３桁の整数の表し方と証明

各位の数字が全て異なり各位とも0でない３桁の整数がある。この整数の各位の数字を入れ替えて出来る全ての整数ともとの整数を加えると222の倍数になることを証明せよ。という問題ですが、、

もとの３桁整数を表すのに100a+10b+cと考えました。
各位を入れ換えた整数を例えば100b+10c+aとすると加えると101a+110b+11cとなります。これが222の倍数となると証明できないし、、。最初の３桁の整数の表し方が違うんですかね、、。すいません、教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： 7772 回答日時： 2006/04/16 22:08

専門家じゃないので間違ってるかもです。

三桁の数をabcとすると、
abc=100a+10b+c
となり、入れ替えてできる数は、
100a+10c+b
100b+10a+c
100b+10c+a
100c+10a+b
100c+10b+a
の計六種類となり、これらを足すと
200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c)
と表すことができます。
これらを（a+b+c）でくくると、
(a+b+c)(200+20+2)
となり、222の倍数となることが証明できると思います。

質問者さんは考え方はあってると思いますが、
問題の読み方で少し勘違いが生じたものとおもいます。

No.3 回答者： wind-sky-wind 回答日時： 2006/04/16 22:06

　最初の整数の表し方はあっています。

＞全ての整数
を正しく理解していないだけです。
　３桁の整数を abc（掛け合わせるという意味でなく，345のような数だと考えてください）とすると，各位の数字を入れ替えて出来る全ての整数とは，acb, bca, bac, cab, cba であり，これらを全て 100a＋10c＋bのように表示して加算しなければいけないのです。
　

この回答へのお礼

ありがとうございます。全ての整数を足すという問題を読み違えていました。ポイントできずに申し訳ありませんでした。

お礼日時：2006/04/16 22:24

No.2 回答者： silpheed7 回答日時： 2006/04/16 22:05

＞この整数の各位の数字を入れ替えて出来る全ての整数ともとの整数を加える

と言う条件が満たされていません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。問題を読み間違えていました。

お礼日時：2006/04/16 22:24

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/04/16 22:03

「すべて」なんだから

100a+10b+c
100a+10c+b
100b+10a+c
100b+10c+a
100c+10a+b
100c+10b+a
の六個の和でしょう
ただし，
a，b，cが全部異なっていて0でもないので
これら六つの数はすべて3桁の異なる数で
あることに注意

aの係数は100が2個，10が2個，1が2個
bもcも同様
よって和は
222(a+b+c)
つまり222の倍数

この回答へのお礼

ありがとうございました。とても良く分かりました。又宜しくお願いします。

お礼日時：2006/04/16 22:25