三角錐と三角柱と直方体の頂点、辺、面の個数を調べたときに、どんな法則がありますか?

A 回答 (3件)

蛇足かもしれませんが、オイラーの法則について、塾で教えていたときの中2の幾何の教材の読み物ページにこんなものを載せていました。

(ちなみに私はトポロジーのお話自体はまったく知らない素人です^^;)あくまで直感勝負で。(笑)

(1)まず、立体の面を1つ取り除き、その立体を「ぶにゅ~っと」つぶして平面にする。
(2)そこから辺を1つずつ取り除く。そうすると、
(2-1)面が1つなくなるか、
(2-2)頂点が1つなくなるか、のどちらか1つの現象が起こる。
(3)つまり(頂点)-(辺)+(面)の値はこの作業により不変であることがわかる。
(4)(2)の作業を繰り返すと、すべての辺を取り除く直前で、●---●(頂点-辺-頂点)という図になる。ここで最後の作業として(2-2)が起こり、頂点が1つだけ残る。
(5)(4)の頂点1つと(1)ではじめに取り除いた面1つも考えて、(頂点)-(辺)+(面)=2が成り立つ。

確かなんとなく、大きな箱の上に小さな箱を乗せてくっつけ、鏡餅のような立体を作った場合は、面どうしをくっつけた数、というのもパラメータに入ってきていたような気がします。CADのシステムを組まれる方とかはこういう話にお強いのでしょうか?
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これは位相幾何学(トポロジー)でいうところのオイラーの法則で、


ranxさんのおっしゃるとおり、
(頂点の個数)-(辺の個数)+(面の個数)=2
が成り立ちます。
いわゆる位相不変量と呼ばれるもので、切ったりつないだりすると
変わりますが、曲げたり伸ばしたりしても変わることのない量です。
三角錐、三角柱、直方体はすべて球面(球の表面の部分)と同位相
(曲げたり伸ばしたりして、互いに変形可能という意味)です。

ちなみにドーナツ型の曲面だとこの量は0になります。
確か一般的に(頂点の個数)-(辺の個数)+(面の個数)=2-2g
が成り立ったと記憶しています(gは曲面の穴の個数)。
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これらの立体に限ったことではありませんが


(頂点の個数)+(面の個数)-(辺の個数)=2
オイラーの法則ですね。
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#1,2です。
>つまり法線は必ず正負の方向にふたつあり、どちらかが求まれば各成分の符号
>を変えればいいということですか。

そのとおりです。(ax-cx)などを、(cx-ax)などとする方法でもよいですし、
各成分の符号を変えなくても、掛ける順番を逆にしてもよいのです。
これは行列式の演算規則によるものです。
ただし、(ax-cx)などと(bx-cx)などを同時に変えずに、一方だけを変えるのです。
そうでなければ、(マイナス)×(マイナス)→(プラス)になってしまいます。

質問で、『「ただし面は頂点を反時計回りに回ったときが表とする」と書いてある』
と書かれていますね。
A×Bというベクトル積は、ベクトルA、Bの起点Cを中心にベクトルAからベクトルB
に反時計回りに回したとき(左に回すとき)、手前に伸びてくる方向を向きます。
ちょうど螺子を外すとき、ドライバーを左に回すと螺子が進む向きと同じです。
手前に伸びてくる向きなので、三角錐の表面の「表」とされているのです。

しかし、この向きは、A×Bというベクトル積の負の向きなのです。
逆に、Cを中心にAからBにベクトルを右に回す時に、ベクトルは奥に進む向きに
なります。この向きは、A×Bというベクトル積が正となる向きです。
電気に「右螺子の法則」(直線状の電流がつくる磁場の向きは、電流の流れる
方向を、時計回りに回す右ねじの進む方向にとれば、右ねじの回る向きに一致
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よいでしょう。

#1,2です。
>つまり法線は必ず正負の方向にふたつあり、どちらかが求まれば各成分の符号
>を変えればいいということですか。

そのとおりです。(ax-cx)などを、(cx-ax)などとする方法でもよいですし、
各成分の符号を変えなくても、掛ける順番を逆にしてもよいのです。
これは行列式の演算規則によるものです。
ただし、(ax-cx)などと(bx-cx)などを同時に変えずに、一方だけを変えるのです。
そうでなければ、(マイナス)×(マイナス)→(プラス)になってしまいます。

質問で、『「ただし面は頂点を反時計...続きを読む

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