入射光としてパルスレーザーを用いた蛍光測定を行っております。検出を高感度に行うため,入射パルスと同期して生じた蛍光のフォトン数をカウントし,そのカウント数から蛍光強度を求めたいと考えております。

 ここで一つ問題があるのですが,入射光のパルス幅が非常に狭いため,各入射パルスに対して蛍光が発生したかどうかは判別できますが,一回の入射光パルス内で複数の蛍光フォトンが発生していても,そのフォトン数を正確に数えることができません。この場合,カウント数は1カウントと数えられてしまいます。よって,蛍光カウント数と入射パルス数との値が近くなってきた場合,蛍光強度は蛍光カウント数に比例しなくなり,下の式には従わなくなってきます。

   蛍光カウント数
  ---------------- = 蛍光強度 (強度が低いときのみ成立)
   入射光パルス数

 なぜなら,上の式が成り立つ前提条件として,「検出する各パルスが,蛍光1フォトンによるものである」という条件があるからです。つまり,1パルスの入射光に対して,蛍光が2光子含まれる確率,および3光子含まれる確率が無視できなくなってくると,蛍光強度は実際の強度よりも低く見積もられることになります。

 何らかの統計的な手法を用いることによって,正確な蛍光強度を算出できるのではないかと思うのですが,一体どのような統計分布に従うのか,具体的にどのような計算をして蛍光カウント数を処理すればよいのか分かりません。

 どうか,よろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

 これは数学じゃないような気がする。


 フツーはphotomultiplierの出力(pulse height)から、検出した総エネルギーを求め、これを蛍光のエネルギー分布の平均値で割るんだと思いますが、この装置で測れるのは「1個もphotonが検出できなかった確率」だけなんですから、かなりpoorな情報しか得られません。
 まず、発生してるのに検出できない(検出器の開口に飛び込まない)、という検出効率を補正する必要がある。不感時間補正とは別物ですし、1個以上のphotonが検出された頻度はこの補正には何の役にも立ちません。
 それから、サンプルに不純物がありますと、こいつが励起されてしばらくしてから自然放射するためにかなり(数百nsとか, msとかの)遅延した蛍光を出す場合があります。幸いにして同じ条件で繰り返し計測をやっていますから、遅延した蛍光も平均すれば毎回測っていることになります。(もしphotomultiplierに不感時間があるのなら、こっちはまさしく「不感時間補正」の問題です。)

 さて、もしそういう心配をしなくて良いのだとすると、1発のパルスで平均x個、分散xのポアソン分布に従う数の蛍光photonが「一斉に」発生するとして、0個のフォトンが「発生」する確率Px(0)は
Px(0) = exp(-x)
ですから、
x = -ln Px(0)
ってことでしょう。(繰り返しますが、実際に測れるのは0個のフォトンが「検出」された確率であって、Px(0)ではない。)
 xが大きくなるとPx(0)はどんどん小さくなりますので、正確に測るのは難しい。そしてPx(0)の僅かな違いでもxでは大きな誤差になります。だったら、入射パルスの強度とxが比例することを利用して、例えば
Px(0)≒1/e
になるまで入射パルスを弱くしてやる方が良いと思いますね。具体的には入射光を鏡かレンズで広げてやって、被検体との距離を変えれば良いのではないでしょうか。
 状況が複雑なようですから、ちょいと自信なしです。

この回答への補足

 ご回答ありがとうございます。学部時代に勉強をサボって,未だ数学的な処理が苦手な 38endoh です。stomachman さんにはいつもお世話になり,大変感謝しております。

 まず,フォトンカウンティングの測定ですが,これは通常のホトマルでの電圧測定が困難な,非常に微弱な蛍光しか発しないサンプルに対してのみ補助的に使用しております。よって,x は大きくても 0.5 以下程度,すなわち1パルスの入射光で1フォトン発生するかしないか,といったレベルの蛍光を検出しております。

 この様な蛍光強度の小さい領域では,カウント数と蛍光強度とはほぼ比例関係にあると考えていますが,この度,測定範囲のダイナミックレンジを拡大する必要性が発生したため,x が大きい領域でもある程度議論ができるような補正式を導出することになりました。

 次にカウント方法について,カウンターには入射パルス光のトリガー信号に同期したゲート信号を入力しており,蛍光が発する瞬間(100ns)しかゲートを開いておりません。そして,一回のゲートオープンを一回の測定としているため,「Px(0) = 0個のフォトンが検出された確率」と見なせるのではないかと考えています。

補足日時:2002/02/12 00:04
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全く自信はありませんが、ガイガーミュラー計数管の数え落とし補正の式は使えないでしょうか。



計数管の分解時間をT, 真の計数率をN, 数え落としを含んだ計数率をN'とすると、N'*Tの時間中にN*N'*Tの数え落としがあるので、
    N=N'+N*N'*T
変形して、
    N=N'/(1-N'*T)

計数管の分解時間を蛍光測定系の分解時間と読みかえれば…?

