マクローリン(またはテイラー)展開の証明の方針が知りたいです。

実際に証明式を書いてくれると有り難いですが、面倒臭ければ、方針の箇条書きでも結構です。
出来るだけ早めによろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

大学1,2年次、一般書に書いてあるテイラー展開の証明が納得できず2年間証明を理解しないまま展開式(Σ記号のあるやつ)だけ暗記して使っていました。



別に展開の仕方だけ知ってれば困ることはありませんでしたが、収束判定とかを厳密に理解したことになりませんよね。

証明の方針は、δ-ε論法→ワイヤストラスの定理→ロルの定理(平均値の定理?)という具合でしょうか?(順番は違う書き方しているのも見受けられるが)
一般書は平均値の定理とかワイヤストラスを無条件でいきなり使っています(だから納得できない)が、私の場合結局δ-ε論法を理解していないと納得いきませんでした。

共立出版の数学ワンポイント双書シリーズに、テイラー展開だけで1冊になっている本があるから、読んでみるといいよ。私はこれで納得できた(つもりでいる)。

δ-ε論法を知らなかったらこのシリーズに1冊でデルタ・イプシロンだけが書かれているのがあるから読んでみるといいよ。
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Q√1+√2+√3+…+√nの漸近展開

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラフではさまれた面積と考えることで、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+…
となることはわかるのですが、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+α√n+…
とさらに精密にしたいとき、αがどういった定数になるのかわかりません。

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラ...続きを読む

Aベストアンサー

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k/n)) = (2/3) + O(1/n^2)
になります. ここで同じように両辺に n^(3/2) を掛けて左辺を整理すると
√1 + √2 + … + √(n-1) + (1/2)√n = (2/3)n^(3/2) + O(n^(-1/2))
となり, 両辺に (1/2)√n を加えることで
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2) + (1/2)n^(1/2)
まで持っていけます.
ああ, たぶん a が正なら自然数かどうかに関係なく
Σk^a = [1/(a+1)]n^(a+1) + (1/2)n^a + …
となると思いますよ.

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k...続きを読む

Qテイラー展開とマクローリン展開の語源に関する質問

テイラー展開はマクローリン展開の拡張であり、
マクローリン展開はテイラー展開のある制約のもとで成り立つ式です。
テイラー展開とマクローリン展開はどちらが先に生まれたのでしょうか?
なぜほとんど同じものである公式に全く別の人の名前がついているのでしょうか?

Aベストアンサー

追記:

件の教科書に引用されたマクローリンの論文には、
f(x) = Σ[n=0→∞] { (d/dt)^n f(t) [t=a] }/(n !)・(x-a)^n
という、いわゆるテイラー展開について書いてあり、
テイラーの教科書のほうは、それを
x = a + h で置換して、h の冪級数として扱っていた
そうなので、
「テイラー展開」と「マクローリン展開」の用語は、
歴史のどこかで入れ替わってしまったことになります。
歴史って、そんなものですが。

マクローリン、テイラーより以前に、テイラーの定理を証明した
例としては、ジェームズ・グレゴリが知られています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC
映画俳優ではないほうの人です。

Q漸近展開とテイラー展開

漸近展開とテイラー展開の違いを教えてください。

Aベストアンサー

直感的でよければ、参考URLのグラフを見るとわかります。

参考URL:http://homepage1.nifty.com/gfk/Zenkin_Tenkai.htm

Qテイラー展開とマクローリン展開の関係

テイラー展開とマクローリン展開の関係を簡単に教えてください。

Aベストアンサー

関数をベキ級数で
f(x) = Σ[n=0→∞] a[n]・x~n
と表すことを、マクローリン展開、
x-c のベキ級数で
f(x) =Σ[n=0→∞] b[n]・(x-c)~n
と表すことを、x=c を中心としたテイラー展開
といいます。

テイラーの有名な解析学の教科書には、
マクローリン展開のことが、
「マクローリン式の展開」として書かれており、
関数のベキ級数展開を普及させる
契機となりました。

