中学校でピタゴラスの定理の証明を習ったとき,先生が
「この定理はほんとにいろんな人がいろんな証明を考え出しててなあ,
証明ばっかり集めた『ピタゴラスの定理』っていう本が出てるくらいなんや」
と言っていたのを憶えているのですが,
当時探してみたところそのような本は書店に並んでおらず,
十年以上経った現在も発見できません.
どなたがご存知の方がいらっしゃいましたら
教えてください.どうしても読んでみたいのです.

A 回答 (1件)

以下の本でしょうか?


======================================
1.ピタゴラスがくれたおくり物/出光英則/国土社/1997.8 
2.ピタゴラスの定理/大矢真一/東海大学出版会/1975 
3.ピタゴラスの定理/大矢真一/東海書房/1952 
=====================================
ご参考まで。
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この回答へのお礼

さっそくありがとうございました!出版年から察するに2,3が有望ですね.もう一度書店に行ってきます.

お礼日時:2000/12/21 23:16

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Q【遊びのピタゴラスイッチはなぜピタゴラスなんですか?】 どこにピタゴラスの定理が使われているのでしょ

【遊びのピタゴラスイッチはなぜピタゴラスなんですか?】

どこにピタゴラスの定理が使われているのでしょう?

Aベストアンサー

「ピタゴラスイッチと言う子供向け番組は、世界の現象・ピタゴラスの定理・原理や仕組み等々を装置やスイッチを使って楽しく紹介することをテーマにしたものだから」と言うことではないようです。 二匹の子供ペンギンの名前がピタとゴラ、時々遊びに来るネズミのスー、それに百科おじさんの本名が百科一之進。でも幼い甥っ子のディック・ショナリーが上手く「イチノシン」とよべず、ついたあだ名がイッチ。 それぞれのピタとゴラとスーとイッチという名前を足して「ピタゴラスイッチ」!!

Qそもそも、ピタゴラスの定理って定理なのでしょうか?

そもそも、ピタゴラスの定理って定理なのでしょうか?
いいかえると、真実なのでしょうか?
これは、実は簡単にわかります。証明できません。
なぜなら、非ユークリッド幾何学という反例があるから。

だから、ピタゴラスの定理っていうのは、定理ではなくて、
普通のユークリッド幾何学を展開していく上での、仮定とか前提と考えたほうがいいと思います。

ではなぜ、世の中にたくさんある「ピタゴラスの定理の証明」なるものはなんなのでしょうか?
それは、ユークリッド幾何学を特徴づけるピタゴラスの定理よりも、
よりも基本的な公理を仮定していなければなりません。

一般的には、第五公準(平行線は唯一唯一つ)ってのがそうだと思われます。
しかし、その前に、点とか直線とか、距離とか、角度とか、合同とか、たくさんの概念が定義されなくてははなりません。

ところで、数学基礎論では、まず、集合とその間の演算を公理的に定義し、また、自然数と和や積を定義します。
それによって、数論の基本的な結合法則、可換法則、分配法則といったものも、「証明できる」ものになります。
1+1=2というのも「証明できる」ものになります。

同じようにしていけば、ピタゴラスの定理って基礎論的に、公理的に、「証明できる」定理なのでしょうか?

実は、「幾何学基礎論」という本を軽く読んだり、いろいろ検索してみたのですが、ピタゴラスの定理は載ってませんでした。

もしかして、ピタゴラスの定理っていうのは、基礎論的にも、公理的にも、「証明されていない」ものなのでしょうか?

ちなみに、sinθ, cosθを、無限級数の和として定義してやって、
それによってユークリッド幾何の回転を定義し、sin^2θ+cos^2θ=1となるので「証明できた」というのは、たぶん、万人は認めないと思います。

そもそも、ピタゴラスの定理って定理なのでしょうか?
いいかえると、真実なのでしょうか?
これは、実は簡単にわかります。証明できません。
なぜなら、非ユークリッド幾何学という反例があるから。

だから、ピタゴラスの定理っていうのは、定理ではなくて、
普通のユークリッド幾何学を展開していく上での、仮定とか前提と考えたほうがいいと思います。

ではなぜ、世の中にたくさんある「ピタゴラスの定理の証明」なるものはなんなのでしょうか?
それは、ユークリッド幾何学を特徴づけるピタゴラス...続きを読む

Aベストアンサー

>これは本当ですか?
>そのことを今のところ理解できないのですが。
>{ZFC集合論}を基に、{ユークリッド幾何学}は構築されていると思います。
うーん。その発生年代からして明らかだと思うのですが。。。

ZFC集合論が確立されたのは歴史的にはごく最近のことですよね。
それまでの数学者は ZFC 集合論をベースとした論理体系ではなく、当然ユークリッド幾何の論理体系で論を進めていたはずです。

その過程で例えば、ピタゴラスの定理が成立して、直線に「長さ」という計量が常に存在するならば、直角二等辺三角形の斜辺の長さ(√2)のような分数では表わせない「数」の存在を認めざるを得ず論争になったりしたわけです。

近代になって、素朴集合論から発生するパラドクスから逃れるために、公理的集合論が提案されました。発生段階でユークリッド幾何学の「定義」→「公理」→「定理」といった思想的な影響は受けましたが、直接的には無関係です。