的外れでしょうね、失礼しました。
(ところで、入射光のパルス幅はどのくらいなのでしょうか?)

この回答への補足

早速のご回答,感謝いたします。

 ガイガーミュラー計数管だけでなく,フォトンカウンティングにおいても,数え落としの議論は数多くなされております。一般に不感時間補正と呼ばれるもので,それについては一応理解しております(http://member.nifty.ne.jp/nga_star/seiyaku.pdf)。これらはポアソン分布を元に式を導出しているものと思います。

 しかし,従来の式はすべて定常光についての話であり,今回の場合には適用できないかと思います。今回の測定系についてもう少し補足いたしますと,入射光のパルス幅は約300fsで,繰り返し周期は約1kHz,ホトマルの応答速度は約10nsとなっています。ホトマルの応答速度が律速となってますので,約300fs内でいくつフォトンが発生していようと,すべて1カウントと扱われてしまいます。カウンタはホトマルからの10nsのシグナルが,一秒間に何回発生するかを数える(min=0,max=1000)ということになります。蛍光の強度が十分に小さければ,この10nsのシグナルがそのままフォトン1個に対応すると思いますが,強度が強くなってくると,同じ10nsのシグナルでも,フォトン2個分だったりフォトン3個分だったりしてくる可能性があります。よって,いかにカウンタの時間分解能が高くても,正確に数え上げることができません。

補足日時:2002/02/08 00:14
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この回答へのお礼

ポアソン分布に関する勉強をしておりましたところ,恐らく解決することができました。
1回のカウントで一つも光子がない確率 P(0),光子が1つ含まれている確率 P(1),2つ以上含まれている確率 P(>2) はそれぞれ,

  P(0) = exp(-x)
  P(1) = x * exp(-x)
  P(>2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - exp(-x) - x * exp(-x)

と表すことができ,実測のカウント数の割合 y は,

  y = P(1) + P(>2)

と書けるため,

  x = -ln(1 - y)
  (x: 真のフォトン数の割合,y:実測のカウント数の割合(0=<y<1))

となるのではないかと思います。どなたか確認していただけると大変助かります。

お礼日時:2002/02/08 11:47

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Q確率変数XがP(X=1)=P(X=2)なるポアソン分布を持つならばP(X=4)を

もし確率変数XがP(X=1)=P(X=2)なるポアソン分布を持つならばP(X=4)を求めよ。

という類の問題なのですがどなたか解き方をご教示ください。

ポアソン分布とは
「ポアソン分布
特定の事象が起こる確率pはきわめて小さいが、試行回数nが非常に多いためにその
事象が何回かは起こるときその生起回数の分布として表れる。
パラメータλのポアソン分布の確率密度関数は
p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である。ポアソン分布の平均、分散はともにλである」
といったものです。

Aベストアンサー

ポアソン分布において、
P(X=k) = {(λ^k)/k!} e^(-λ)
ですから、条件 P(X=1)=P(X=2) からλ(>0)を求め、それからP(X=4)を求めれば良いです。

P(X=1) = λ e^(-λ)
P(X=2) = {(λ^2)/2!}e^(-λ)
P(X=1) = P(X=2) ⇔ λ e^(-λ) = {(λ^2)/2!}e^(-λ)
λ = (λ^2) / 2
λ (λ - 2) = 0
λ>0 として λ = 2
P(X=4) = {2^4/(4!)} e^(-2)

> p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である
に数字を入れて解くだけなのに。ポアソン分布の説明を書いていただいたのは良いのですが、その時間があるなら、ご自分で計算してみてはいかが?

