I_n =∫(0~Π/2) {sin(nx)/sinx} dx (書き方が合ってるか分かりませんが" _ "の後ろのものは右下に付いてる小さいやつです。名前知らなくてすみません)、とするとき
I_(2n+2) -I_(2n) の値を求めよ という問題があって、答えが0になるはずなんですけど、なりません。

一応やったのがこうです。
I_(2n+2)-I_(2n)
=∫(0~Π/2){sin(2nx+2x)/sinx}dx-∫(0~Π/2){sin(2nx)/sinx} dx
=∫(0~Π/2)[{sin(2nx+2x)-sin2nx}/sinx]dx
  sinA-sinB= 2sin{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}より
=∫(0~Π/2) {2 sinx cos(2nx+x)}/sinx dx
=2∫(0~Π/2) cos(2nx+x) dx
  t=2nx+xとおくとdx=dt/(2n+1)   x:0→Π/2 ⇒ t:0→nΠ+Π/2
=2/(2n+1)∫(0~nΠ+Π/2)costdt
={2/(2n+1)}*[sint](0~nΠ+Π/2)
={2/(2n+1)}*sin(nΠ+Π/2)
となってしまいます。どうすれば良いでしょうか?
お願いします。

A 回答 (1件)

僕も計算してみましたが、同じ結果になりました。


もう少し書き換えるなら、
 I_(2n+2)-I_2n=2{(-1)^n}/(2n+1)
とはなりますが。
n→∞のときなら確かに0になりますが、、、、
問題が間違っているのではないでしょうか?

この回答への補足

問題が間違ってるとは思えないんですけど…。まあたまに印刷ミスありますけど。
nに2n+2を代入するということが間違ってるんですかねぇ…
どなたかお願いします。

補足日時:2002/01/31 17:23
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Aベストアンサー

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

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=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
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Aベストアンサー

>tan(1/2) = tと置換して
tan(x/2) = t ですね。

両辺の微分をとると
(1/2)sec^2 (x/2) dx=dt
dx=2cos^2 (x/2) dt=2/{1+tan^2 (x/2)} dt
=2/(1+t^2) dt
sin x=2sin(t/2)cos(t/2)=2tan(x/2)cos^2 (x/2)
=2t/(1+t^2)
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=∫[1/{5+8t/(1+t^2)}]{2/(1+t^2)}dt
=∫2/{5(1+t^2)+8t} dt
=(2/5)∫1/{(t+4/5)^2+(3/5)^2} dt
t+4/5=(3/5)uとおくと
dt=(3/5)du
I=(2/5)∫(3/5)/{(1+u^2)(3/5)^2} du
=(2/3)∫1/(1+u^2)du
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となります。
後は変数変換した uをtに戻し、さらに tをxに戻してやればいいですね。

あとはご自身でおやりください。
出来ますね。

>tan(1/2) = tと置換して
tan(x/2) = t ですね。

両辺の微分をとると
(1/2)sec^2 (x/2) dx=dt
dx=2cos^2 (x/2) dt=2/{1+tan^2 (x/2)} dt
=2/(1+t^2) dt
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宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む


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