F=∫(-∞~∞)dx・f(x)・δ(g(x))
はg(x)が1次多項式のときにはどうなるか分かりますがg(x)が一般の関数のときにはどうなるか分かりません
多分定義次第だと思いますがどうなるのか教えてください

(1)
F=∫(-∞~∞)dx・f(x)・δ((x-α)・(x-β)) (α≠β)
は求まるのですか?
それは
F=(f(α)+f(β))/|β-α|ですか?
でなければ何ですか?
そもそも定義できるのですか?

(2)
F=∫(-∞~∞)dx・x^α・δ(x^β) (αとβは実数)
は求まるのですか?
求まるため定義できるためのαとβの条件は何ですか?
置換積分していいものですか?
求まるときにはFはどのようになるますか?

(3)
F=∫(-∞~∞)dx・f(x)・δ(g(x))
は求まるのですか?
求まるため定義できるためのf(x)とg(x)の条件は何ですか?
置換積分していいものですか?
求まるときにはFはどのようになるますか?

(1),(2),(3)のどれでもいいので教えてください
お願いします

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A 回答 (3件)

No.1の補足についてです。



1番目のは、δ(1/x)ってのがxが有限である限り0です。こいつはもやもやしますよね。
x=1/t
dx/dt = -(t^(-2))
とおいてみますと
F=∫t^(-m-2) δ(t) dt (t=-∞~∞)
ですからm≦-2の場合はF=0。
mが偶数でm>-2ですと超関数としてt^(-m-2)を扱う。これはt=0で普通の関数とは解釈できなくなり、-∞という値を取る。だからF=-∞です。
mが奇数でm>-2ですと、こいつは奇の超関数として扱うことができ、F=0。

2番目。
αが負の整数の場合はどうも具合が悪い。というのも超関数として1/(|x|^m)(m=1,2,...)を扱ってもなお、「δ関数の(m-1)階微分のC倍(Cは不定の定数)」という項を残した形、すなわち超関数の集合を表すものとしてしか解釈できないからです。
でも、それ以外の場合は怖くない気がします。
δ(x^2) = if |x^2|<ε then 1/(2ε) else 0
= if |x|<√ε then 1/(2ε) else 0
ですから
α=0であれば
F= 1/(2ε)∫ dx (x=-√ε~√ε)
= 1/√ε
だからε→0のときF=∞
α<0の時には、x=0において|x|^αは普通の関数とは解釈できなくなり、強いて言えば-∞の値を取るもんですから、Fも-∞に発散ですね。
0<αであれば
F= ∫(|x|^α)/(2ε) dx (x=-√ε~√ε)
= (1/ε) ∫(x^α) dx (x=0~√ε)
F= (ε^((α-1)/2)/(α+1)
となる。
α=1の場合、ε→0のときF=1/2
α>1であればε→0のときF=0
0<α<1であればε→0のときF=∞
となります。

勿論、δ関数をガウス関数の極限で定義しても同じ結論になるでしょう。でも、δ関数を細高い矩形関数で代用すると、積分範囲が必ずしも-∞~∞でなくても良くなる。それで扱いが楽です。

全然明解な説明になってませんで、すいません。超関数の「特異点」に色んなものを持ち込むのは結構怖いので、stomachmanは出来るだけ避けて通ってます。ですから自信なし、です。

この回答への補足

1番目の-m-2=0のときもF=1にならずにF=0なのですか?
-m-2<0でmが奇数のときF=0というのはちょっと勇気がいりますね
置換積分をしたとき0が分断されることが気になります

2番目はεでやっているので具体的で納得できそうですね
δ(x^2)の中が0から∞になっているのが少し気になりますが
α≠0でα<1のときはとにかく±∞か無意味かのどちらかなのは多分はっきりしてると思いますね

確率密度関数のとき出てきそうなので質問したのですが
どうもありがとうございました

補足日時:2002/02/11 16:23
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No.2の補足についてです。



> 1番目の-m-2=0のときもF=1にならずにF=0なのですか?

