次の問題の解き方を教えてください。
lim(x→0) Xsin(1/X)
lim(x→0)1/Xsin(X)
lim(x→0)X^2/3
宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

(1)lim(x→0)Xsin(1/X)


x≠0のときにつねに|sin(1/x)|≦1であるから
  |sin(1/x)|≦|x|→0(x→0)
∴lim(x→0)Xsin(1/X)=0
(2)lim(X→0)1/Xsin(X)
(1/2)sinX<(1/2)X<(1/2)tanXが成り立ちます。(三角形を書いたら分かります)
この各辺を(1/2)sinXで割ると
1<X/sinX<1/cosX
となり、その逆数をとると
1>sinX/X>cosX
これをx→0とするとcosx→0なのではさまれているので
∴ lim(X→0)(sinX/X=1/Xsin(X))→0となります。
(3)lim(x→0)X^2/3
X^2/3=X*√Xだから
∴ lim(x→0)X^2/3=0
どうでしょう。
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ヒントだけ書きます。


「…」以下については簡単だと思いますので自分で考えてみてください。

(1)lim(x→0) Xsin(1/X)
x≠0のとき、-1≦sin(1/x)≦1ですから、-|x|≦x*sin(1/x)≦|x|となります。
x→0のとき、-|x|も|x|も…

(2)lim(x→0)1/Xsin(X)
1/Xsin(X)とは1/{x*sin(x)}と考えてよろしいんでしょうか?
x≠0のとき、-1≦sin(x)≦1ですから、-|x|≦x*sin(x)≦|x|となります。
したがって、1/{x*sin(x)}≦-|x|、または、|x|≦1/{x*sin(x)}、となり…

(3)lim(x→0)X^2/3
x^(2/3)={x^(1/3)}^2ですし、x→0のとき、x^(1/3)=(xの立方根)→0です。
これらをあわせると…
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