空間(三次元)で、平面を考えています。
Z軸に対して平行な平面の方程式を導きたいのですが、どのような式になるのでしょうか。ある1点を通る直線がこの平面にあたるとき、zの値がいくらになるのかを知りたいときにどうしてもこの平面の式が気になります。法線のベクトルも分かっているのですが・・・

A 回答 (4件)

直線上の点のほうをパラメータ表示してあげて、それを平面の式にぶちこんであげればいけるんではないですか?!

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>任意の座標からの交点


とはかなり意味不明ですが、任意の座標から、z軸に平行な平面に適当な直線をひいたときの交点は、その点がその平面にあること以外には条件はないので、当然z0(これも意味不明だが、交点のz座標だとすれば)のパラメータ表示は、
z0=t(tは任意)
と書くしかないです。

具体的な問題があれば示してください。
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hiroshi0405さんの回答で充分ですが,


時間があれば読んでください.

xyz空間を,「真上」(z軸の正の方向)から眺めると,
xy平面に見えますよね.
このとき,ご質問にある「z軸に平行な平面」は
xy平面上の直線として見えるはずです.
ちょうど,薄い薄いガラスの板を真横から見ると
直線に見えるようなものです.
したがって,
「●x + ▲y + ■ = 0」という方程式は,
xy平面においては直線を,
xyz空間においては(zは任意であるので)
「z軸に平行な平面」を表すことになります.
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この回答へのお礼

返事ありがとうございます。
そう!そうなんですよね!でも今度は任意の座標からの交点が出せないんですよね。というのは、条件が足らないせいか、zのパラメータ表示ができません。任意の点から知りたい点の座標だけでは無理なのかなぁ。xy平面での任意の点から平面への交点は出せるのですが、zが関与するとできません。困ったなぁ・・・
何かどう書いたらいいものかわからず、zabuzaburoさんも状況がわからないかと重いますが、何かアドバイスおねがいします。

お礼日時:2002/02/03 23:13

法線ベクトルが(a,b,c)であれば、空間の式は一般的に


ax+by+cz+d=0
の形になったと思います。z軸に平行ということは、法線ベクトルのz成分が0ということですので、c=0であり、
ax+by+d=0、つまり、平面の式と同じになります。直線の式をぶち込めばzが求まると思います。
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この回答へのお礼

解答ありがとうございました。やっぱりc=0で考えるんですね。
でも、やはりわたし、第二の関門が勃発しました。
それは、ある一点からの直線がこの平面にあたるときのz0を求めるというところで、この一点の座標は任意なのでわかっているのですが、条件が足らないからか、どうしてもZのパラメータ表示ができません。この任意の点を(α、β、γ)とし、平面上の点を(x0、y0、z0)としたら、パラメータとしてはどうなるのでしょう?
何だか頭が痛くなる~!!

知りたい点の座標をパラメータ表示の式で使うことはご法度なんでしょうか?

お礼日時:2002/02/03 23:06

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Q4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
|a↑ b↑ c↑ d↑|≠0

4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、
a↑∥b↑∥c↑∥d↑

a[1]:a[2]:a[3]:a[4]=b[1]:b[2]:b[3]:b[4]=c[1]:c[2]:c[3]:c[4]=d[1]:d[2]:d[3]:d[4]

(a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])=(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4])
=(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])=(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4])

このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか?

4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか?

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
|a↑ b↑...続きを読む

Aベストアンサー

失礼しました。
とすると、
rankA=4 |A|≠0
rankA=3 Aの3次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、|A|=0

rankA=2 Aの2次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、3次小行列式がすべて0かつ|A|=0

rankA=1 Aの1次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、2次小行列式、3次小行列式が0、かつ|A|=0

任意のr次小行列式を|Ar|で表しても、
rankA=1のときは、
a1*a2*a3*a4*b1*・・・*d3*d4≠0
かつ
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Qn次元空間での直線・平面・立体....の式

