次の問題の解き方を教えてください。
lim(x→0) Xsin(1/X)
lim(x→0)1/Xsin(X)
lim(x→0)X^2/3
宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

(1)lim(x→0)Xsin(1/X)


x≠0のときにつねに|sin(1/x)|≦1であるから
  |sin(1/x)|≦|x|→0(x→0)
∴lim(x→0)Xsin(1/X)=0
(2)lim(X→0)1/Xsin(X)
(1/2)sinX<(1/2)X<(1/2)tanXが成り立ちます。(三角形を書いたら分かります)
この各辺を(1/2)sinXで割ると
1<X/sinX<1/cosX
となり、その逆数をとると
1>sinX/X>cosX
これをx→0とするとcosx→0なのではさまれているので
∴ lim(X→0)(sinX/X=1/Xsin(X))→0となります。
(3)lim(x→0)X^2/3
X^2/3=X*√Xだから
∴ lim(x→0)X^2/3=0
どうでしょう。
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ヒントだけ書きます。


「…」以下については簡単だと思いますので自分で考えてみてください。

(1)lim(x→0) Xsin(1/X)
x≠0のとき、-1≦sin(1/x)≦1ですから、-|x|≦x*sin(1/x)≦|x|となります。
x→0のとき、-|x|も|x|も…

(2)lim(x→0)1/Xsin(X)
1/Xsin(X)とは1/{x*sin(x)}と考えてよろしいんでしょうか?
x≠0のとき、-1≦sin(x)≦1ですから、-|x|≦x*sin(x)≦|x|となります。
したがって、1/{x*sin(x)}≦-|x|、または、|x|≦1/{x*sin(x)}、となり…

(3)lim(x→0)X^2/3
x^(2/3)={x^(1/3)}^2ですし、x→0のとき、x^(1/3)=(xの立方根)→0です。
これらをあわせると…
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e:=lim[h→0](1+h)^(1/h)
ですが
これに対して
lim[h→∞](1+h)^(1/h)

lim[h→∞](1+1/h)^h

lim[h→0](1+1/h)^h
の極限はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

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Aベストアンサー

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lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
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どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む


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