いろいろな近似について、教えてください。振り子の SINθ=θ のようなものから、最小二乗法のようなものまで何でも結構です。制御工学に関するものだとなおうれしいです。利点欠点などもあわせておねがいします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

こんにちは。


近似法には色々なものがありますよね。
質問欄にもあるように最小二乗法が代表的な例だと思います。
近似法に関してはあまり詳しくないので
他の方の回答にお任せするとして
利点や欠点などを私の知る範囲で書いておきますね。

制御工学で行われる近似のほとんどは
非線形を線形とする場合だと思います。
利点としては、複雑な数式や数式では表現しきれないようなものを
簡潔に表現できるという点です。
また、非線形を線形として近似することで線形制御理論で
制御対象を扱えるといった点が大きいと思います。
非線形制御理論も色々ありますが、複雑すぎて理解するのですら
大変ですよね。
論文では複雑系を非線形制御理論などで解決っとすると
カッコイイのですが、実際に産業界でそれを用いようとする
技術者の方々は理解に苦しむという話を聞いたことがあります。
ですから、非線形部分を線形として近似し、
簡潔な表現が可能な線形制御理論を用いて問題を解決する
といったことは特に産業界では歓迎されるようです。

欠点としては、やはり実際の系と
異なってしまうことではないでしょうか。
システム同定を主にされるのであれば、
やはり実系を忠実に再現できた方が良いわけであって、
あまり極端な近似は目的そのものと外れてしまいます。
この場合はシステムの何%かの許容誤差を設けることで、
近似する精度を変えるということになるでしょうね。
理論研究を主にされるのであれば、近似自体が
問題になるケースは多々ありますが、
実際に適用する際にはさしたる問題が起こるということは
稀だと思います。

まあ、目的に合わせて近似を行うということを心がけていれば
近似によるデメリットというのはないのではないかと思います。

以上は私の主観ですので、他の方とは異なるかも知れません。
長々と失礼しました。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

即答ありがとうございました。制御に関する答えまで書いていただいて、、、心のそこからありがとうです。しかしやっぱりなかなか複雑さは避けられないようですね。お忙しい中ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/09 03:55

近似の方法としては


Nじ方程式による当てはめ.
lpによるあてはめ
極値によるあてはめ(ステップ応答他)
ラグランジャ3.5.7次近似
制御では微分方程式の数値解が差分法による近似でしょう。

具体的な計算方法は数学の本に載ってますから探してください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。探してみます。いろいろあるものですねぇ、、助かりました。

お礼日時:2002/02/09 03:49

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q最小二乗法の過程で分散共分散行列が・・・・

最小二乗法の過程で分散共分散行列が目にしました。

重回帰モデルが
y=Xβ+ε
で与えられるとき、最小二乗法を施すと
βの期待値bが
(XT・X)-1・XT・yで表せるのですが、
(ただし、XTは行列Xの転置行列、-1は逆行列を表します。)

大事なのがここからで、
この (XT・X)-1  というものが、有名な形らしく、分散共分散行列と呼ばれるらしいのです。
どうして、この行列が分散を表す行列になるのかが、いまいちつかめないのです。ご存知の方がいらっしゃいましたらぜひ教えてください。
助けてください!!よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

#1です。再度補足。

1)分散の定義そのものです。
詳しくは確率変数の平均値が0でないときの分散の定義を見てください。

2)(X'X)^(-1) X'Xβ- β=0になるということでしょうか?
その通りです。(X'X)^(-1) X'X = I 、すなわち単位行列でしょう?

3)E[(b-β)(b-β)'] = σ^2 (X'X)^(-1)
地道に計算すれば解けるのですが、
E[(b-β)(b-β)'] = E[((X'X)^(-1) X'(Xβ + ε) - β)((X'X)^(-1) X'(Xβ + ε) - β)']
= E((X'X)^(-1) X'ε) ((X'X)^(-1) X'ε)']
= E[((X'X)^(-1) X'ε) (ε'X((X'X)^(-1))]
= ((X'X)^(-1) X'E[εε']X((X'X)^(-1))
= ((X'X)^(-1) X'σ^2 X((X'X)^(-1)) ←σ^2 はスカラーなので前に出せる(単位行列は消す)
= σ^2 (X'X)^(-1) X'X(X'X)^(-1)
= σ^2 (X'X)^(-1)
となります。

#1です。再度補足。

1)分散の定義そのものです。
詳しくは確率変数の平均値が0でないときの分散の定義を見てください。

2)(X'X)^(-1) X'Xβ- β=0になるということでしょうか?
その通りです。(X'X)^(-1) X'X = I 、すなわち単位行列でしょう?