ここんところは仰るとおりF=1ですね。間違えました。

 mが奇数でm>-2の場合には奇関数の対称性があるから、0で分断されちゃうのを気にしないで0で良いと思いますよ。分断されちゃう範囲を正の無限小ξで表して、これがεとは無関係に決まると考えてみては如何?どの場合でも0になるでしょう。
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この回答へのお礼

すこしもやもやが残りながらももう少し考えれば
何となく納得できるかもしれません

どうもありがとうございました

お礼日時:2002/02/13 06:43

まず(3)


もしgが1:1対応、つまりg(x)の逆関数が存在するなら、xからgへの置換積分をすれば良い。そうは行かない場合に、δ関数を
δ(x) = if |x|<ε then 1/(2ε) else 0
と考えて、ε→0の極限を取って積分が収束するのなら問題なく扱えます。
F=∫ f(x)δ(g(x))dx (x=-∞~∞)
= lim(ε→0) ∫ f(x)(if |g(x)|<ε then 1/(2ε) else 0)dx (x=-∞~∞)
 g(x)=0の解をα1, α2, ...., αnとして、gが解の近傍で微分可能で微係数≠0であれば、
x≒αk のとき、g(x) = g'(αk)(x-αk)
ですから、
x≒αk のとき、δ(g(x)) = δ(g'(αk)(x-αk))=(1/g'(αk))δ(x-αk)
と扱えます。ゆえに
F=Σf(αk)/g'(αk) (k=1,2,...,n)
となる。
g(x)=0の解においてg'(x)=0になる時(いわゆる重解の時)には、f(x)がその解に於いて0でない限りは発散してしまいます。

(2)
f(x)=x^α(αは非整数)は、x<0のときにどうなるかはっきりしません。|x|^αだったら扱えます。
g(x)を変数変換したければ1:1対応になるようにさらにいじくっておかねばならず、|x|^βではなしに
g(x)=sgn(x)(|x|^β)
を考える必要がある。つまり
F = ∫(|x|^α)δ(sgn(x)(|x|^β)) dx
というのなら検討できそうです。

この回答への補足

欲張ったために話が発散してしまいました
どうも失礼しました
知りたかったのは

F=∫(-∞~∞)dx・x^m・δ(1/x) (m:整数)
F=∫(-∞~∞)dx・|x|^α・δ(x^2) (α:実数)

が意味を持つm,αとそのときの値でした
εでやっても置換積分でやってもなにかもやもやが残るような気がします
もしよろしかったら明快な説明をお願いします

補足日時:2002/02/09 05:48
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Qデルタ関数のフーリエ変換

デルタ関数をフーリエ変換するプログラムを作成したいと思っています。

フーリエ変換自体のプログラムは出来上がりました。(いくつかの計算例で確認しました。)

そこで質問ですが、デルタ関数はどのように入力すれば良いのでしょうか?

F( 1 )=大きな数字、
F( 2 以降) =0
でしょうか?

デルタ関数をフーリエ変換すると、『1』になるのを確認したいと思っています。

プログラム言語は『Fortran』を使用しています。
以上、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

本物のデルタ関数は入力できません。
巾と高さの積が1になる擬似デルタ関数をいろいろ作って
変換してみるのがおもしろいと思いますよ。
擬似デルタ関数と離散フーリエ変換では予想と違うものが
計算されると思います。

Qlim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxが示せません

宜しくお願いいたしました。

[問]各n∈Nに対し,f_n(x)=nx/(1+nx),x∈[0,1]とする。
数列{f_n}は[0,1]で積分可能関数fには各点収束するが一様収束しない事を示せ。
そしてlim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxとなる事を示せ。

で「lim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxとなる」が示せずに困っています。

f(x)=
1/e (x=1の時)
1 (0<x<1の時)
0 (x=0の時)

と積分可能関数fが求めました。

でも
0<x<1の時
lim[n→∞]∫[0~1](f(x)-f_n(x))
=lim[n→∞]∫[0~1](1-nx/(1+nx))dx
=lim[n→∞]∫[0~1](1/(1+nx))dx
=lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0
=lim[n→∞](-n/(1+n^2)+n)

となり0になりません。何か勘違いしておりますでしょうか?