Q何で数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,FじゃなくてI,II,IIIとA,B,Cなの

高校の数学についてのかなり阿呆な疑問なのですがなぜ数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,Fとかに統一しないで数学I数学A数学II学B数学III数学Cという風に区別されているのですか。
ところで自分はそんなに頭が良くないので優秀な回答を頂いても全く理解できない事も予想されます。
そういう場合は笑って許してください(汗)。

Aベストアンサー

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学)省は,「高校で数学を学ぶうえで中心(コア)となるもの」を易しいほうからI→II→IIIと配置し,それ以外をいわばオプションとしてA~Cとしたように思われます。

さらに,I~IIIとA~Cには非常に大きな違いがあります。

たとえば数学Iの内容は,もし学ぶのであればその内容(二次関数・三角比・場合の数・確率)を全部学ばないと,単位がとれません。数学II,数学IIIも同様です。
これに対して,数学Aは,数と式・平面幾何・数列・コンピュータの四単元からなっていますが,指導要領では「履修する生徒の実態に応じて、内容の(1)から(4)までの中から適宜選択させるものとする。」となっており,学校によって扱いはまちまちです。
コンピュータ(BASICのプログラミング)を省いている学校も結構ありますし,また参考書でも飛ばされていたりします。
(ところが入試だとプログラミングがある意味では一番易しいので,それを狙っていこう!という参考書もあったりします)
BやCも同様で,学校により扱いが異なります。

以上より,次のようなことが言えます。
たとえば,ある生徒が「学校で数学IIを習った」といっていれば,数学Iと数学IIの内容は全て授業でやっているはずです。
ところが,「数学Aを習った」というだけでは,実際に何を習っているかは分かりません。
このため,大学入試でも,数学A・B・Cはたいてい,それぞれの単元に対応する問題を並べておいてそのなかから選んで答えさせるようになっています。

No.2のカリキュラムは,1981年度に高校に入学した人までが学んだものです。
当時は,いわゆる受験校(進学校)の場合,おおまかにみて,
入試で数学を使わない人:「数学I→数学IIA」
数学を使う文系の人:「数学I→数学IIB」
理系の人:「数学I→数学IIB→数学III」
というパターンでカリキュラムを組んでいる学校が多かったように思います。
翌年登場したのが,「数学I」「基礎解析」「代数幾何」「確率統計」「微分積分」という科目分けで学んでいます。
その次(92年度入学者以降)に登場したのが現行のI~III,A~Cです。

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学...続きを読む

Qポアソン分布

ポアソン分布の
分散の式を
証明せよ

という問題ですが、よくわかりません
どなたかご教示ください
お願いします

Aベストアンサー

ポアソン分布は,p(x,λ)=e^(-λ)(λ^x)/x! で,
平均λ,分散λです。

意味は自分で考えて,参考にして下さい。

E(X)
=e^(-λ)Σ[x=0,∞]x(λ^x)/x!
=λe^λΣ[x=0,∞](λ^(x-1))/(x-1)!
=λe^(-λ)・e^λ


E(X^2)
=e^(-λ)Σ[x=0,∞]x^2((λ^x)/x!)
=e^(-λ)Σ[x=0,∞]((x(x-1)+x)/x!)(λ^x)
=(λ^2)e(-λ)Σ[x=2,∞]{((λ^(x-2))/(x-2)!}
+λe^(-λ)Σ[x=1,∞]{(λ^(x-1))/(x-1)!}
=λ^2+λ

V(X)
=E(X^2)-{E(X)}^2

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qポアソン分布

ポアソン分布について、調べています。
そこで期待値と分散が一致していますが、それはどういう意味をしているのですか?(証明法はわかります。)
単位が異なるので、イコールで結べないと思うのですが。

Aベストアンサー

#1 さんのとおりですが、ちょっと付け足します。

例えば正規分布では平均と分散が独立なパラメータなので、平均の値の大小と分散の大小には関連性は無いわけですが、ポアソン分布では平均と分散が完全な関数関係を持っていて、平均が大きい分布は自動的に分散(つまり分布の広がり)も大きくなるということです。

また例えば正規分布では独立変数が単位(次元、dimension)を持つ変数になり得て、それに伴い分布のパラメータμ(平均)は独立変数と同じ次元を持ち、σ^2 (分散)は独立変数の次元の二乗の次元を持つようになります。密度関数の式をみれば、最終的に関数の値が確率密度の次元 ( 独立変数の次元 ) ^ (-1) を持つようになっていることからも分かります。
一方ポアソン分布は確率関数に exp( - λ) や λ^x、x ! という項があることから分かるように、独立変数もパラメータも無次元です。そうでないと関数の値が確率(無次元)になりません。ですから平均=分散となっても問題ありません。ちゃんと辻褄は合っているんです。

Q2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,..

