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ガウスの定理の証明を眺めて5時間、理解できません。やっていることは面積分⇔体積積分ということですよねぇ。
だれか分かりやすく証明してもらえないでしょうか。
出来れば電磁気学の例を出してどのように使えばいいのかも教えていただけないでしょうか?
例だけでも助かります。
お願いします。

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A 回答 (6件)

x,y,zをそれぞれ実数の変数としΔを正の実数としl,m,nをそれぞれ整数とし


V[l,m,n]を(l・Δ,m・Δ,n・Δ)から(l・Δ+Δ,m・Δ+Δ,n・Δ+Δ)に引いた直線を対角線とする立方体内部の領域とし
S[l,m,n]をV[l,m,n]の表面の領域とし
S[m,n]≡{(y,z)|yはm≦y/Δ≦m+1である実数、
zはn≦z/Δ≦n+1である 実数}とし
S[n,l]≡{(z,x)|zはn≦z/Δ≦n+1である実数、
xはl≦x/Δ≦l+1である 実数}とし
S[l,m]≡{(x,y)|xはl≦x/Δ≦l+1である実数、
yはm≦y/Δ≦m+1である 実数}とし
n(x,y,z)をS[l,m,n]上の点(x,y,z)においてS[l,m,n]に垂直でV[l,m,n]外部に向かう大きさ1のベクトルとし
E(x,y,z)を点(x,y,z)におけるベクトルとし
●を内積演算とする

(y,z)を固定すれば
∫(l・Δ~l・Δ+Δ)dx・(∂/∂x)・Ex(x,y,z)=
Ex(l・Δ+Δ,y,z)-Ex(l・Δ,y,z)
従って
∫∫∫(x,y,z)∈V[l,m,n]dxdydz・(∂/∂x)・Ex(x,y,z)=
∫∫(y,z)∈S[m,n]dydz・(Ex(l・Δ+Δ,y,z)-Ex(l・Δ,y,z))
同様にして
∫∫∫(x,y,z)∈V[l,m,n]dxdydz・(∂/∂y)・Ey(x,y,z)=
∫∫(z,x)∈S[n,l]dzdx・(Ey(x,m・Δ+Δ,z)-Ey(x,m・Δ,z))
∫∫∫(x,y,z)∈V[l,m,n]dxdydz・(∂/∂z)・Ez(x,y,z)=
∫∫(x,y)∈S[l,m]dxdy・(Ez(x,y,n・Δ+Δ)-Ez(x,y,n・Δ))
上式を辺辺加え合わせて
∫∫∫((x,y,z)∈V[l,m,n])dxdydz・div(E(x,y,z))
=∫(S∈S[l,m,n])dS・n(x,y,z)●E(x,y,z)
ただし右辺の積分内においてdSをS[l,m,n]の無限小分割平面の面積とし(x,y,z)を前記無限小分割平面上の点とする

従ってV[l,m,n]においてはガウスの定理が成立する
従って任意の閉曲面の内部にV[l,m,n]を敷き詰めてできた立体についてもガウスの定理が成立する
Δを小さくしていけば前記立体の体積積分が前記閉曲面内部の体積積分に限りなく等しくなり前記立体表面の面積分が前記閉曲面の面積分に限りなく等しくなるので前記閉曲面についてもガウスの定理が成立する

「限りなく等しくなる」の証明の骨子:
(1)
pを面積Sの平面としn≡(α,β,γ)をpの単位法線ベクトルとし
pのyz平面への射影の面積をSxとし
pのzx平面への射影の面積をSyとし
pのxy平面への射影の面積をSzとすると
Sx=S・α,Sy=S・β,Sz=S・γであるから
S・n=(S・α,S・β,S・γ)=(Sx,Sy,Sz)である
Ex,Ey,Ezをそれぞれ実数とし E=(Ex,Ey,Ez)とすれば
S・n●E=Ex・Sx+Ey・Sy+Ez・Szである
(2)
x=l・Δ (l=0,±1,±2,±3,・・・)の平面と
y=m・Δ (m=0,±1,±2,±3,・・・)の平面と
x=n・Δ (n=0,±1,±2,±3,・・・)の平面で
前記閉曲面を切断し前記閉曲面上に切断閉曲線を作る
すると前記閉曲面は前記閉曲線で囲まれた曲面で分割される
前記分割曲面をxyz3方向に前記立体表面上へ射影する
するとほぼ前記射影面が前記立体を構成する立方体のむき出しの面に1:1対応することが分かる
対応しなかった射影の面積の総和はΔを限りなく小さくすれば限りなく小さくなる

ストークスの定理の証明手順:
(1)
(l・Δ,m・Δ,n・Δ)-(l・Δ,m・Δ+Δ,n・Δ+Δ)が対角線の正方形について証明し
(l・Δ,m・Δ,n・Δ)-(l・Δ+Δ,m・Δ,n・Δ+Δ)が対角線の正方形について証明し
(l・Δ,m・Δ,n・Δ)-(l・Δ+Δ,m・Δ+Δ,n・Δ)が対角線の正方形について証明する
(2)
適当な(l,m,n)で複数の前記正方形をつなぎ任意曲面を近似する
(3)
Δを小さくしていけば両線積分が限りなく等しくなり両面積分が限りなく等しくなることを示す
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質問文からすると,ガウスの発散定理ですね.