ベクトルについて勉強していて疑問に思ったことがあるので質問します。
n次空間で、点(x1,x2,x3,....xn)=xo↑の位置ベクトルを通り、方向がa↑=(a1,a2,a3....an)の直線の式は、tを媒介変数として、
v↑=a↑t+xo↑で表すことができます。

2次元だったら、
v1=a1•t+x1
v2=a2•t+x2
より、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=t

v1をx、v2をy、x1をa、x2をb、a2/a1をm
と書き直すと見慣れた直線の式
y-b=m(x-a)になりますね。

3次元では、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=t
となります。
これは、
(a,b,c)を通り、ベクトル方向が(l,m,n)
である直線の式
(x-a)/l=(y-b)/m=(x-c)/n
と同じ形です。

ということは、n次元の直線の式は、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=....(vn-xn)/an=t
ですよね。

直線の式は、n次元に拡張できました。

次に平面の式を考えます。
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その平面上の定点を(x1,x2,x3)=xo↑とします。
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平面上の任意のベクトルとa↑は、直交するので、
内積=0
すなわち、〈v↑-xo↑・a↑〉=0がなりますね。
成分で書くと、
a1(v1-x1)+a2(v2-x2)+a3(v3-x3)=0 ですね。
a↑に独立なベクトルは、3次元空間上に2本取れます。
すなわち、これは「面(2次元)」ですね。
a1をa、a2をb、a3をc、v1をx、v2をy、v3をzに書き直すと、
これは、平面の式 ax+by+cz=d になります。
このように、3次元空間では、2次元の面と1次元の直線が考えることができました。

そこで、これを4次元に拡張してみました。
4次元空間では、直線は、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=(v4-x4)/a4=t
ですね。
この直線と直交する線は、3本あります。
〈v↑-xo↑・a↑〉=0 なので、成分で表すと、
a1(v1-x1)+a2(v2-x2)+a3(v3-x3)+a4(v4-x4)=0....(1)
ですね。
ここで、質問ですが、(1)の式は、独立した3つのベクトルを含むので、「立体(3次元)」と言ってもいいのでしょうか?

もし、その認識が正しかったら、
4次元空間上での立体(3次元)の式は、xyzuを変数として、
一般にax+by+cz+du=e という式で表すことができるという認識は正しいですか?
4次元空間での直線(1次元空間)の式は、先に示したように
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=(v4-x4)/a4 ですね。

3次元空間だったら、2次元空間の面と1次元空間の直線を式で書くことができました。
4次元空間だったら、3次元空間の立体と1次元空間の直線は、式として与えらると考えると、
4次元空間上での「面(2次元)」の式は、存在するのですか?

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は、(n-1)次元空間を表す式であると言っていいのでしょうか?
また、その時、
(n-2)次元空間を表す式
(n-3)次元空間を表す式....は考えることができるのでしょうか?

多分、専門書などを解読すれば答えは見つかるかもしれませんが、自分でこのような疑問を思ったので投稿しました。

ベクトルについて勉強していて疑問に思ったことがあるので質問します。
n次空間で、点(x1,x2,x3,....xn)=xo↑の位置ベクトルを通り、方向がa↑=(a1,a2,a3....an)の直線の式は、tを媒介変数として、
v↑=a↑t+xo↑で表すことができます。

2次元だったら、
v1=a1•t+x1
v2=a2•t+x2
より、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=t

v1をx、v2をy、x1をa、x2をb、a2/a1をm
と書き直すと見慣れた直線の式
y-b=m(x-a)になりますね。

3次元では、
(v1-x1)/a1=(v2-x2)/a2=(v3-x3)/a3=t
となります。
これは、
(a,b,c)を通り、ベクトル方向が(...続きを読む

