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ある投稿で半波長アンテナの放射電磁界の電力を求めるとき余弦積分関数が出てくることを知りました。

色々調べたのですが次の公式の導出が解りません。教えていただけないでしょうか?

Ci(x)=-∫[x,∽]dt(cos t)/t=C+log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
C:オイラーの定数。

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A 回答 (3件)

それほど簡単ではないと思います。

tが小さい時

 {(cos t)-1}/t = - t/2! + t^3/4! - t^5/6! +…

と展開できます。項別に積分すると

 ∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
= Σ{n=0~∞}(-1)^n x^(2n) /(2n(2n)!)

であることが分かります。この式と
 アルフケン:特殊関数(基礎物理数学第4版 vol.3)
の演習1.5.10の式

 Ci(x) = C+log x + Σ{n=1~∞}(-1)^n x^(2n) /(2n(2n)!)

とから
 Ci(x) = C + log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
が出ます。演習1.5.10の式は積分指数関数と積分余弦関数の関係

 Ci(x) = (-1/2)[E1(ix) + E1(-ix)]


 E1(x) = - C-log x + Σ{n=1~∞}(-1)^n x^n /(n・n!)  … (1)

からすぐに分かります。(1)式の導出は上記参考書にあります。

この回答への補足

おばかでした。朝起きたとたん
log t=-log(1/t)に気が付きました。オイラーの定数の定義が色々あるわけがないですね。

補足日時:2006/05/18 05:54
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
手元の岩波数学公式集と見比べているのですが、注意書きにあるようにどうも微妙に定義が異なるようです。
たとえばオイラーの定数の積分表示なのですが一番似たものでも∫[0,∞]dt{e^(-t)}log(1/t)といった感じです。

アルフケンの本は図書館にあったので予約してきました。
お気楽に考えていたのですがどうも大変なものに手を出したようです?
でもせっかくですので昔を思い出しながら挑戦してみます。

お礼日時:2006/05/17 22:05

オイラーの定数の一つの表し方


 C = - ∫[0,∞]dt exp(-t) log t
= - ∫[0,x]dt exp(-t) log t -∫[x,∞]dt exp(-t) log t

から出発します。部分積分すると

 ∫[x,∞]dt exp(-t) log t = exp(-x) log x + E1(x)

(E1(x)=∫[x,∞]dt exp(-t)/t は積分指数関数)

より

 E1(x) = - C - ∫[0,x]dt exp(-t) log t - exp(-x) log x
  = - C - log x -∫[0,x]dt exp(-t) log t +[1-exp(-x)] log x
  = - C - log x -∫[0,x]dt [exp(-t) - 1]/ t

この式と
Ci(x) = (-1/2)[E1(ix) + E1(-ix)]

から
 Ci(x) = C + log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
が分かります。すなわち積分の発散する部分を分離するため
 exp(-x) log x = log x + [exp(-x) - 1 ] log x
と変形する所が最大のポイントと言えるでしょう。

この回答への補足

どうもE1(z)の計算がよくわからないのでアルフケンの本を見てからにします。
なお、#3の方法はE1(x)を介しているのでよく解らなかったのですが別の公式
C = ∫[0,∞]dt {1/(1+t)-cos(t)}/t
から変形すると比較的簡単に結論が得られました。

本当にありがとうございました。

補足日時:2006/05/18 22:41
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
今時間がないので帰ってからよく見てみます。

お礼日時:2006/05/17 06:08

∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t


=∫[0,∞]dt{(cos t)-1}/t - ∫[x,∞]dt{(cos t)-1}/t
=∫[0,∞]dt{(cos t)-1}/t - ∫[x,∞]dt{(cos t)/t} + log x
という感じで変形していくのかなー
と思ったのですが、どうでしょう?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
マイナーなんですね、あきらめかけいました。

いま時間がないのでちょっと見た感じでは
C=lim(R->∞){-∫[0,R]dt{(cos t)-1}/t + log R}
がいえれば良いようですね。

お礼日時:2006/05/16 06:13

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これを入れるのと入れないのでは具体的にどのような違いが表れるのでしょうか?

オペアンプを使った回路では通常、電流は流れないはずですので、このようなものは必要ないように思うのですが、どのような場合に必要になるのでしょうか?

Aベストアンサー

#1のものです。

ちょっと説明がうまくなかったようです。
ボルテージフォロワを使用するのは、次の段の入力インピーダンスが小さく電流がある程度流れる場合に、信号を元の電圧をそのまま受け渡す際に使用します。
とくに信号源の出力インピーダンスが大きいときは信号源に流れる電流を減らすため、受ける側の入力インピーダンスを大きくする必要があります。
反転増幅回路を用いると、入力インピーダンスを大きくすることができません。(反転増幅回路の入力インピーダンスは信号源と反転入力端子の間の抵抗にほぼ等しい。この抵抗の大きさはさほど大きくできない。)
非反転増幅回路を用いると、入力インピーダンスを大きくすることができます(非反転増幅回路の入力インピーダンスは非反転入力と反転入力のピン間インピーダンスにほぼ等しく、かなり大きな値になる。)が、増幅率が1よりも大きくなってしまいます。
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次に、#1の補足に対して。
>反転増幅回路と非反転増幅回路は単に反転するかしないかの違いだと思っていたのですが、
>それ以外に特性が異なるのですか?
これは、上でも述べていますが、反転増幅回路と非反転増幅回路は、増幅回路の入力インピーダンスが異なります。
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違います。出力インピーダンスとは信号を発生させている元と入力先との間のインピーダンスを意味します。
出力インピーダンスは信号源から流れる電流による電圧降下の大きさを決定付けます。
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>・それと非反転増幅回路の出力を抵抗などで分圧することで増幅率を1以上にするデメリットを教えて下さい。
これは、何かの勘違いですね。
非反転増幅回路で増幅率を1よりも大きくしたいのなら分圧などする必要はありません。
非反転増幅で増幅率を1以下にしたい場合は、何らかの方法で信号を減衰させる必要があります。ここで分圧を使うのはあまり好ましいことではないということです。

#1のものです。

ちょっと説明がうまくなかったようです。
ボルテージフォロワを使用するのは、次の段の入力インピーダンスが小さく電流がある程度流れる場合に、信号を元の電圧をそのまま受け渡す際に使用します。
とくに信号源の出力インピーダンスが大きいときは信号源に流れる電流を減らすため、受ける側の入力インピーダンスを大きくする必要があります。
反転増幅回路を用いると、入力インピーダンスを大きくすることができません。(反転増幅回路の入力インピーダンスは信号源と反転入力端子の間の抵抗...続きを読む

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=ROUND(A1,2-INT(LOG(ABS(A1)+(A1=0))))


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