光リソグラフィーの勉強をしているものです。

よくみるレーリーの式

最小解像度
R=k1*λ/NA

焦点深度(DOF)
DOF=k2*λ/(NA)2乗

は、どうやって求められたのでしょうか?
なぜ、短波長の光源を使えば最小解像度が小さくなるのですか?

詳しい方、教えていただけませんか?

A 回答 (2件)

自分が専門家に該当するかどうかわかりかねていますが、わかる範囲でお答えします。



まず、k1,k2はプロセスファクタと呼ばれる物で、光学の計算から求められた物ではありません。これはレジスト材料の種類、その他etcの条件変わる数値です。
元々の光学から求められた、RとDOFの式にあとで追加した物だと考えて下さい。

それ以外の光学部分の式は、キルヒホッフの回折理論がベースになっています。
この回折理論からフーリエ光学(別名スカラー理論とも言います)という美しい体系が生まれました。

最小解像度の式は、円形開口がある時の非常に遠方での回折像(これをフランフォーファ回折といいます)の導出によって得られます。
「非常に遠方」は丁度開口の後にレンズをおいて結像させたときの像に一致します。
焦点では丁度波面は光軸に対して垂直でかつサイズは最小となります。
元になる式は、像の振幅分布をU(x,y)とすると、
U(x,y)=C×[exp{-ik(ax+by)}]のda,dbの二重積分、範囲a^2+b^2<=NA^2
で表され、これを解くと(途中極座標変換などします)ベッセル関数Jで表される答えを導き出すことが出来ます。
強度分布はI(w)=U(w) :ここでwは中心からの半径
になります。この式で第一エアりーディスク(中心から進んで光強度が初めに0になる円)の半径までを解像度の大きさとします。

次に、焦点深度の方は、デフォーカスしたときの波面がλ/4になるまでの距離で求められます。

いずれにしても結構計算があって、ちょっと説明しきれないので、詳しくはフーリエ光学の本を見て下さい。
応用物理学会の日本光学会で発行している「光学」という学会誌の1992/5月号より12月号まで、
「フレッシュマンのための現代光学」
という題名でわかりやすく解説されていますから、参照されると良いでしょう。

なお、なぜ短波長の光源が最小解像度が小さくなるのかというご質問ですが、

基本的に光は波であるため、絶えず広がろうとする性質があります。しかも集めれば集めるほど広がろうとする力が増加します。
そのため、レンズで一生懸命絞ろうとしても、限界があるわけです。
ところが波長が0の光を考えると、もはや波ではなくなります。(波長が0ということは波にはなりえませんよね?)
そうすると、波の性質は無くなるので、一点に光を集めることが出来ます。
現実にはそんな波は無限大のエネルギが必要になりますので作ることは出来ませんが、概念的にはそうなります。
近似的にこれを扱うのが「幾何光学」と呼ばれるものです。
故に、波長が短くなるほどこの粒子的な性質が波としての性質よりどんどん強くなるので、同じNAだと単純により絞り込むことが出来るようになります。

NAが大きいと小さく絞り込めるのは、光が広がる前に強い力で集めようと言う意味だと思って下さい。

この先、多分変形照明など色んなケースを学ばれるでしょうから、フーリエ光学の基礎は勉強された方がよいと思います。

では。
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回答こないですねえ。


レーリーの式というのは多分、アッベの回折理論あたりから簡単に出てくるような気が..... 資料探さねばきちんとしたことが言えませんが、たしか... 解像度を云々する以上、物体は縞しまのもの、つまり回折格子であるとして良く、散乱光と回折光の干渉でどうしたこうしたでした。うわ、いい加減。

しかし、「なぜ、短波長の光源を使えば最小解像度が小さくなるの」か、もっと正確には「なんで最小解像度は波長に比例するのか」という話なら、「哲学的考察」あるいは次元解析で即解決ですよ。

