参考書なども色々調べたのですが いいものに当たらず 自分で解いてみるも あと一歩まではいけるのですが 証明すべき数値に至ることができません。分からないので どなたか力を貸していただければと思います(><)
さっそくですが、次の二式を用いてある式を証明せよという問題なのですが、使う二式は
(1+x)^n= Σ(k=0~n) nCk x^k
nCk=n!/((n-k)!・k!) (0≦k≦n)
です。
そして、証明する式は以下の式です。
Σ(k=0~[n/2]) nC2k =2^(n-1)
です。 ちなみに aCb はa個の中からb個を選ぶ組み合わせ という意味で書きました。本当は2行1列の行列のような形で書きたかったのですが、見にくそうなので Cで書いておきました。また、Σの範囲の上限[n/2]は、ガウス記号で、n/2を超えない最大の整数ということです。このガウス記号の扱い、消し方についてもよく分からないのかもしれません。どなたか分かる方 ご指導いただけると助かります。よろしくお願いしますm(__)m
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
=Σ(k=0~n) nCk x^k
=Σ(kはn以下の偶数) nCk x^k + Σ(kはn以下の奇数) nCk x^k
ということです。
偶数は2*0,2*1,2*2,2*3,...,2*[n/2]だから
Σ(kはn以下の偶数) nCk x^k
=Σ(k=0~[n/2]) nC2k x^(2k)
ですね。
で、Σ(k=0~[n/2]) nC2k = Σ(kはn以下の奇数) nCk
と,xに1を代入した式
2^n= Σ(k=0~[n/2]) nC2k + Σ(kはn以下の奇数) nCk
を使えば答えが出ます。
No.6
- 回答日時:
今さらかつ本質的に同じですが, 両辺を x^2 - 1 で割った余りを考えてもおもしろいかも.
右辺では x^2 ≡ 1 を代入して (偶数次の係数) + (奇数次の係数) x.
左辺では (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 ≡ 2(x+1) を使うと (x+1)^n = 2^(n-1) (1+x).
No.4
- 回答日時:
本当にわかったのかな?笑
(1+x)^n
=Σ(k=0~n) nCk x^k
=Σ(k=0~[n/2]) nC2k x^(2k) + Σ(kはn以下の奇数) nCk x^k
だから、x=-1を代入すると
0=Σ(k=0~[n/2]) nC2k - Σ(kはn以下の奇数) nCk
となることを使うんですね。
実は 今までの方のを読むたびに それごとには納得していたのですが
答えには結びつかずにおりました(⌒▽⌒;)
確かなご解答 ありがとうございます!今からゆっくり読んでみますので とりあえず今はありがとうございますwもし分からないことがあれば また質問させていただくかもしれません 汗
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