。また立派な教科書を書いたので、記号法や叙述の仕方など現在に続くものも多い。
また物理や応用数学にも多大な業績があり、非粘性流体のオイラーの方程式なんてのもある。
天体物理学では多体問題の一部、を解決し、ラグランジュによるラグランジュ点(ラグランジュ・ポイント。ガンダムのコロニーとかにも関係あり)の理論につながる。

彼の全集は死後220年余りにもなるのにいまだ完結していない。

くわしくは、検索してみてください。あれもこれもオイラーとガウスからはじまったのだなあ、という気がしてしまいますから。

Q電磁気学 ガウスの法則

今電磁気学を学んでいて、
0.25μCの点電荷がr=0の位置に分布していて、一様の表面電荷密度がr=1cmで2mC/m2分布しているときのr=0.5cmとr=1.5cmのときの電束密度を求める問題があるのですが、
r=0.5cmのときはD=Q/4πr2で求めれたんですが、r=1.5cmのときは求められず解き方がわかりません。
やはりr=1cmでの電荷密度が関係してくるのですか?
基礎的なところかもしれないですけど、よかったらヒントだけでも教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

r=1.5cmの球面に対して,ガウスの法則を適用します。
複数の電荷があるとき,それらがつくる電場は重ね合わせる
ことができるのですから,結果的に球面内部にある電荷の
合計でr=0.5cmのときと同じ計算をすればよいわけです。
表面電荷密度は,半径1cmの球面にわたって合計して電荷の
総量を求めましょう。


人気Q&Aランキング