(1) ある光学系Aが、r の解像度、d の焦点深度を持っているとします。このシステムAを完全に相似的に、サイズを1/10に縮小すると、その解像度、焦点深度はどうなるでしょうか。
 単なる相似ですから、答は1/10。r/10 の解像度、d/10の焦点深度 と出る訳です。このとき、注意すべき事は:システムAで使っている光もサイズが1/10に縮小されていなくてはならない。つまり10倍短い波長を使っているわけですね。(正確には、もしAに動く部分があるのなら時間も1/10にすべきです。)
(2) 光学系Aが理想的であって、限界の性能に達しているとするならば、その限界を決めているのは光の波長である(これはご納得戴けると思いますが)。だとすれば、Aに比べて1/10の波長を使う、同じように理想的な光学系Bを作ったときの限界性能は、(1)に出てきた「Aを(波長も含めて)1/10に縮小したもの」と何ら変わる筈がありません。
 従って、最小解像度が波長に比例しなかったら、それこそびっくりですよ。

なお、「同じ光学系Aにおいて、波長を1/10にしたのに解像度が波長に比例しない」とすれば、それは光学系Aが短い波長では精度不足だ、ということに過ぎません。
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この回答へのお礼

お礼がおくれてしまいましたが、ありがとうございました。
単なる相似である、という考え方は直感的に理解しやすいです。

お礼日時:2000/12/28 05:52

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Qgroovy は今でも使用されていますか

groovy という単語は、(レコードの)「溝」から来たそうですね。Simon & Garfunkel の歌にも Feeling Groovy という副題の歌がありました。また、名詞groove も、What a groove! などと使えるようですが、この groovy という単語、今でも英語圏で頻用されているのでしょうか。
私は93年にオクラホマの高校で教育実習生としていましたが、現地の高校生は Cool としか言わなかったように思うのですが、最近の事情をご存じの方、お教え下さい。

また、このように、使用頻度を確認できるコーパスのようなサイトがありましたらご紹介下さい。

Aベストアンサー

Gです。

もし子供に'Dad, you lived in a groovy era"と言われたら、groovyは時代に生きたではなく、恐竜の時代に生きていたんだよ!古い、古い!、と言われているんですね。

ですから、あの時代(35年前)を笑うコメディーで使われたりはしますが、日本語の最近死語と言われるようになった単語と同じレベルだと思ってください。

意味が分かる程度では、使われるとはいえないと思いますよ。 ま、意味がわからない20代の人入るかもしれませんね。知ってても、「吾が輩は」を知っているけど、使わない、と同じですね。

なお、私も、Groovyと言われていた時には生きていましたよ。 <g>

QR(λ),G(λ),B(λ) =?

 波長λの光が持つ色彩を,パソコンのディスプレイ上で再現したいと思っております。R 値,G 値,B 値の波長の関数,すなわち R(λ),G(λ),B(λ) の式(多少大雑把でも構いません)をご存知の方がおられましたら,是非教えていただきたいと思います。

 よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

興味があったので検索してみました。
同色関数という名前がついているようですね。
(正確にはひとによって違うとおもいますが標準化されているようです。)

参考URL:http://www.cybernet.co.jp/maple/document/hiroba/iro/iro4.html

Qイオン式と組成式と分子式の違いについて質問です。 化学式とは〜式の総称だというのはわかるのですが、

イオン式と組成式と分子式の違いについて質問です。
化学式とは〜式の総称だというのはわかるのですが、
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Aベストアンサー

イオン式 イオンを表すときに用いる式 H+ (SO4)2- 等。

組成式 物質の元素構成について重点を置いて表す式、FeC3(セメンタイト、鉄と炭素の合金、分子として存在はしていない)、P2O5(五酸化二リン、実際の化合物の分子はP4O10)。

分子式 分子の元素構成を表す式、P2O5(五酸化二リン)の実際の化合物の本当の分子式はP4O10で十酸化四リン。

化学式の中でも、イオン式はイオンの電荷の状態を表す必要があるため組成式や分子式とは異なるが、
複雑な構造の分子のイオン状態を表そうとした場合、イオン式か分子式か組成式かの呼び方が曖昧になってきます。

組成式と分子式の違いも不明瞭ことがありますね、
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他に、分子の構造を表すことに重きを置いた構造式(数種有り)や、
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明確な区分が存在していない部分もある。
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化学の分野によって、特に、構造式、分子式、組成式と断らなくても通じてしまう部分がある。

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Q光(電磁波)のエネルギーはE=hc/λ=hν

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という飛び飛びの値をとりますが、振動数が1hz/s
の電磁波(波長はc)ならE=hですよね。

そんな光(電磁波)が検出可能か?は別として...