Aベストアンサー

> lim[n→∞]∫[0~1](f(x)-f_n(x))
> ・・・
> =lim[n→∞]∫[0~1](1/(1+nx))dx
> =lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0

∫[0~1](1/(1+nx))dx = [-n/(1+nx)^2]^1_0 ですか?勘違いでしょう。
(1/n) log(1+nx)

Qデルタ関数に関する質問です:

最近ネット上と講義中によく
「デルタ関数」が見えます。
1. デルタ関数はどのような関数ですか。
2. どう使用しますか。

何卒、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

 δ(デルタ)関数は最初、電気工学から理論物理学の門を叩いた物理学者ディラックが導入しました。

 例えば電磁気学の多くの式は、電荷密度の分布という概念に支えられています。電荷の元は電子で、それはもちろん密度ではありません。しかし目に見える物体は滅茶苦茶に沢山の電子を含んでいるので、体積当たりの電荷密度という考えを使っても、非常に良い近似が可能です。

 (密度でない)点電荷に対するクーロンの法則はご存知と思うのですが、帯電した物体から生じる電場を計算するには、物体内の全ての電子に対してクーロンの法則を適用し、電子の数だけ足す必要があります。このとき個々の電子を扱うのではなく電荷密度の概念を用いると、計算の見通しが非常に良くなります。

 それで電磁気学の基本式は、電荷密度の概念に基づいて定式化されました。ところが個々の電子(密度でない電荷そのもの)を扱う必要も、やっぱりあるのですよ。しかし電子のような「点電荷」は電荷密度の概念上では、体積0に0でない電荷量が集中したものなので、点電荷の電荷密度は無限大になって、電磁気学の基本式の適用がかなり面倒になります。

 δ関数導入以前にはこういう場合、点電荷である電子の位置はとりあえず除外し、基本式から必要な解を求めていました。でも解の原因である電子を考慮に入れていないので、この解には不定性(曖昧さ)がありました。

 不定性(曖昧さ)を除くためには、電子の位置まで解を延長し、うまく電子の点電荷量と辻褄が合うように「接続条件」を定める必要がありました。


 ディラックは上記のような計算において、点電荷の無限大密度をもし仮に使用したら、無限大密度は常に積分の中にしか現れない事に気づきます。電子の電荷量はふつうeで表されるので、それを体積0で割った密度e/0を、e/0=δ(s)(無限大)と書く事にします。sは電荷eを持つ電子の位置です。
※本当は、こんな計算はやっちゃいけなんのですけどね(^^)。

 実際に考えてみると意外な事に、δ(s)の積分に関して、

  ∫δ(s)dV=e,sは積分領域Vの内部にある   (1)

などは明らかです。ここで∫δ(s)dV=eの意味は、体積Vの中に電子が1個しかなかった時、その体積内の全部の電荷密度を合計したみたら、それは電子の電荷eに等しくなったという式です。当然ですよね?。それしかないのだから。

 同様に、

  ∫δ(s)dV=0,sは積分領域Vの外部にある   (2)

も当然です。体積Vの中は空なのだから。

 ただし(1)(2)より体積Vとして、電子の位置sを含むいかに小さな体積を取っても、(1)が成り立ちます。おおざっぱに言えば、位置sのみ含む大きさ0で体積でも、(1)が成り立ちます。その意味でδ関数の積分は異常ですが、非常に明解です。


 数学的には∫δ(s)dV=eではなく、

  ∫δ(s)dV=1,sは積分領域Vの内部にある   (1’)

の方が便利です。このとき(1)は、

  ∫eδ(s)dV=e∫δ(s)dV=e,sは積分領域Vの内部にある

と書けば良い事になります。


 ディラックはまさに(1’)と(2)を、そのまま理論物理の中に持ち込みました。しかし持ち込んでも何の役にも立たたなければ(1’)と(2)は、「無限大を強引に積分してみせただけ」の数学的には破綻している、取り扱い危険物にしか過ぎません。

 そうではなかったのは、(数学的根拠はないが)(1’)と(2)さえ認めれば、

  ∫f(x)・δ(s)dV=f(s),sは積分領域Vの内部にある   (3)

の数学的証明は、けっこう簡単だったからです。

 (3)がなぜ重要かというと、先に述べた「接続条件の結果」というのが、(3)の右辺そのものだったからです。みんな「接続条件の計算」に(3)のような単純さを望んでいたのに(意味を考えると、当然そうなると思えるのに)、誰も上手く定式化できませんでした。なのでδ関数は、かなり急速に受け入れられました。だって便利なんだもの・・・(^^;)。