初項を2、第2項を7とします
すべての項は一桁とします。
隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
(説明が下手でごめんなさい。。。)
つまり
2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...
といった具合です。
これが6を無限個含むことを示せという問題なんですが、見当がまったくつかず。。。
ちょっと思いついたのは偶数をかけるとどんな数字でも一桁目は偶数になるので、偶数は無限個あるというのだけで、、、
規則性が見えるかなとおもっていろいろ書き出したのですが、何もわからず。。。

ヒントでもいいのでお願いします

Aベストアンサー

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さて、「数列には6が高々有限個しか現れない」と仮定すると、数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうNが存在しなくてはならない。

 一方、数列中にひとたび(1616)が現れると、それより後ろに(666)が出て来る。
 (666)が現れると、それより後ろに(363636)が出て来る。
 (363636) が現れると、それより後ろに (1818181818) が現れ、さらにその後ろに (888888888) が現れ、さらにその後ろに(6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
  :
 ループです。つまり、どこまで行っても、それより後ろに(6464…6464)という部分が必ず存在する。

 だから、「数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうN」は存在しない。
 

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さ...続きを読む

Q二項分布とポアソン分布、それぞれで求まる確率が2倍も異なるのですが

 こちらに計算ミスがあれば、誠に申し訳ありません。
 二項分布とポアソン分布、それぞれで求まる確率が2倍も異なるので、困っています。

 次のような問いがあるのです。

「くじが当たる確率は1%であり、5回くじを引くとする。当たりが3回出る確率を、ポアソン分布を用いて近似的に計算せよ。」

 二項分布でも解けなくはない問いです。
 5C3×1%×1%×1%×99%×99%=0.000009801

 ところがこれを、ポアソン分布を用いて計算せよとのことですので、
 ポアソン分布の確率関数p(x)は、λ(ラムダ)を用いれば、
 自然対数の底eのマイナスλ乗と、λのx乗との積を、xの階乗で除した式で表されますので、
 (あえて関数式を書けば p(x)=(λ^x)*exp(-λ)÷x! )
 λ=0.05を代入し、p(3)を求めればよいわけですから、
 p(3)= 0.05^3 × exp(-0.05) ÷ 3!
   ≒ 0.000125 × 0.9512 × 6
   ≒ 0.0000198
 と求まります。

 これでは、ポアソン分布を用いて近似的に計算せよと言いながら、求まる確率が2倍も違う点で、とても近似的に計算しているとは思えません。
 ポアソン分布の関数式を覚えていないもしくは度忘れした解答者がとりあえず二項分布で解いてみても採点者は一発で間違いと分かるように数値を設定したと考えることもできますが、ポアソン分布の精度が疑わしくなります。

 あるいは、こちらの計算ミスがあれば、気づかずにいるミスを直ちに改めたいと思いますので、どなたかお答えを願います。

 こちらに計算ミスがあれば、誠に申し訳ありません。
 二項分布とポアソン分布、それぞれで求まる確率が2倍も異なるので、困っています。

 次のような問いがあるのです。

「くじが当たる確率は1%であり、5回くじを引くとする。当たりが3回出る確率を、ポアソン分布を用いて近似的に計算せよ。」

 二項分布でも解けなくはない問いです。
 5C3×1%×1%×1%×99%×99%=0.000009801

 ところがこれを、ポアソン分布を用いて計算せよとのことですので、
 ポアソン分布...続きを読む

Aベストアンサー

近似なんですから有効桁数は意識されるべきかと。。。

それぞれの当たり回数に対する確率計算結果を
少数第3位までで丸めて比較すると

回数 二項 ポアソン
0回   95.1% 95.1%
1回   4.8%  4.8%
2回   0.1%  0.1%
3回   0%   0%

十分、近似できていると思いますよ。要はどちらもほぼ0なんです。

Qにゃんこ先生の自作問題、1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…の一般項をガウス記号を用いて書くには?