この場合「振幅」がどんなに大きくてもE=hですか?

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電磁波を波として観測した場合、
その振幅は「粒子1個分に相当する振幅の整数倍」という
トビトビの値をとることになります。

> その場合1粒子に波の性質があるといえるのでしょうか?

粒子一個だけ観測した場合は、粒子一個のエネルギーに相当する振幅の波になります。

そう考えると「粒子一個のエネルギー」は、完全に固定されたものになっており、
古典力学的には、決定論的に完全に粒子の振る舞いは記述できるはずなわけですが、

そういう状況でも、量子力学的には、粒子そのものが確率的な挙動を示すようになります。

Qイオン反応式・組成式の表記の仕方の違いについて

私は今高1で化学Iを勉強しています。

そのなかの組成式で持った疑問についてです。


化学反応式やイオン反応式や電離式では

化学反応式の例) 2H2O2→2H2O+O2

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組成式の例) 酸化ナトリウム Na^2O  ※ナトリウムイオン Na^+  酸化物イオン O^2-


化学反応式イオン反応式や電離式では化学式の係数がその式のもっとも簡単な整数比を表して

いますよね?

ですが組成式ではその式のもっとも簡単な整数比を表している所は元素記号の右下ですよね?


なぜ簡単な整数比を表しかたがそれぞれ違うのですか?

これはただの決まりなのでしょうか?
 

Aベストアンサー

イオン反応式や電離式は化学反応式の一種。
化学反応式というのは、
ある化学反応について、反応物や生成物を化学式で書いて矢印で結び、係数をつけてその反応する比をあらわしたもの。

組成式は化学式の一種。
カテゴリの違うものを比較しようとしても意味はないですね。

Qcal/mol*℃→J/g*Kの換算

二酸化ケイ素の比熱(J/g*K)が知りたいのですが、
検索したところ(cal/mol*℃)の単位のものが見つかりました

こちら
http://www.ceres.dti.ne.jp/~itocha/elements/Si.html

そこで単位の換算について質問です。

calからJに直すのは4.19倍ですよね?
分母のmolをgに直すのは分母を28.0855で割る、
=分詞に28.0855かければいいですか?
℃からKに換算するのは何をすればいいですか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>>>
calからJに直すのは4.19倍ですよね?

はい。


>>>
分母のmolをgに直すのは分母を28.0855で割る、
=分詞に28.0855かければいいですか?

ん?
ご質問文の冒頭によれば、ケイ素ではなく、二酸化ケイ素なのでは?
だから、28+16×2=60 なのでは?


>>>
℃からKに換算するのは何をすればいいですか?

なんにもしなくてよいです。


こういうふうに考えると、間違いにくいです。
・1cal=4.2J なので、1=4.2J/cal
・分子量60 とは、 60g/mol のこと

換算前の比熱[cal/(mol・K)]を[J/(g・K)]に換算するには、
・cal を消去してJにするために、4.2J/calを掛け算
・分母でmolを消去してgにするために、分母に60g/molを掛け算

要は、次元解析(=単位のつじつまあわせ)の考え方をするとよい、ということです。

Q示性式について

組成式がCH2O
分子式がC2H4O2
となった物質がありました。
その物質はカルボキシル基を持っていたそうなので、
-COOOを組成式と分子式に足した結果、
組成式が方が-CH2OCOOOと
分子式の方が-C2H4O2COOO
という示性式が出来上がったのですが答えは
CH3COOO
となっていました。

示性式とはどの式にカルボキシル基を足すものなのでしょうか?
それとなぜ組成式と分子式に足す場合に元のOが消えている気がするのですがなぜでしょう?
組成式、分子式、示性式CとHとOはどの順番に並べてもいいものなのでしょうか?