公理的集合論が「妥当」であることの証左のひとつとして、それまで「自然言語」で表現されていたユークリッド幾何学を、公理的集合論の言語で表現することが可能(つまりデカルト座標系によってモデル化可能)であることが示されて、これが一般化しました。

公理的集合論は道具立ても揃っているし、デカルト座標は便利であるため、通常はユークリッド幾何学をその一つのモデル(前述の E = (R^2, ...))と同一視しているのです。

>そして、「第五公準(平行線は唯一唯一つ)」というのと、
>「ピタゴラスの定理」というのは同値になりそうというのも了解いただけますか?
>つまり、一方を公理とすれば、他方は定理となる。
ちょっとだけ考えましたが、私の感覚から言うと、同値になりそうもないというのが感想です。
しかし第四公準+ピタゴラスの定理 を満足して、平行線が複数存在するようなモデルをすぐには思い付きません。
ZFC 集合論は非常に「緩く」できているのでユークリッド幾何学の四公準+ピタゴラスの定理くらいの前提では、とっぴょうしもないモデルが存在しても不思議ではないなぁ。というくらいで勘弁して欲しい。

>これは本当ですか?
>そのことを今のところ理解できないのですが。
>{ZFC集合論}を基に、{ユークリッド幾何学}は構築されていると思います。
うーん。その発生年代からして明らかだと思うのですが。。。

ZFC集合論が確立されたのは歴史的にはごく最近のことですよね。
それまでの数学者は ZFC 集合論をベースとした論理体系ではなく、当然ユークリッド幾何の論理体系で論を進めていたはずです。

その過程で例えば、ピタゴラスの定理が成立して、直線に「長さ」という計量が常に存在するならば、直角二等...続きを読む

Qピタゴラスの定理を証明してください。

 ピタゴラスの定理(三平方の定理)を証明してください。
直角三角形の斜辺の長さをa、残りの直角に接している2辺をb,cとおくと、
a^2=b^2+c^2
となるという定理です。

 今、この証明について、20種類以上の解法を探しています。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ピタゴラスの定理と検索するだけでも、結構出ますよ。
字だけではなかなか証明できないので、URL貼ります。
http://mis.edu.yamaguchi-u.ac.jp/kyoukan/watanabe/elements/appendex2/pythagoras/pythagoras.htm

http://kscalar.kj.yamagata-u.ac.jp/museum/DisplayRoom/Pitagoras.htm

http://www2.wbs.ne.jp/~kiyopage/hontai/sidouan.pdf

http://www.qunea.org/blog/archives/000722.html

もしかしたらピタゴラス同様、床の幾何学模様を見て思いつくかも・・・

Q何で数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,FじゃなくてI,II,IIIとA,B,Cなの

高校の数学についてのかなり阿呆な疑問なのですがなぜ数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,Fとかに統一しないで数学I数学A数学II学B数学III数学Cという風に区別されているのですか。
ところで自分はそんなに頭が良くないので優秀な回答を頂いても全く理解できない事も予想されます。
そういう場合は笑って許してください(汗)。

Aベストアンサー

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学)省は,「高校で数学を学ぶうえで中心(コア)となるもの」を易しいほうからI→II→IIIと配置し,それ以外をいわばオプションとしてA~Cとしたように思われます。

さらに,I~IIIとA~Cには非常に大きな違いがあります。

たとえば数学Iの内容は,もし学ぶのであればその内容(二次関数・三角比・場合の数・確率)を全部学ばないと,単位がとれません。数学II,数学IIIも同様です。
これに対して,数学Aは,数と式・平面幾何・数列・コンピュータの四単元からなっていますが,指導要領では「履修する生徒の実態に応じて、内容の(1)から(4)までの中から適宜選択させるものとする。」となっており,学校によって扱いはまちまちです。
コンピュータ(BASICのプログラミング)を省いている学校も結構ありますし,また参考書でも飛ばされていたりします。
(ところが入試だとプログラミングがある意味では一番易しいので,それを狙っていこう!という参考書もあったりします)
BやCも同様で,学校により扱いが異なります。

以上より,次のようなことが言えます。
たとえば,ある生徒が「学校で数学IIを習った」といっていれば,数学Iと数学IIの内容は全て授業でやっているはずです。
ところが,「数学Aを習った」というだけでは,実際に何を習っているかは分かりません。
このため,大学入試でも,数学A・B・Cはたいてい,それぞれの単元に対応する問題を並べておいてそのなかから選んで答えさせるようになっています。

No.2のカリキュラムは,1981年度に高校に入学した人までが学んだものです。
当時は,いわゆる受験校(進学校)の場合,おおまかにみて,
入試で数学を使わない人:「数学I→数学IIA」
数学を使う文系の人:「数学I→数学IIB」
理系の人:「数学I→数学IIB→数学III」
というパターンでカリキュラムを組んでいる学校が多かったように思います。
翌年登場したのが,「数学I」「基礎解析」「代数幾何」「確率統計」「微分積分」という科目分けで学んでいます。
その次(92年度入学者以降)に登場したのが現行のI~III,A~Cです。

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


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