にゃんこ先生といいます。

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…
という群数列の一般項を、ガウス記号などを用いて書くとどうにゃるのでしょうか?
a[n]=k
とすると、
第k群の最後の項は、
1+2+…+k=k(k+1)/2
より第k(k+1)/2項にゃので、
(k-1)k/2 < n ≦ k(k+1)/2
をkについて解けばいいのですが、具体的にはどうかけるのでしょうか?

また、
1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5,…
という群数列の一般項を、ガウス記号などを用いて書くとどうにゃるのでしょうか?

Aベストアンサー

※再訂正
ANo.1の結果
  An = k = [k] = [1 + √(8n - 7)]
   訂正 ⇒ An = [(1 + √(8n - 7))/2]

※追加
Excelで確認してみました.第16項まで表示しています.
○1つ目の群数列
n  (-1 + √(8n + 1))/2   (1 + √(8n - 7))/2    An
1      1            1            1
2      1.562          2            2
3      2            2.562          2
4      2.372          3            3
5      2.702          3.372          3
6      3            3.702          3
7      3.275          4            4
8      3.531          4.275          4
9      3.772          4.531          4
10      4            4.772          4
11      4.217          5            5
12      4.424          5.217          5
13      4.623          5.424          5
14      4.815          5.623          5
15      5            5.815          5
16      5.179          6            6

○2つ目の群数列
n   log(n + 1)/log2      log2n/log2       An
1      1            1            1
2      1.585          2            2
3      2            2.585          2
4      2.322          3            3
5      2.585          3.322          3
6      2.807          3.585          3
7      3            3.807          3
8      3.170          4            4
9      3.322          4.170          4
10      3.459          4.322          4
11      3.585          4.459          4
12      3.700          4.585          4
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14      3.907          4.807          4
15      4            4.907          4
16      4.087          5            5

切り上げの関数を用いれば,左側でも表せますね.

※再訂正
ANo.1の結果
  An = k = [k] = [1 + √(8n - 7)]
   訂正 ⇒ An = [(1 + √(8n - 7))/2]

※追加
Excelで確認してみました.第16項まで表示しています.
○1つ目の群数列
n  (-1 + √(8n + 1))/2   (1 + √(8n - 7))/2    An
1      1            1            1
2      1.562          2            2
3      2            2.562          2
4      2.372          3  ...続きを読む

Q水中の微粒子分布はポアソン分布になるのでしょうか?

「100mlの水に500個の微粒子を入れ、均一になるように良く撹拌してあります。ここから10mlすくい取ったとき、x個の微粒子が存在する確率を求めたい」という場合、ポアソン分布になっているのでしょうか。

100ml中に500個では微粒子数が多すぎてポアソン分布になっていないような気がするのですが、10^5μl中に500個あると考えるとポアソン分布でいいような気もします。

私は、ポアソン分布の確率関数
f(x)=e^(-λ)*λ^x/x!
において、
n:サンプル量(μl) p:微粒子濃度(個/μl) λ=np
とし、n=10^4、 p=5*10^(-3)、 λ=50 より

f(x)=e^(-50)*50^x/x!

と考えたのですが、合っているでしょうか?

容量の単位を変えると微粒子濃度が大きくなったり小さくなったり感じられ、ポアソン分布の適用基準がわかりません。

本などで調べたのですが類似の例がなく、良くわかりません。宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

これは正確には2項分布になると思います。1/10の体積を取り出すと定義すれば粒子の大きさも関係ないですし、それで含まれる誤差は実際の計算誤差よりは小さいのではないですかね。

粒子1個がすくい取られる確率が0.1ですので
n個すくわれる確率は
C[500,n]*0.1^n*0.9^(500-n)
期待値:0.1*500=50
分散:0.1*0.9*500=45

ただ、P≦0.1の2項分布はポアソン分布に近似することが可能ですので、そういう意味でポアソンでいいと思いますよ。(ぎりぎりですね。分散が1/0.9倍になってますね)

2項分布とポアソン分布の最大の違いは2項分布が0から500個までの確率を足せば1になり、500個を越えることはありえないのに対してポアソンは無限大まで足して1になり、ほとんど0ながら501個すくい出される確率も存在する点ではないでしょうか。品質管理などで欠点数の分布なら無限大まで可能性があるのでポアソンですが、今回の場合は500個止まりですね。だから2項分布だと思いますよ。

Q1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1

この数式を求める式を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1/2+(1/2)*(-1)^n
n=0,1,2,...


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