3)E[(b-β)(b-β)'] = σ^2 (X'X)^(-1)
地道に計算すれば解けるのですが、
E[(b-β)(b-β)'] = E[((X'X)^(-1) X'(Xβ + ε) - β)((X'X)^(-1) X'(Xβ + ε) - β)']
= E((X'X)^(-1) X'ε) ((X'X)^(-1) X'ε)']
= E[((X'X)^(-1) X'ε) (ε'X((X'X)^(-1))]
= ...続きを読む

Qy=-4cosθ-2√2sin(θ-π/4) -4cosθ-2√2(1/√2sinθ-1/√

y=-4cosθ-2√2sin(θ-π/4)
-4cosθ-2√2(1/√2sinθ-1/√2cosθ)

についての質問です。
なぜ、-1/√2cosθになるのでしょうか?
1√2cosθでは計算があいません。質問内容が分かりにくいと思いますが、回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

加法定理より、sin(Π/4)=cos(Π/4)=1/√2、sin(θ-Π/4)=sinθcos(Π/4)-cosθsin(Π/4)=sinθ/√2-cosθ/√2となります。

Q最小二乗法 擬似逆行列

下のサイトの説明を読んで最小二乗法の勉強をしています。

未知パラメータxが1個(N=1)、出力yが10個(M=10)のとき、
擬似逆行列を求めようとすると、(A#A)^-1 が1×1行列になってしまいます。
このとき逆行列はどのように求めたら良いのでしょうか??勉強不足ですみませんが、よろしくお願いします。

http://www.star.t.u-tokyo.ac.jp/~kaji/leastsquare/leastsquare_main.htm

Aベストアンサー

転置を'で表すことにします。

1×1行列 A'A = [a] の逆行列は [1/a] ですので、擬似逆行列は

(A'A)^(-1)A'=[1/a] A'=(1/a) A'

と計算されます。蛇足ながらこの場合の擬似逆行列は1×M行列となります。

Qわからないので教えてください^^; θが鈍角で、sinθ+cosθ=1/√2のとき、cosθの値を求

わからないので教えてください^^;

θが鈍角で、sinθ+cosθ=1/√2のとき、cosθの値を求めよ。

お願いします。

Aベストアンサー

三角関数の合成関数を利用すればよいですよ。

Q最小二乗法の過程で分散共分散行列が・・・

最小二乗法の過程で分散共分散行列が目にしました。

重回帰モデルが
y=Xβ+ε
で与えられるとき、最小二乗法を施すと
βの期待値bが
(X'・X)-1・X'・yで表せるのですが、
(ただし、X'は行列Xの転置行列、-1は逆行列を表します。)

このbの分散共分散行列を計算すると
E[(b-E(b))(b-E(b))'] = σ^2 (X'X)^(-1)
となるのですが、
この計算をする際にE(b)=β
とするのですが、どうしてこれが成り立つのでしょうか?
教えてください!!よろしくお願いします。

また、もしよろしければ、次のことを教えてください。ご存じなければ、上の質問だけでももちろん助かります。

bの分散共分散行列
E[(b-E(b))(b-E(b))']
を計算すると
E[εε']=σ^2I
となる過程が出てくるはずです。(Iは単位行列)
どうしてこの変形が出来るのでしょうか?
単位行列にはならないはずですが、単位行列になるという
仮定を用いているようです。
どうしてこの仮定が生じたのか、ご存知の方いらっしゃれば教えてください。とても困っています。

最小二乗法の過程で分散共分散行列が目にしました。

重回帰モデルが
y=Xβ+ε
で与えられるとき、最小二乗法を施すと
βの期待値bが
(X'・X)-1・X'・yで表せるのですが、
(ただし、X'は行列Xの転置行列、-1は逆行列を表します。)

このbの分散共分散行列を計算すると
E[(b-E(b))(b-E(b))'] = σ^2 (X'X)^(-1)
となるのですが、
この計算をする際にE(b)=β
とするのですが、どうしてこれが成り立つのでしょうか?
教えてください!!よろしくお願いします。

