関数f(x)=1/2(x+a+lx-al)のグラフが直線x=1を軸とする放物線y=g(x)と二点で接している、ただしa>1とする、このとき、以下の問いに答えよ
(1)y=f(x)のグラフの概形描け
(2)y=g(x)をaを含む形で表し、二つの接点の座標を求めよ
(3)y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分の面積をaを使って表せ、、

この問題なんですが、(1)でどこで場合分けするのか、わからずつまずいてしまったんですが、、、

この問題、解き方の道筋だけでいいので、アドバイスいただけませんか?
よろしくお願いします、、

A 回答 (3件)

> 新しく自分で置いた文字dをそのまま、


> 解としてd=aのように置いてしまってもいいのでしょうか?

図のような折れ線に x=1 を軸とする放物線が2か所で接するのですから,
水平線(y=a)と接し,斜め線(y=x)と接するわけです.
水平線と放物線が接するのですから,接点は放物線の頂点です.
y = c(x-1)^2 + d で x=1 とおけば,放物線の頂点は (1,d) です.
したがって,d=a.

> それともこの問題はx>a、、x<aのグラフ二つを合わせて二点ってことなのですかね?

上でも書いたように,水平線(y=a)と接し,斜め線(y=x)と接するわけです.
どちらかだけですと,2度接することは不可能です.
y=f(x) のグラフは図の様な折れ線です.
a は変数でなくて定数ですよ.
値が2とか5とか,書かれていないだけです.

それから,テキストファイルで式を書くときは誤解されないように
細心の注意が必要です.
No.2 の starflora さんも迷われたみたいですよ.
私もちょっと?と思ったのですが,1/2 と次の( )との間が空いていたので
(1/2) (x+a+lx-al) と解釈しました.
私の解釈が質問の意図とあったのは多分に偶然です.
starflora さん,私,その他の回答者の方々の回答を見てください.
式は本当に注意を払って書かれています.
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  1)の問題ですが、f(x)=1/2(x+a+lx-al) というのは、
  x>a の時、f(x)=y= 1/2(2x) =1/4x  case 1
  x<a の時、f(x)=y= 1/2(2a) =1/4a  case 2
 
  これは、case 1 の時は、(x,y)=(1/2,1/2) を頂点とする双曲線です。
  case 2 の時は、y= 1/4a の水平線になります。
  従って、グラフは、x=a>1 の点でつながり、ここより右は双曲線、ここより左は、y=1/4a の水平線という図形です。
 
  この図形で、a>1 でまた、問題の放物線と二つの接点を持つことができます。
 
  関数 f(x) の定義が、f(x)= (1/2)(x+a+lx-al) の時は、No.1 の siegmund さんの言われる通りなのですが、普通、こうは表記しないのではないかと思います。
 
  無論、わたしのように考えた方が問題が難しく、もしかすると解がない可能性があるので、f(x)= (1/2)(x+a+lx-al) のことなのかも知れません。
 
  また、わたしの場合だと、放物線が二つの接点を持つ場合、上に凸ということになります。
 
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絶対値の分類ですから,中身が正か負かで分類です.



x>a のとき,|x-a| = x-a で,f(x) = x
x<a のとき,|x-a| = a-x で,f(x) = a

     y

     │
     │
     │
     │    /
     │   /
━━━━a━━━/
     │
     │ 
─────┼─────── x
    0│  a
     │
     │

(1)は大体こんなグラフですか.

(2)は2箇所で接するというのですから,下に凸の放物線ですね.
軸が x=1 というのだから,放物線は y = c(x-1)^2 + d  (c>0)
水平線と接する ⇒ 放物線の頂点のy座標がa ⇒ d=a.
y=x と接する  ⇒ 重根条件 ⇒ c が a で表される.
というところでしょうか.

あとはお任せします.

この回答への補足

回答ありがとうございます。。
(2)なんですが、新しく自分で置いた文字dをそのまま、解としてd=aのように置いてしまってもいいのでしょうか?
あと、x<aの場合はy=aの直線ですよね、その場合二点で接することは不可能じゃないでしょうか?それともこの問題はx>a、、x<aのグラフ二つを合わせて二点ってことなのですかね?僕が考えたのはaもxも変数なので、一つのグラフかかず、二つに分類したんです、そしたら、それぞれが二点で接することが不可能になってしまったので、(1)に戻って考えたのですが、できなくて、、、、
すいませんが、(2)について、補足お願いします m(._.)m

補足日時:2002/02/07 10:02
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Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

...続きを読む

Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

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まず、
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だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
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y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
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※数式の書き方に迷ってしまい、上記の様に記載しました
 もっと判りやすい書き方があれば、書き方も教えてください。
 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#3です。
A#3について
>>g(x+y)+g(x-y)>=2g(x)
>も不等号の向きが逆ですから問題の間違いでしょう。
これについては

>> g(x)=∫[x→0] (x-t)f(t)dtとおく。…f(f)はf(t)で置換え済
の積分の範囲の書き方が、常識と逆に書いて見えるなら、
積分の上限と下限を逆にすれば、g(x)の符号が反転しますので
不等式が成立するようにするには
g(x)=∫[0→x] (x-t)f(t)dt
と訂正すればいいでしょう。
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f(x)=f(1/2+b)
よってf(1/2-b)=f(1/2+b)
となり、1/2を軸にしてf(1/2-b)とf(1/2+b)が等しくなっている。
よってf(1-x)=f(x)の時、任意のxにおけるf(1-x)とf(x)はx=1/2を軸として対象である。


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