整数、有理数、実数について

A0={p∈R:p<√2}Rは実数
A1={p∈Q:p<√2}Qは有理数
A2={p∈Z:p<√2}Zは整数
このときA0⊃A1⊃A2を示せ。という問題なのですが、明らかに自明なので一体どうやったら証明できるのかで悩んでいます。皆さんならどのように証明されますか？背理法が有効なのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： take008 回答日時： 2006/05/13 22:38

部分集合であることは明らかですが，「真」部分集合であることは「ほぼ」明らか程度でしょう。

A0(A1)に入ってA1(A2)に入らない数を例示すればいいと思います。

この回答への補足

つまり、具体例を挙げるとA0にはπ/2が含まれるが、A1には含まれない。つまりA0⊂A1。といった具合でいいんですよね。

補足日時：2006/05/13 22:43

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/05/15 18:59

πのような「変な」ものを持ち出すよりは, もっと簡単に「無理数であること」や「有理数であるけど整数でないこと」が言えるものの方がい

ゃないかなぁ? 明らかに「π が無理数であること」よりも「1/√2 が無理数であること」の方が簡単なんだし, 今はこれで十分なんだから.