また、もしよろしければ、次...続きを読む

Aベストアンサー

> (X'・X)-1・X'・y
E[(X'X)^(-1) X'y] = E[(X'X)^(-1) X'(Xβ + ε)]
= (X'X)^(-1) X'Xβ + (X'X)^(-1) X'E[ε]
= β + 0 = β


最小自乗法でおかれる通常の仮定の中に
E[ε] = 0
E[εε'] = σ^2 I
が含まれています。この仮定をゆるめたモデルも存在しますが、最初はここが基本です。したがってこの仮定から出てきます。

ちょっとだけ解説すると、前者はモデルが正しい (y = Xβ + ε が期待値の意味で成り立つ) ことを主張しており、後者は誤差項はそれぞれ独立で同じ分散を持つ、ということを主張しています。

Q圧縮式(ターボ)・吸収式冷凍機の利点欠点?教えて!

圧縮式冷凍機と吸収式冷凍機の構造上の違い等は、おおむね理解できたのですが、設置にあたってどちらの方式にするか?
メリット・デメリットは?
環境への配慮面ではどうか?
メインテナンス上はどうか?(経験から:圧縮式(ターボ)の方が吸収式より圧倒的に故障が少ないと思いますが?)。
お教え下さい。お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。
ひとつの意見として。

現在では、吸収式の燃料代(ガス等)が、圧縮式の燃料代(電気)に比べて相対的に高くなっているので、圧縮式の方が普及していると聞きます。。。

Q最小二乗法 行列

現在以下のページを参考に最小二乗法の勉強をしています。
誤差の二乗ノルムを求めるときに、
 || e || ^2 = e*e
= (y-Ax)*(y-Ax)
= (y*-x*A*)(y-Ax)
= y*y - y*Ax -x*A*y + x*A*Ax  (1)
この次に
       = y*y - 2y*Ax + x*A*Ax
と変形できるのはなぜなんでしょうか?
(1)の第3項目 x*A*y が第2項目と等しくなる過程が分かりません。
後、次の二乗ノルムを微分する過程も良くわかりません。

すみませんが、よろしくお願いします。


http://www.star.t.u-tokyo.ac.jp/~kaji/leastsquare/leastsquare_main.htm

Aベストアンサー

共役転置行列の定義を確認し、公式
(AB)* = (B*)(A*),
A** = A
を証明してみてください。
これにより、(x*)Ay の共役転置は、
{ (x*)(A*)y }* = (y*)(A**)(x**) = (y*)Ax です。

(x*)Ay は、スカラー(1行1列の行列)ですから
{ (x*)Ay }' = (x*)Ay となりますが、
実数値であれば { (x*)Ay }~ = (x*)Ay なので、
結局、
{ (x*)Ay }* = { (x*)Ay }'~ = { (x*)Ay }~ = (x*)Ay です。

Q幾何のsinθのsinθを何と呼ぶのですか?

幾何のsinθのsinθを何と呼ぶのですか?

Aベストアンサー

サイン・シータ

Q分子構造の重ねあわせ (行列、最小二乗法など?)

すいません、化学っぽい内容の質問なのですが、
アルゴリズムは数学になると思うのでこちらで質問させていただきます。
また、説明不足を補うために一部プログラムっぽい表記をさせていただきますのでご了承ください。

現在、分子構造を比較するためのプログラムを作成しています。
そのプログラムに構造の「重ね合わせ」機能を追加したいのですが
そのアルゴリズムに最小二乗法などが必要らしく、悩んでいます。
(詳細は長くなるので下に書きます)

分かる方がいましたらご教示お願いします。
よろしくお願いします。


■重ね合わせについて
分子構造のデータは、各原子がそれぞれX, Y, Z座標の3つの値を持っています。
例えば、200原子からなる分子のデータ構造は以下のようになります。

Atom { double x; double y; double z; }
Atom atom = new Atom[200];

重ね合わせる2つの構造は原子数は同じとします。なので、分子構造2つをa1, a2とし、
対応する点の誤差をとっていくと、誤差の平均を求める計算は以下のようになります。

Atom a1 = new Atom[200];
Atom a2 = new Atom[200];
double d = 0;
for (i = 0; i < a1.length; i++)
d += sqrt(pow((a1[i].x-a2[i].x),2) + pow((a1[i].y-a2[i].y),2) + pow((a1[i].z-a2[i].z),2));
d = d / a1.length;