ご回答の方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず、カルボキシル基は-COOHです。-COOOではありません。
そして、組成式というのは原子の個数の比率しか表しておらず、実際の構造を考える直接のヒントにはなりません。
分子式がC2H4O2ということですので、この物質は炭素原子2個、水素原子4個、酸素原子2個でできています。
「○○基を持つ」とは、分子を構成する原子がどのように結合していたかのことです(これは日本語力の問題)。
C2H4O2にさらに-COOHがつくのではなく、C2H4O2のうち一部の原子のつながりが特定できたと言うことです。
よって、C1個とH3個は未確定ですが、-COOHだけは確定です。
このあと-COOHの左につながる原子を考えるのですが、
HをつなげてしまうとH-COOHで完結してしまい、分子式C2H4O2になりませんからこれは違います。
ということでCをつなげます。C-COOHとなり、Cの残った結合の手にさらに3つ水素が結合できますから
CH3COOH、分子式にしてC2H4O2となって題意を満たします。

高校化学の構造解析は所詮パズルです。楽しみましょう。

組成式、分子式はC,H,Oの順に書くのが慣例で、
示性式は特定の官能基を目立たせて書く物ですから、その官能基がわかるように書かねばなりません。
官能基がわかれば性質がわかる、だから示性式と言います。

まず、カルボキシル基は-COOHです。-COOOではありません。
そして、組成式というのは原子の個数の比率しか表しておらず、実際の構造を考える直接のヒントにはなりません。
分子式がC2H4O2ということですので、この物質は炭素原子2個、水素原子4個、酸素原子2個でできています。
「○○基を持つ」とは、分子を構成する原子がどのように結合していたかのことです(これは日本語力の問題)。
C2H4O2にさらに-COOHがつくのではなく、C2H4O2のうち一部の原子のつながりが特定できたと言うことです。
よって、C1個とH3個は未...続きを読む

Q波の式 y=Asin2πx/λ の導き方について

 問題文に載っていた画像に当てはまるものがなかったので以下の画像で代用させていただきます。http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/schroedi.files/wave.gif
 上の画像は振幅Aの正弦波の、時刻t=oにおける位置xでの変位yを表している。(波は右側に進んでいて、x軸が位置、y軸が変位です。あとは問題文と変わりません。)

問題は、「この正弦波の時刻t=0における位置xでの変位は、y=Asin○○と書ける」というものです。
解答では、図も波形の式は、y(x)=Asinθと表せる。
距離が1波長違えば、位相は2πだけ変化するのでλ:2π=x:θ
よってλθ=2πx
θ=2πx/λ
代入してy=Asin2πx/λ (答えは2πx/λ)

となってます。最初はこれで納得できたのですが、そもそも
>距離が1波長違えば、位相は2πだけ変化する
というのはなぜ-2πではだめなのでしょうか?画像のグラフにおいて
t=oにおいてx=oの位相が2πだった場合x=2πの位相は0なので、1波長x軸方に進めば2Π遅れると考えられるので、λ:-2π=x:θとしてもいいのでは思ったのです(答えは違うのですが)。

また、もしグラフが上記URLの画像のグラフをx軸対称にされたもの(つまりy=-sinx)やy=conxでも
>距離が1波長違えば、位相は2πだけ変化するので
という考えは通用してしまいます。その場合はどのように考えればよいのでしょうか?

 問題文に載っていた画像に当てはまるものがなかったので以下の画像で代用させていただきます。http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/schroedi.files/wave.gif
 上の画像は振幅Aの正弦波の、時刻t=oにおける位置xでの変位yを表している。(波は右側に進んでいて、x軸が位置、y軸が変位です。あとは問題文と変わりません。)

問題は、「この正弦波の時刻t=0における位置xでの変位は、y=Asin○○と書ける」というものです。
解答では、図も波形の式は、y(x)=Asinθと表せる。
距離が1波長違えば、位相は2πだけ変化...続きを読む