しかし、
テイラーが参照したマクローリンの論文には、
今日言うところの、テイラー展開のことが
書いてあったのです。

名前が入れ替わってしまったことになります。
面白いですね。

Qe^(1/z)の漸近展開の求め方

独学中のものです。
f(z)~(a_0)+(a_1)/z+(a_2)/z^2+…+(a_n)/z^n …(1)
関数f(z)の漸近展開が(1)のとき、係数(a_0),(a_1),(a_2),…は次のようにして求められる。
『lim[|z|→∞]f(z)=a_0
lim[|z|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1
lim[|z|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2
 ………………………………………………
          (ただし z∈D )    』…(2)
このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。
たとえば|argz|<Π/2ならばRe(z)>0であって、そこでlim[|z|→∞]e^z=∞ である。これに注意して(2)を用いると、|z|>0, |argz|<Π/2 において、
e^(1/z)~1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+…  …(3)
e^(1/z)+e^(-z)~1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+… …(4)
すなわち、この二つの関数は同一の漸近展開を持っている。以上は教科書からの抜粋です。

(3)式の右辺第二項の係数(1/1!)や第三項の係数(1/2!)が(2)式の第2、第3式からどのような過程で求められるのか、わかりやすく教えて下さい。
分かり辛い書き方ですみませんが、宜しくお願いします。

独学中のものです。
f(z)~(a_0)+(a_1)/z+(a_2)/z^2+…+(a_n)/z^n …(1)
関数f(z)の漸近展開が(1)のとき、係数(a_0),(a_1),(a_2),…は次のようにして求められる。
『lim[|z|→∞]f(z)=a_0
lim[|z|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1
lim[|z|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2
 ………………………………………………
          (ただし z∈D )    』…(2)
このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。
たとえば|argz|...続きを読む

Aベストアンサー

|z| → ∞ ってことは, x = 1/z とおくと x → 0 ですね. そこから, 「e^x は何回微分しても e^x である」とか「L'Hospital の定理」とかを使えば
lim z [e^(1/z) - 1] = lim (e^x-1)/x = e^0 = 1 とか
lim z^2 [e^(1/z) - (1 + 1/z)] = lim (e^x - (1 + x))/x^2 = lim (e^x - 1) / (2x) = 1/2 とか
計算できます (z に対する lim は → ∞, x に対する lim は → 0 で).
もっとがんばれば Laurent 展開までいっちゃいますけど....

Q冪級数展開 マクローリン展開 テーラー展開

冪級数展開とはテーラー展開とマクローリン展開の総称だと思っていました。

知人によれば、冪級数展開はマクローリン展開と同じ意味でテーラー展開とは
違うと言っていました。

私は、マクローリン展開はテーラー展開のx=0つまり、原点中心の級数展開だから
どちらも同じように思っています。

冪級数展開とはマクローリン展開のことを指すのでしょうか?
テーラー展開のことは冪級数展開とは言わないのでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

逐語的に冪/級数/展開と考えると、テイラー展開を指すみたいですが、
実際に「冪級数展開」と呼ばれているのは、マクローリン展開です。
いくつか本を読んでみれば判りますよ。

Q漸近展開について

漸近展開をo(x^3)を用いて書き表せ.

(1+x^2)cosx

という問題なのですが,

cosxのx^3の項までの漸近展開を求め, 用いることで

(1 + x^2) cos(x)
= (1 + x^2) (1 - 1/2 x^2 + o(x^3)) --- (1)

となったのですが, この段階で止まっています...