このdの値が最小値をとるようにa2の原子の座標を変更することを「重ね合わせ」と定義します。


■重ね合わせのアルゴリズムについて
基準となる構造に対し、もう一つの構造を並進や回転によって合わせる感じになると思います。
今回質問する箇所はこのアルゴリズムになります。
この際に行列計算や最小二乗法を使うことになるかと思われます。

■質問者の考え
途中まで、しかも間違っている可能性がありますが私の考えたアルゴリズムを追記しておきます。
(i) a1, a2の重心を求める
double x1 = y1 = z1 = x2 = y2 = z2 = 0;
for (i = 0; i < a1.length; i++) {
x1 += a1[i].x; y1 += a1[i].y; z1 += a1[i].z;
x2 += a2[i].x; y2 += a2[i].y; z2 += a2[i].z;
}
x1 = x1 / a1.length; y1 = y1 / a1.length; z1 = z1 / a1.length;
x2 = x2 / a1.length; y2 = y2 / a1.length; z2 = z2 / a1.length;

a1の重心(x1, y1, z1)とa2の重心(x2, y2, z2)が求まります。

(ii) 重心の誤差を求め、誤差をa2の各原子の座標に反映させる
xd = (x2 - x1); yd = (y2 - y1); zd = (z2 - z1);
for (i = 0; i < a1.length; i++) {
a2[i].x -= xd;
a2[i].y -= yd;
a2[i].z -= zd;
}

この方法で誤差はかなり小さくなります。しかし、最小値にはなってないと思われます。
なので、この方法が正しいのかよく分かりません。

すいません、化学っぽい内容の質問なのですが、
アルゴリズムは数学になると思うのでこちらで質問させていただきます。
また、説明不足を補うために一部プログラムっぽい表記をさせていただきますのでご了承ください。

現在、分子構造を比較するためのプログラムを作成しています。
そのプログラムに構造の「重ね合わせ」機能を追加したいのですが
そのアルゴリズムに最小二乗法などが必要らしく、悩んでいます。
(詳細は長くなるので下に書きます)

分かる方がいましたらご教示お願いします。
よろし...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは.
ソースコードは良く見てませんが…
要するに合同であることが期待されるn点のデータ集合XとX'に関して,
Σ ||Xi' - (R*Xi+T) ||^2 -> min
なる回転と並進ベクタを計算したいと考えます.
ここで,XiとXi'はi番目の座標を意味する3次元ベクタであり,
総和演算は範囲(i=1,...,n)とします.

質問者様の方法では上記の変換(R,T)に関して,
並進量Tまでしか解決できません.
ここからさらに回転量Rを解決する必要があります.
基本的な戦略は相関行列を特異値分解してRを決定します.
Rの推定には質問者様の方法で重心を合わせたXとX'に関して
M = Σ Xi'*Xi^T
なる3*3相関行列を計算し,M -> U*D*V^T と特異値分解します(^Tは転置記号).
最小二乗の意味で最適なRは
R = U*V^T
で計算できます.
ただし,回転の向きは適宜調整してください.

データ集合XとX'が相似の意味で同じである場合は
重心を会わせた後にスケール調整を行ってください.

こんにちは.
ソースコードは良く見てませんが…
要するに合同であることが期待されるn点のデータ集合XとX'に関して,
Σ ||Xi' - (R*Xi+T) ||^2 -> min
なる回転と並進ベクタを計算したいと考えます.
ここで,XiとXi'はi番目の座標を意味する3次元ベクタであり,
総和演算は範囲(i=1,...,n)とします.

質問者様の方法では上記の変換(R,T)に関して,
並進量Tまでしか解決できません.
ここからさらに回転量Rを解決する必要があります.
基本的な戦略は相関行列を特異値分解してRを決定します.
Rの推...続きを読む

Q高校生です。 代替エネルギーの利点と欠点を教えてください!!

高校生です。
代替エネルギーの利点と欠点を教えてください!!

Aベストアンサー

一口に「代替エネルギー」といってもいろいろあり、それぞれに利点と欠点がありますよね。そもそも何の代替エネルギーなのかな。たぶん、これのことかな。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B0%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC

上記URLの「現行の新エネルギー」の項に、さまざまな代替エネルギー(新エネルギー)が書かれてあるので、それぞれをクリックすれば長所(利点)と短所(欠点)が書いてありますよ。


人気Q&Aランキング