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特に円錐の慣性モーメントが出せません。
どのようにすればいいのか教えてください

gooドクター

A 回答 (2件)

どうすればいいってZ軸について∬ρ(x^2 + y^2)dVをやれ、ぐらいしかいえないと思いますが・・・。

この回答への補足

dVが分かりません。
円錐はどのようにdxdyにしたらいいのでしょうか?
また2重積分するにしてもその範囲だとかが分かりません

補足日時:2006/04/14 22:33
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私、この問題をやったことがない初心者なんですけど、やってみます。


(重積分も理解していないので、地道にやります。)


軸の周りに、
Σ[質量×(軸からの距離)^2]
という無限の足し算をやればよいんですよね?

たぶん、こんな手順でよろしいかと。

底面の半径がR、高さをhと置きます。
頂点から底面に向かう方向の距離(低さ)をxと置きます。
低さxにおける断面(円)の半径をrと置けば、
r=R・x/h
ですよね?

そして、頂点の座標を(r、x)=(0,0)として、これを基準(始点)として考えます。

円錐の密度はρ[kg/m^3]と置きます。


1.
無限に薄く輪切りにしたときの、半径r、無限に薄い(=厚さdxの)円盤の慣性モーメントを求める。

2.
1で求めた円盤を、x=0からx=hまで足し算(積分)する。
 = 円錐の慣性モーメント



1.
この円盤の中心からの距離(座標)を、kと置きます。
円盤は、無限に細い(=太さdkの)「円の輪郭」(=円周部分)集まりです。
(厚さはdxですが、計算の途中に書くと煩雑なので、後で掛けます。)※

その、1つの円輪郭の質量は、ρ・2πk・dk

これが中心からkの距離にあるので、その1つの円輪郭の慣性モーメントは、
ρ・2πk・dk・k^2 = 2πρ・k^3・dk

半径0から半径rまでの円輪郭の慣性モーメントの合計(積分)は、
2πρ∫k^3・dk = 2πρ[k^4/4](k=0→r)
 = 2πρ・r^4/4
 = πρr^4/2
これが、厚さゼロの円盤の慣性モーメントです。

仕上げに、(上記の※の)厚さdxを掛けて、
πρr^4/2・dx
が、円盤の慣性モーメントです。


2.
1の結果を、x=0からx=hまで足し算(積分)すれば、円錐の慣性モーメントです。
円錐の慣性モーメントは
∫πρr^4/2・dx = ∫πρ(R・x/h)^4/2・dx
 = πρR^4/(2h^4)・∫x^4・dx
 = πρR^4/(2h^4)・[x^5/5](x=0→h)
 = πρR^4/(2h^4)・h^5/5
 = πρhR^4/10
となりました。
(ρ:円錐の密度[kg/m^3]、h:円錐の高さ、R:底面の半径)



さて、
ここから先が必要かどうか不明ですが、円錐の質量をMとして、上記からρを消去してみます。

円錐の体積は、厚さdx、面積πr^2の円盤の集まり。
それから、さっきと同じで r=R・x/h
円錐の体積は
∫πr^2・dx = ∫π(R・x/h)^2・dx
 = πR^2/h^2・∫x^2・dx
 = πR^2/h^2・[x^3/3](x=0→h)
 = πR^2・h/3

だから、円錐の質量Mは、
M = ρπR^2・h/3

したがって
ρ = 3M/(πR^2・h)

よって、円錐の慣性モーメントは
πρhR^4/10 = π・3M/(πR^2・h)・hR^4/10
 = 3/10・MR^2
(M:円錐の質量、R:底面の半径)


以上ですが、このような考え方でどうでしょうか?

ちなみに、
私、計算が苦手なので(本当です)自信がありません。
とりあえず、2つの結果の次元が、どっちも、
キログラム×メートル×メートル
にはなっているので、その点だけは大丈夫かも、です。

検証・検算してみてください。
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この回答へのお礼

完璧でしかも丁寧な文章ありがとうございます。
助かりました

お礼日時:2006/04/15 02:03

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