Aベストアンサー

実際に角の動きを動で感じてみては如何でしょうか?
用意するものはアナログ時計でアナログメーターとして使います(想像で構いません)。
時針しか使いません。時針は波の高さを表します(12時;最大 6時;最低 3時、9時;0)。3時の位置からスタートし、反時計周りを正とすることにします(三角関数の単位円のグラフ同様)。
x=0の位置から波の高さを辿っていくと、
0⇒最大⇒0⇒最低⇒0・・・ という風に繰り返しであることが分かります。
時針の動きに注目すると
3時⇒12時⇒9時⇒6時⇒3時 とずっと回り続けていることが分かります。
λの位置に来ると、時針が反時計回りに1回転(回転角度+2兀)するわけですから、
xの位置に来たとき、時針の回転角度をθとして式を立てます。
これが
λ:2兀=x:θ です。

-2兀ならどうなるのかということですが、時針の回転方向がさっきと
逆になります。
3時⇒6時⇒9時⇒12時⇒3時
つまり
0⇒最低⇒0⇒最大⇒0
グラフを描けば分かりますがさっきと位相は兀ずれです。

Q回帰式と近似式について

回帰式と近似式の違いについてどなたか教えてください。
回帰式とは最小二乗法で求めた式(1次式に回帰して?)、近似式とは実測値に基づいてなんらかの方法で算出した式の事でしょうか?数学の知識に乏しいのでよくわかりません。宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

No.2です。補足質問にお答えします。

> 予測値と実測値の差は 回帰式<近似式 なのでしょうか?

ちょっと意味不明です。

もう一度整理してみます。
まず回帰式と近似式は別物と考えた方がいいです。
y=f(x)という関数(理論式又は経験式)が有るとします。

関数そのものは判っているが、複雑で取り扱いが面倒なので
実用的に差支えが無い程度に簡略化して使うというのが近似式です。
No.2であげた例がそれにあたります。

次に関数の次数はわかっているが係数が判らない時又は全く何もわからない場合に
実測値又は実験値から元の関数を推定するのが回帰式です。
これは統計的処理というか数学的(算数的)処理で行います。

さらに
理論値・・理論式がわかっている場合
予測値・・普通は経験式がわかっている場合
実測値・・説明の必要は無いでしょう
近似値・・近似式で値を求めた場合、
  又はまるめを行った場合:例えば円周率πを3.14で近似

最後に、無理やり解釈すれば回帰式は理論式又は経験式の代用品という意味では
近似式の仲間に入ると言えなくも無いでしょう。
真ならずとも遠からず・・ですね。

No.2です。補足質問にお答えします。

> 予測値と実測値の差は 回帰式<近似式 なのでしょうか?

ちょっと意味不明です。

もう一度整理してみます。
まず回帰式と近似式は別物と考えた方がいいです。
y=f(x)という関数(理論式又は経験式)が有るとします。

関数そのものは判っているが、複雑で取り扱いが面倒なので
実用的に差支えが無い程度に簡略化して使うというのが近似式です。
No.2であげた例がそれにあたります。

次に関数の次数はわかっているが係数が判らない時又は全く何もわから...続きを読む

Q微分方程式の問題です。x''=a*x*cos(ωt)

微分方程式の問題です。x''=a*x*cos(ωt)
初めて質問させて頂きます。

a、ωは定数、x=x(t)として、2階の微分方程式x''=a*x*cos(ωt)が解けません。
初期条件をx(0)=x0, x'(0)=vx0としたとき、これには解析的な解はあるのでしょうか?

私なりに考えたのは、
x''=x*exp(iωt)
と拡張、s=exp(iωt)と変数変換 (x=x(s))して、
s*x''+x'+(a/ω^2)*x=0
s*x''+x'+k*x=0 (k=(a/w^2)と置く)
とし、最後は級数展開という方法...ですが自信がありません。

元の方程式が(見た目は)シンプルですので、もしかしたら解析的な解をご存知の方が
いらっしゃるかもしれないと思い質問させて頂いた次第です。

私は物理屋ですので、なるべく純粋数学的な表現は避けて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

あまり参考にならないかも知れませんが・・・、
x''=a*x*cos(ωt)
Mathieuの微分方程式が連想されます。

Mathieuの微分方程式、Mathieu関数辺りで調べられてみては如何でしょうか?


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