 とは言え正しい結果を出すのなら、それを正当化する必要があります。それをやったのがシュワルツの超関数理論です。それを(改良?)したのが、佐藤超関数です。


 δ関数は今では、電磁気学や量子力学などの理論物理の世界だけのものではありません。土木工学の分野にだって浸透しています。

 点電荷を1点に集中した無限大の電荷密度と考えるように、1点に集中した構造物に作用する外力を土木工学では、無限大の荷重密度とみなし、集中荷重と呼びます。土木工学の基本式の多くは、荷重密度を基本としているからです。


 で、δ関数との実際上の付き合い方なのですが、以上の経緯から明らかなようにδ関数は、実用的に使うためにこそ導入されました。

 なのでシュワルツの超関数を知らなくても、(1’)と(2)と(3)さえ押さえておけば、実用的には十分だったりします・・・(^^;)。

 δ(デルタ)関数は最初、電気工学から理論物理学の門を叩いた物理学者ディラックが導入しました。

 例えば電磁気学の多くの式は、電荷密度の分布という概念に支えられています。電荷の元は電子で、それはもちろん密度ではありません。しかし目に見える物体は滅茶苦茶に沢山の電子を含んでいるので、体積当たりの電荷密度という考えを使っても、非常に良い近似が可能です。

 (密度でない)点電荷に対するクーロンの法則はご存知と思うのですが、帯電した物体から生じる電場を計算するには、物体内の全ての電...続きを読む

Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

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Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む

Qデルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?

デルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はt=0の時、∞になり
      t≠0の時、0である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故1になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか?

Aベストアンサー

実は0になるとはいえないのです

δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です

Q∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dxという定積分の性質の証明について

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の場合は容易ですが、α≦0のときにはsup(-f(x))=-inff(x)であることを示してからひとつの補題を証明し、その後に上の証明に取り掛かっています。これによると、この定理は、どうも「容易なので省略する」とはいえないような気がします。

そこでお尋ねですが、
1 αの場合分けをしないなどして、定積分の定義から容易に、それこそ2,3行ぐらいで証明する手法はありますか?
(ただし、f(x)が連続関数であるときの定理∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)(F(x)はf(x)の原始関数)というルートは使わないものとします。)

2 もし、容易でないにもかかわらず証明を省略する場合は紙数の都合によるのでしょうか?

3 初学者には容易ではないのに、著者がそう判断してしまっているということはありえますか?

以上、よろしくお願いいたします。

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の...続きを読む

Aベストアンサー

細かい議論までは、追っていませんが、リーマン積分の定義が分かっていれば、「自明」じゃないですかね。
リーマン積分というのは、上積分の下限と下積分の上限が一致する時に、この値を∫(a,b)f(x)dxのように書くという感じで定義されてましたよね。(ちゃんとした定義は教科書を見てください)

∫(a,b)αf(x)dxというものを考えたとしても、上限や下限の値がα倍されるだけですので、両者が一致する事に代わりはないし、値自体もα倍される、つまり、α∫(a,b)f(x)dxに等しくなりますよね。(αが負の場合には、負の数を掛けたのだから上限と下限がひっくり返る、みたいな微妙な違いはありますが、何かが大きく変わる訳ではない)

QDIRACのデルタ関数

DIRACのデルタ関数について教えてください.

Aベストアンサー

ディラックのデルタ関数をxの関数として
δ(x)
と表すとします.
このときδ(x)は
x=0のみ(正確には限りなく幅が0に近い0の近傍)で0以外の値を取り,
そのほかの部分ではδ(x)=0
となるような関数です.
そして,0でδ(x)が取る値はとても大きく,0を含む範囲で積分をすれば,
幅が限りなく0に近いにもかかわらず,その積分値が1となります.

Q「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」

「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,
∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」
の真偽判定問題です。

偽となる反例として
f(x)が底辺が1/n^2の二等辺三角形の側辺を辿るような
ジグザクの折れ線のグラフ(この時lim[x→∞]f(x)は振動)なら
全二等辺三角形の総和はΣ[n=1..∞]1/2n^2で収束と思ったのですがこれはx>0で正値をとる事に
反してしまいます。
やはり,この命題は真となるのでしょうか?

