専門家に聞いた!繰り返す痔の原因は!? >>

解答解説を読みましたが、まったく理解できません。こんなことは初めてです。数学の得意な人には簡単なものかもしれませんが。問題文と解答解説を書きますので、どなたか教えてください。どうか、宜しくお願い致します。
(問題)
2(x-b)(x-c)-(x-a)^2=0
a<b<cのとき上の二次方程式が2つの実数解を持つことを示せ。また、その解をα,βとするとき、α,βと定数a,b,cの大小関係を示せ。
(解答の方針)
グラフを利用する。また、左辺をf(x)として、f(a),f(b),f(c)の符号を調べる。(まず、ここからなぜこのようにするのか分かりません。。。)
(解答)
f(x)=2(x-b)(x-c)-(x-a)^2とおくと、a<b<cより
f(a)=2(a-b)(a-c)>0     ←この三つの式が成り立つこと自体は
f(b)=-(b-a)^2<0   分かりますが、解答の方針が分からな
f(c)=-(c-a)^2<0        いので・・・・

f(x)の二次の係数は1で、y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから、cより大きい値でf(d)>0となるものが存在する。
(ここも分かりません。特になぜf(d)>0となるものが存在するかが分かりません)

よってy=f(x)のグラフはa<x<b , c<x<dでx軸と交わるから方程式
f(x)=0は二つの解α,βを持ち、α<βとすると、グラフより
a<α<b<c<β


一応、応用の中の補充事項のようなところに載っていたものですが、ある程度の国立に行くならこれぐらいは解けてあたりまえでしょうか。

A 回答 (5件)

2次関数と見れば、x^2の係数は1で下に凸の放物線になるのだから、


f(x)のxに何かを代入して正になるときと負になるときがあるなら、
(このことは、放物線が1度x軸を横切っていることを意味するので)
その放物線はx軸と2点で交わる、つまり、その2次方程式が二つの解
をもつということがいえます。

例えば、解がx=-2,x=1である2次方程式x^2+x-2=0 を2次関数とみて、
f(x)=x^2+x-2 で試してみると、f(0)=-2<0、f(2)=4>0 となるので、この
方物線は、x=0とx=2の間でx軸を横切っている、つまりその間に解が1つ
あるということになる。(実際、解x=1がある)

この問題では、f(a)>0,f(b)<0,f(c)<0 だから、x=aとx=bの間で放物線は
x軸を横切っている、つまりその間に1つの解を持つということ。
そしてさらに、下へ向かった放物線はどこかで上に戻ってきて再びx軸を
横切りますよね。それをいうために、cより大きくf(x)の値を正にするxの
値dを導入して x軸を横切る ことを説明しているのです。

>ある程度の国立に行くならこれぐらいは解けてあたりまえでしょうか。
  なかなか気づかないんじゃないでしょうか。実数解を持つことといわ
  れれば、どうしても展開して判別式の方にいっちゃう気がします。
    • good
    • 0

「f(x)が連続で、かつf(a)*f(b)<0であれば、方程式f(x)=0は区間(a,b)に少なくとも1つの解を持つ」という定石があります。

微積とかやって、中間値の定理とか聞いたら、驚くほどあっさり理解できるのかも。

文字式で書くとちとごついですが、皆さんの言うとおりグラフでイメージを膨らませば、納得できた人には理解できるもんだと思います。
f(a)という、抽象的な書き方のものを理解するのは、なかなかセンスがいるでしょうが、理解できたらしめたものです。^^