Aベストアンサー

No.1 です。

4次元空間の座標を(x,y,z,w)として
その中の平面は一般に(a,b,c,d)≠k(f,g,h,i)であるようなa,b,c,d,f,g,h,iとe,jを用いて

a x+b y+c z+d w=e
&
f x+g y+h z+i w=j

の共通解の全体になります。

あるいは同じことですが

a x+b y+c z+d w-e = f x+g y+h z+i w-j = 0

といってもいいです。

注意すべき点は、全体の空間(4次元)から2次元下がるために「平面を表す式は1つでなく必ず2つ必要」な点です。

さらにそれら2つの式は独立でなければいけません。
例えば、2x+4y+6z+8w=10と3x+6y+9z+12w=15は一見違う式ですが、(2,4,6,8)=2/3×(3,6,9,12)となっているので同じ条件を与えます。よって解の全体は2次元まで下がらず、3次元空間になります。
また、2x+4y+6z+8w=10と3x+6y+9z+12w=10は互いに両立しない式なので、この場合も解全体の集合は平面になりません。
このような例外的な場合をきちんと除くために「(a,b,c,d)≠k(f,g,h,i)」という条件が必要かつ十分なのです。

例えば(x,y,z,w)の中の(x,y)平面は、第3成分と第4成分が0
つまり

(a,b,c,d)=(0,0,1,0),e=0
(f,g,h,i)=(0,0,0,1),j=0

の場合になっています。

0 x+0 y+1 z+0 w=0
&
0 x+0 y+0 z+1 w=0

つまり
z=w=0 という集合になりますよね。

No.1 です。

4次元空間の座標を(x,y,z,w)として
その中の平面は一般に(a,b,c,d)≠k(f,g,h,i)であるようなa,b,c,d,f,g,h,iとe,jを用いて

a x+b y+c z+d w=e
&
f x+g y+h z+i w=j

の共通解の全体になります。

あるいは同じことですが

a x+b y+c z+d w-e = f x+g y+h z+i w-j = 0

といってもいいです。

注意すべき点は、全体の空間(4次元)から2次元下がるために「平面を表す式は1つでなく必ず2つ必要」な点です。

さらにそれら2つの式は独立でなければいけません。
例えば、2x+4y+6z+8w=10と3x+6y+9z+12w=15は...続きを読む

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3次元における平面Pのベクトル方程式は、法線ベクトルを用いるのが一般的です。これは、Pに対して垂直なベクトルです。
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ご質問では、bに平行な平面となっていますので、まずbに垂直なベクトルを1つ求めればよいのです。(bに垂直なベクトルは法線ベクトルです)

Q線形代数の3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式

線形代数の、3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式の問題を教えて下さい
この問題が分かりません
3 次元空間において次の問いに答えなさい.
(1) 原点を含む法線ベクトル
1
  2
-1
の平面S の方程式を求めなさい
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
という問題です。皆さんお願いします
教えて下さい

Aベストアンサー

(1) 原点を含む法線ベクトル(1,2,-1) の平面S の方程式を求めなさい
>ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
>直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/2=u、2-z=-u→z-2=u
よって直線の方程式は4-x=(5-y)/2=z-2・・・答
x+2y-z=0に4-x=(5-y)/2→y=2x-3、4-x=z-2→z=6-xを代入
x+2(2x-3)-(6-x)=6x-12=0、x=2、y=2*2-3=1、z=6-2=4
よってLとS の交点は(2,1,4)・・・答
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
>3点(0,0,0)、(4,5,2)、(2,1,4)を含む平面上の任意の
点を(x,y,z)とすると、u,vを実数として
↑(x,y,z)=u↑(4,5,2)+v↑(2,1,4)
要素を比較してx=4u+2v(ア)、y=5u+v(イ)、z=2u+4v(ウ)
(ア)(イ)からu,vをx,yで表すとu=(2y-x)/6、v=(5x-4y)/6
これらを(ウ)に代入して
z=2u+4v=2{(2y-x)/6}+4{(5x-4y)/6}=(3x-2y)
よって、3x-2y-z=0・・・答

(1) 原点を含む法線ベクトル(1,2,-1) の平面S の方程式を求めなさい
>ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
>直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/...続きを読む


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