Aベストアンサー

過去に同じ質問がありました。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3653990.html

Qデルタ関数

ディラックのデルタ関数に以下の関係式があると参考書に載っていました。
δ(ax) = δ(x)/a (where a>0)

上記の関係式ですが、成り立つxの範囲に制限はあるのでしょうか?

どうもイメージ的にデルタ関数は0付近で急激にあがり、上記の式が成り立たないのではないかと思ってしまっています。

Aベストアンサー

(★)δ(ax)=δ(x)/a

はx≠0では両辺とも0で明らかに成り立ちます.問題は原点付近です.理想的なδ関数の場合は∞になる点が原点に集中してしまうのでよくわかりにくいと思います.

そこで近似的δ関数で考えましょう.すなわちε>0をとり,底辺ε,高さ1/εの長方形のグラフをあらわす関数をδ_ε(x)とします.すなわち

(1)δ_ε(x)={θ(x)-θ(x-ε)}/ε

ここにθ(x)はヘビサイド関数

θ(x)=1(x>0),0(x<0)

です.ε→+0とすればδ_ε(x)はδ(x)になります.

a>0として

δ_ε(ax)={θ(ax)-θ(ax-ε)}/ε

={θ(ax)-θ(a(x-ε/a))}/ε

a>0なので

θ(ax)=1(x>0),0(x<0)

すなわちθ(ax)=θ(x)であり,

(2)δ_ε(ax)={θ(x)-θ(x-ε/a)}/ε

=(1/a){θ(x)-θ(x-ε/a)}/(ε/a)

(1)でεをε/aに置き換えると

(☆)δ_ε(ax)=(1/a)δ_{ε/a}(x)

右辺からδ_ε(ax)は0~ε/aに面積1/aが集中していることがわかります.つまり,δ_ε(x)に比べてδ_ε(ax)はピークの幅が1/aになりその結果ピークの面積も1/aになります.(横に圧縮)

実はこれは一般に言えることです.f(x)のグラフに山があってその広がりが⊿,高さがhならば,f(ax)の場合その山の幅は⊿/aで高さは変わりません.したがってf(x)の山の面積S≒h⊿/2,f(ax)の山の面積(1/2)h⊿/a=S/aになります.

☆においてε→+0とすると,★となります.

理想的なδ関数になると,ピーク幅は0になってしまうので(☆)のような解釈はできず,xの範囲に制限はなくいつでも成り立つしか言いようがありません.

δ関数を例えば電気回路のインパルスのモデルとして実用的に使うときなどは,パラメータεなどを用いた(1)のような式で解釈すると結構その振る舞いを納得できることが多いです.

(★)δ(ax)=δ(x)/a

はx≠0では両辺とも0で明らかに成り立ちます.問題は原点付近です.理想的なδ関数の場合は∞になる点が原点に集中してしまうのでよくわかりにくいと思います.

そこで近似的δ関数で考えましょう.すなわちε>0をとり,底辺ε,高さ1/εの長方形のグラフをあらわす関数をδ_ε(x)とします.すなわち

(1)δ_ε(x)={θ(x)-θ(x-ε)}/ε

ここにθ(x)はヘビサイド関数

θ(x)=1(x>0),0(x<0)

です.ε→+0とすればδ_ε(x)はδ(x)になります.

a>0として

δ_ε(ax)={θ(ax)-θ(ax-ε)}/ε

={θ(ax)-θ(a(x-ε/a))}/ε

a>0な...続きを読む

Q∫dx√{(x-α)(β-x)} (α<β)

α<βとする。

∫dx√{(x-α)(β-x)}
=2arctan√{(x-α)/(β-x)} +C
=arcsin{(2x-(α+β))/(β-α)} + C +π/2

と書いてあったのですが、どのように示せばよいのでしょうか。
積分の結果の形が2通りあることも不思議です。

Aベストアンサー

∫{1/√(x-α)(β-x)}dx でないと,このような答えにならないと思いますが?

前の式を変形して,後ろの式に変形したというより,別個に答えを出したのだと思います。

後ろの式は,(x-α)(β-x)={(β-α)/2}^2 -{x-(α+β)/2}^2 と変形し,
∫{1/√(a^2 -x^2)}dx=arcsin (x/a) の公式を使えば,よいでしょう。

使う技法によって,違った形式の答えが出ることはよくあります。


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