ちなみに、この定石を、さらに2次関数の場合に噛み砕かれた記述をされたのが、#2さんの3段落目になると思います。
    • good
    • 0

>一応、応用の中の補充事項のようなところに載っていたものですが、ある程度の国立に行くならこれぐらいは解けてあたりまえでしょうか。


この問題に対する解説はすでに出揃っているので、↑これについてですが、
初めてこの問題に接して、すらすら解けないからといって悲観する必要はないと思います。むしろ重要なのは、この解説を読んで「ああ、なるほど、そりゃそうだ」と納得できるかどうかです。納得、理解できれば大丈夫です。素質があると自信を持ってください。
    • good
    • 0

f(a)>0,f(b)<0,f(c)<0,で、cより右でfは増加していってそのうちにあるdでf(d)>0になるんですね。

    • good
    • 0

全て記号で考えるということで難しくなっているかもしれませんが


実は非常に簡単な事を言っています。グラフで考えると当然と言うことが分かると思います。

まず、下に凸で2解を持つグラフを書いてみてください。
簡単にy=x^2-1でいいです。解は-1,1ですね。
このグラフはx<-1の範囲は正ですし、-1<x<1で負になり、
x>1で正になります。
どんな2次方程式でも下に凸なら2解α、βの値に関係なく、
x<α および x>βで
f(x)>0
ですし
α<x<β で
f(x)<0
です。

だからx=a,b,cの正負を調べることでα、βとの大小関係が分かります。
f(a)>0,f(b)<0,f(c)<0ということはb、cはαとβの間の数字である
はずです。f(a)>0ですからaとbの間にαが無ければならないことが
グラフで分かりませんでしょうか?
また、下に凸の2次方程式は解βより大きい範囲で正でなければなりません。
だからd>cでf(d)>0となるdが存在します。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q2次方程式が2つの正の解を持つための条件

2次方程式
x^2-2ax+aー6=0
が2つの正の解を持つとき、定数aの値の範囲を求めよ。

この問題の解き方を教えてください。
例えば、2次関数y=x^2-2ax+aー6
※頂点は(a、-a^2+aー6)
を考えて、3つの条件
①頂点のy座標が負 -a^2+aー6<0
②頂点のx座標が正 a>0
③y軸と正で交わる aー6>0
より求める範囲はa>6となると思います。
①の2次不等式の解が「すべての実数」となるので少し難しい…。

解と係数の関係なども考えられますが、数学Ⅰの入試問題なので、
なるべく簡単な方法で解ければよいと思っています。
2次関数を利用する以外の考え方はありますか?

Aベストアンサー

No.6です。No.2の回答がめちゃくちゃだったので、私なりの回答の完成版を載せます。

2つの実数解があることから、判定式は
  a^2 - a + 6 > 0
  (a - 1/2)^2 + 23/4 > 0
なので、全ての a で実数解を持つ。

このとき
  x^2 - 2ax + a - 6 = 0
の解は
  x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)

a<0 のときには、一方の解
  x = 2a - 2√(a^2 - a + 6)

  2a<0 かつ -2√(a^2 - a + 6)<0
なので、少なくとも一方の解は負になる。
従ってa<0 は不適。

0 < a のときには、2つの解がともに正であるためには
  x = 2a - 2√(a^2 - a + 6) > 0
従って
   2a > 2√(a^2 - a + 6)
でなければならない。
a>0 なので、二乗しても不等号の向きは変わらず
   4a^2 > 4(a^2 - a + 6)
つまり
   a^2 > a^2 - a + 6
より
   0 > - a + 6
よって
   6 < a
これは 0 < a の条件を満たす。
従って、求める条件は 6 < a である。

No.6です。No.2の回答がめちゃくちゃだったので、私なりの回答の完成版を載せます。

2つの実数解があることから、判定式は
  a^2 - a + 6 > 0
  (a - 1/2)^2 + 23/4 > 0
なので、全ての a で実数解を持つ。

このとき
  x^2 - 2ax + a - 6 = 0
の解は
  x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)

a<0 のときには、一方の解
  x = 2a - 2√(a^2 - a + 6)

  2a<0 かつ -2√(a^2 - a + 6)<0
なので、少なくとも一方の解は負になる。
従ってa<0 は不適。

0 < a のときには、2つの解がともに正であるためには
  ...続きを読む


人気Q&Aランキング