プロが教えるわが家の防犯対策術!

参考書なども色々調べたのですが いいものに当たらず 自分で解いてみるも あと一歩まではいけるのですが 証明すべき数値に至ることができません。分からないので どなたか力を貸していただければと思います(><)

さっそくですが、次の二式を用いてある式を証明せよという問題なのですが、使う二式は

(1+x)^n= Σ(k=0~n) nCk x^k

nCk=n!/((n-k)!・k!) (0≦k≦n)

です。
そして、証明する式は以下の式です。

Σ(k=0~[n/2]) nC2k =2^(n-1)
です。 ちなみに aCb はa個の中からb個を選ぶ組み合わせ という意味で書きました。本当は2行1列の行列のような形で書きたかったのですが、見にくそうなので Cで書いておきました。また、Σの範囲の上限[n/2]は、ガウス記号で、n/2を超えない最大の整数ということです。このガウス記号の扱い、消し方についてもよく分からないのかもしれません。どなたか分かる方 ご指導いただけると助かります。よろしくお願いしますm(__)m

A 回答 (6件)

=Σ(k=0~n) nCk x^k


=Σ(kはn以下の偶数) nCk x^k + Σ(kはn以下の奇数) nCk x^k

ということです。
偶数は2*0,2*1,2*2,2*3,...,2*[n/2]だから
Σ(kはn以下の偶数) nCk x^k
=Σ(k=0~[n/2]) nC2k x^(2k)
ですね。

で、Σ(k=0~[n/2]) nC2k = Σ(kはn以下の奇数) nCk
と,xに1を代入した式
2^n= Σ(k=0~[n/2]) nC2k + Σ(kはn以下の奇数) nCk
を使えば答えが出ます。
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今さらかつ本質的に同じですが, 両辺を x^2 - 1 で割った余りを考えてもおもしろいかも.


右辺では x^2 ≡ 1 を代入して (偶数次の係数) + (奇数次の係数) x.
左辺では (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 ≡ 2(x+1) を使うと (x+1)^n = 2^(n-1) (1+x).
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本当にわかったのかな?笑


(1+x)^n
=Σ(k=0~n) nCk x^k
=Σ(k=0~[n/2]) nC2k x^(2k) + Σ(kはn以下の奇数) nCk x^k
だから、x=-1を代入すると
0=Σ(k=0~[n/2]) nC2k - Σ(kはn以下の奇数) nCk
となることを使うんですね。

この回答への補足

さっそく分からないことがありまして、 質問させていただけますでしょうか…
3行目から4行目は お決まりの式変形なのでしょうか?

補足日時:2006/04/22 22:40
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この回答へのお礼

実は 今までの方のを読むたびに それごとには納得していたのですが
答えには結びつかずにおりました(⌒▽⌒;)
確かなご解答 ありがとうございます!今からゆっくり読んでみますので とりあえず今はありがとうございますwもし分からないことがあれば また質問させていただくかもしれません 汗

お礼日時:2006/04/22 22:37

x = 1 を代入すると左辺は 2^n.


x = -1 を代入すると左辺は 0.
これを足して 2 で割ると 2^(n-1).
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この回答へのお礼

ああっ!たしかに、そうなりますねぇ!
ありがとうございます!なんか感動しました 笑

お礼日時:2006/04/21 17:37

♯1です。

すいません、何か思い違いをしてました。
1の回答は誤りです。K'が2個ずつ飛ぶことを考慮
してないし、2[n/2]がn-1になるのも、nが奇数のとき
だけです。[(2m+1)/2]=[m+1/2]=m∴2[n/2]=2m=n-1
nが偶数の時、単純に2[n/2]=nです。

この回答への補足

あ、私も考えてる中で それをやってみたこともあるのですが、偶数のときはn-1ではないけれど、最後の2^(n-1)の答えはでてきますでしょうか?

補足日時:2006/04/21 16:58
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2k=k'とおきます。

すると
Σ(k=0~[n/2]) nC2k =Σ(k'=0~n-1)nCk'
=Σ(k'=0~n-1)nCk'・1^k'=(1+1)^(n-1)=2^(n-1)
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この回答へのお礼

本当にすばやい回答ありがとうございました![n/2]を2倍すると
n-1になるのですねw そこがわからず困っていました。
どうもありがとうございました!

お礼日時:2006/04/21 15:12

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