yy"+y'^2=1と言う微分方程式を解く。
y'=pと置いて、
y(dp/dy)p+p^2=1・・・・(1)
p^2=qと置くと
(1/2)y(dq/dy)+q=1・・・・(2)
(1)式から(2)式になる過程が分かりません。
この計算過程を教えて下さい。
お願いします。

A 回答 (4件)

k345さんの回答で合ってますよ。


どのような計算をすると y*q*(dp/dy)+q=1 となるのかよくわかりませんが、p^2=q の両辺をyで普通に微分するとK345さんのように普通に 
dp/dy=(1/2p)*(dq/dy) が求まるはずですが。

K345さんの回答が2行しかないことから、おそらくtouch_me_8さんは媒介変数の微分である
 dq/dy=(dq/dp)*(dp/dy)=2p*(dp/dy)
のところでつまずいているんじゃないのかな?

実際 dp/dy=(1/2p)*(dq/dy) を(2)式に代入してみましょうか?

y(dp/dy)p+p^2=1・・・・(1)

y*(1/2p)*(dq/dy)*p+q=1

(1/2)y(dq/dy)+q=1 (終)

高校生かな? わたしゃ旧課程だったから今の高校数学は知らないけど旧課程の微分積分の微分方程式のところでやったな。なつかしいっす。

媒介変数のからんだ微分は今の高校生なら数学3の教科書なのかな? 見直してみてください。きっと分かるはずです。では
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>計算すると何か違うのですが。


>(2)式にはならずに次のようになってしまいますが。
>y*q*(dp/dy)+q=1

p^2=qより
dq/dy=(dq/dp)*(dp/dy)=2p*(dp/dy)
dp/dy=(1/2p)*(dq/dy)

の部分はおわかりになりますか?
これ、つまりdp/dy=(1/2p)*(dq/dy) をそのまま(1)に代入すればO.K.ですよ。
dp/dyとdq/dyを読み間違えていませんか?
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2階微分方程式のところに書いてありますよ。


以下、「応用解析要論」(田代嘉宏著、森北出版)p.17公式[6.4]より。

f(y",y',y)=0

y'=dy/dx=pとすると、
(d^2/dx^2)y=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=p(dp/dy)

f(p(dp/dy),p,y)=0
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この回答へのお礼

私の質問の仕方が悪かったのか、私が聞こうとしたことと回答が少しずれているようです。
でも、ご回答、ありがとうございます。

お礼日時:2002/02/04 13:23

p^2=qより


dq/dy=(dq/dp)*(dp/dy)=2p*(dp/dy)
dp/dy=(1/2p)*(dq/dy)

これを(1)に代入すると、
y*(1/2)*(dq/dy)+q=1
すなわち(2)となります。

これでO.K.でしょうか?

この回答への補足

計算すると何か違うのですが。
(2)式にはならずに次のようになってしまいますが。
y*q*(dp/dy)+q=1

補足日時:2002/02/04 13:20
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