[答え]としては, ここから更に

= 1 - 1/2 x^2 + o(x^3) + x^2 - 1/2 x^4 + o(x^5) となり,
= 1 + 1/2 x^2 + o(x^3) となっています

どのようにすれば (1) から[答え]の形になるのでしょうか.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

o(xのn乗) というのは、
f(x)/(xのn乗)→0 (質問の場合、x→0 のとき)
となる f(x) の総称です。
ですから、1・o(xの3乗) も o(xの3乗) になるし、
(xの2乗)・o(xの3乗) は o(xの5乗) になります。
f(x)/(xの3乗)→0 なら、
(xの2乗)f(x)/(xの5乗)→0 ですからね。
o(xの3乗)+o(xの5乗) が o(xの3乗) になることも
同様に示せるでしょう。

Qマクローリン展開・テーラー展開の話が載ってるHP

こんにちは☆理系の大学1年生です。
来週微積のテストがあるので友達と明日から数日間勉強会を開く予定なのですが、マクローリン・テーラー展開の辺りをやるときに、私は既にわかるのですが(高校の時やっていたので)友達の中には微積もこの間習ったばかりと言う子もいて上手に説明あげたいと思っています。私が目の前で解いて説明してあげればいいのですが、それだけでわかってくれるか不安なので参考にできるHP等あれば教えてください。
自分でも一応検索してみたのですがなかなか良いのが見つからなくて・・・私の検索の仕方が悪いのかも知れませんがm(_ _)m

Aベストアンサー

こんなサイトもありますが,いかがでしょうか。

・http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math00.html
 やさしい数学講座
 「第18章 展開、展開、大展開~~!!」

・http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/index.html
 解析学参考資料
 「Taylor 級数」

 ご参考まで。

参考URL:http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math00.html, http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/index.html

Q素因数分解の一意性?

素因数分解の一意性という定義はなぜ必要となるのでしょうか?

それと虚数を入れると素因数分解の一意性は守られないと思うのですが、これは良いのでしょうか?

なぜ一意性が必要なのかが分かりません。
どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

数論は、整数を扱うのですが、そこで言う「整数」とは、
「ガウス整数」や「代数的整数」などの場合もあり、
普通の整数「有理整数」だけとは限りません。
素因数分解の一意性は、有理整数の重要な性質(定理)
であり、有理整数に関する様々な定理が、これを使って
証明されます。

複素数が入った「整数」でも、「ガウス整数」ならば、
有理整数と同様、素因数分解は一意的です。
一意分解が成り立たない例としては、「クンマー整数」
が有名です。

参考:http://www.sist.ac.jp/cs/tanaka/INTEGER.html

Qマクローリン展開と不等式の証明

(1)関数e^(-x)にマクローリンの定理をあてはめた式を書け

(2)上を用いて、mを2以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/(2m)!
が成立する事を示せ。

(3)mを3以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/500
が成立する事を示せ。

という問題なのですが
(1)はΣ(n=0~∞)(-1)^n/(n!)*x^nと解けて

(2)は数学的帰納法で解こうとしてe^(-1)を(1)で求め
式にx=1を代入してn=5までの値で近似して
(i)m=2の時それぞれの値の差をとって成り立つことを
証明できたのですが
(ii)mの時 不等式は成り立つとして
m+1の時も成り立つので不等式は成り立つと
証明したかったのですが良く分からなくて解けませんでした。

(3)については(2)と同様に解こうとしたのですが
良く分からなくて解けませんでした。
アドバイスよろしくお願いします。

(1)関数e^(-x)にマクローリンの定理をあてはめた式を書け

(2)上を用いて、mを2以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/(2m)!
が成立する事を示せ。

(3)mを3以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/500
が成立する事を示せ。

という問題なのですが
(1)はΣ(n=0~∞)(-1)^n/(n!)*x^nと解けて

(2)は数学的帰納法で解こうとしてe^(-1)を(1)で求め
式にx=1を代入してn=5までの値で近似して
(i)m=2の時それぞれの値の差をとって成り...続きを読む

Aベストアンサー

#1さんの答ですべて尽くしていると思いますが、念のため。
マクローリンの定理では
(1)の答は仰るような無限級数ではなく、有限数列の和になります。
従ってe(-x)=Σ(k=0~n-1)(-1)^k/(k!):x^k+e^(-θn)/(-x)^n
ただし0<θ<1、となります。
ただ、これも、無限級数の方もどちらもマクローリン展開と呼ぶ場合があるようで、マクローリン展開して云々、と言う問題だとそういう混乱も生じたでしょうが、マクローリンの定理には無限級数はありませんからね。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/040ksk.html


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