他の方もお書きのように,証明や応用が載っている本はいくらでもあります.
ここで証明や応用を書いても,それらの本と似たような内容で,
式が読みにくく図もろくなものがない,というものになるだけです.

touch_me_8 さんがどこで引っかかっているのか,
具体的に書かれた方がよいでしょう.

私の講義経験では,
(a) 証明以前に,用語や概念があやふやのままである.
(b) 証明の議論の組み立てを理解していない.
(c) 式変形がわからない.
  特に,式変形が単純な(いつでも成り立つような)ものか,
  それとも今考えている状況の特殊性故に成り立つのか,
  そういうことの認識がない.
が理解できない三大原因(?)です.

チェックポイントをあげておきます.
○ 面積分の意味.
○ dS (S はベクトル)とはどういうもの?
  特に,閉曲面と dS の向きは?
○ div F = lim_{ΔV→0} {∫_S F・dS / ΔV} であること.
○ 下図のようなAとBの面積分を加えたとき,AとBの境界からの寄与は
完全にキャンセルすること.

┌─────┐┌─────┐
│     ││     │
│     ││     │
│  A  ││  B  │
│     ││     │
│     ││     │
└─────┘└─────┘

上のポイントをチェックしてから,もう一度証明を読み直してみてください.

motsuan さんの
> 気分的には∫(df/dx) dx=f(x)みたいなもんです
はまさにそうです.
この式のある意味での高次元版がガウスの発散定理やストークスの定理です.

> やはりいろいろな本を見た方がいいのですか。
> 一つの本を徹底的にやる方がいいのではないかと思っていました。

入試対策では「一つの本を徹底的」がよく言われるようですが,
今の場合とは目的が違います.
入試では,広い範囲からいろいろな問題が出る中で,
とにかく合格点を取らなければいけません.
したがって,どこか抜けているところがあっても他でカバーしてトータルで
合格点になればよいのです.
あれこれ読みあさって,「あ,これは知らない,大変だ」と焦るよりも,
できるところを確実にというので「一つの本を徹底的」なのでしょう.
今の話は様子が違います.
どうしてもガウスの法則を理解しなければならないのなら,
それこそいろいろな本など見て,比較検討すべきです.
大学ではそういう姿勢が当然要求されています.
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証明を知りたいのか使い方を知りたいのかわからないのですが


(証明は正しくないですが気分的には∫df/dxdx=f(x)みたいなもんです。
 意味はnikorinさんがおっしゃられているとおりですよね)、
ファインマンの教科書に電荷密度ρが与えれらた系の電場を求める計算では
対称性の良い系では∫E・dS=∫ρdVの左辺でEの値をSの上で
一定になるようにとれるのでその場合は発散定理を使い、
そうでない場合はポテンシャルをもとめて電場をもとめるほうが良いと
使い方についてコメントがあってなるほどと思ったことがあります。
以上参考までに。
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∫E・dS=∫divE・dV ですよね。


式の意味するところをイメージできれば証明もわかることと思います。
Eを水の流れとでも思ってください。
左辺は考えている領域の表面からでていく流量を表します。
一方、右辺は考えている領域の微小体積からの「わき出し」を全領域に
わたって足し合わせています。
要するに表面から出て行く流量は全体積からのわき出しと等しいという
ことを上式はいっています。
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 320gさん。

まだ若いっすよ。
 touch_me_8さん。ガウスの定理ですね。発散定理とか、ガウスの発散定理とか、ガウスの法則積分形とか言うやつの事だよね。大学1年生かな?

 電荷密度とか電束密度から電界を求めたり、コンデンサーの電気容量とかを求めるときに使うやつでしょ。

 数式はここでは書くのもつらいし、読むのもつらいから書きませんよ。
 私も学部時代、なんかの定理の証明で行き詰まった事がよくありましたが、そういう時は、似たようなものが載っている本をたくさん調べました。そのなかに自分が理解のできる方法で証明されているものにたどり着くまで。たどり着く頃にはたいてい始めに理解できなかったものも理解できているんだよな。

今の場合は大学の図書館とかで、ベクトル解析とか電磁気学とか応用解析とかいう類の本で調べて見てください。どの本にも証明が出ています。名前は発散定理で出ていることの方が多分、多いのかな。
 

 
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはりいろいろな本を見た方がいいのですか。
一つの本を徹底的にやる方がいいのではないかと思っていました。

お礼日時:2002/01/31 12:34

質問の意味がよく分かりませんが??



ガウスは、磁束密度 1m四方の中に何本磁力線があるか、たとえば、500本なら、500ガウスと記憶してます。
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