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与えられたベクトル(x1)(x2)(x3)が一次独立系であるときに、(v1)=(x1)、(v2)=a(v1)+(x2)、(v3)=b(v1)+c(v2)+(x3)
もまた一次独立系であることを証明したいのですが、思いつきません。教えてください。ちなみに、()がベクトルでabcが定数です。

      

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A 回答 (1件)

v1,v2,v3が1次独立であることを示すためには、



 s(v1)+t(v2)+u(v3)=(0)

としたときに、s=t=u=0になることを示せばいいですよね。

上記のv1,v2,v3に、x1,x2,x3の式を代入し、x1,x2,x3で整理して、それぞれの係数(計3つ)が全部0である(∵x1,x2,x3は一次独立だから)という連立方程式を作って、s,t,uを求めればいいです(全て0になります)。
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この回答へのお礼

あ、全部0になりました。どうもありがとうございます。

お礼日時:2006/05/16 13:42

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Q線形代数の一次従属、独立に関する問題

以下のような問題なのですが、一次従属と一次独立に関してはなんとなくわかったのですが、垂直ベクトルがからんだ場合の解き方が全く浮かびません。かなり低レベルな質問なのかもしれませんが、困ってます。よろしくお願いします。(数式記号が出せないのと英語の問題を自分なりに翻訳したので読みにくいかもしれませんがよろしくお願いします。)
【問題】
(1)
R3中のa,b,cというベクトル全てが0以外でかつ、a垂直ベクトル記号b,b垂直ベクトル記号c、a垂直ベクトル記号cの場合、a,b,cが一次独立であることを証明せよ。
(2)Rm中のベクトルa1...an全てが0以外でかつai垂直ベクトル記号aj でiとjが異なる時、a1...anが一次独立であることを証明せよ。

Aベストアンサー

問題自体は、背理法で証明できると思います。

たとえば、5次元で、ベクトルa,b,c,d,eがすべて0でなく、どの2つも互いに垂直である場合に、「a,b,c,d,eが一次独立でない」すなわち、あるスカラーP,Q,R,Sが存在して
e=Pa+Qb+Rc+Sd
となる、と仮定します。

互いに垂直という仮定から、内積は0、つまり
a・e=0, b・e=0, c・e=0, d・e=0
よって、(Pa+Qb+Rc+Sd)・e=0
すなわち、e・e=0
これは、eが0でないという仮定に反します。

あとは考えてください。
定義とか使っていい定理とかの限定はあるのでしょうか?

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q表現行列の求め方

行列
1 2 -1 4
0 1 2 3
2 3 -4 5
に対応する線形写像f:R4→R3について
R4の標準基底{e1,e2,e3,e4},R3の基底{(1 1 2),(3 5 4),(1 1 1)}に関するfの表現行列
はどうやって求めたらいいのでしょうか。
試験が近いのですがこのあたりがよく分からなくて詰まっています。
よろしければ回答お願いします。

Aベストアンサー

質問冒頭の行列が、R4, R3 各標準基底上の
f の表現行列です。これを F と名付けましょう。
所与の R3 の基底を列ベクトルとして並べた
行列を P と置くと、求める行列は、
行列積 (Pの逆行列)F で表されます。
R4 の側も別に基底を指定するようなら、
その基底を列ベクトルとして並べた
行列を Q と置いて、求める行列は、
(Pの逆行列)FQ です。
今回は、Q が単位行列ですね。

Q一次従属の問題

「3個のベクトル
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3) 
 C=(2,1,a) が1次従属であるためには,aはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。  

Aベストアンサー

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
 xA+yB+zC=(0,0,0)
 (x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
 xA+yB+zC
 =x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
 =(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
 =(0,0,0)
より、
 x+y+2z=0 … (1)
 x-2y+z=0 … (2)
 x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
 3y+z=0
 ∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
 (a-2)x+(a-6)y=0
 ∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
 x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
 x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
 {-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
 x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
 -6+4/(a-2)=0
 ∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
 x=5, z=-3
であるから、
 xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
 a=8/3 … (Ans.)

参考URL:http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.html

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求め...続きを読む

Q大学院の面接(口述)試験について

2週間後に大学院の試験を受けます。
そこで、2つ質問があるのでご教授ください。

ちなみに、大学→他大学院(専攻も変わります)です。

まず、どのような質問がされるか教えてください。
過去ログを見て

・志望理由
・なぜ、専攻を変えたか
・なぜ、この大学か

などが聞かれると書いてありました。
他にはどのようなことが聞かれるのでしょうか?
時間は、大体20分あるのでたくさん質問されると思うのですが・・・。


次に、自己PRや志望理由等で一言一句暗記してそのまま言うのは印象が悪いとあったのですが、これはどうなのでしょうか。
たしかに、自分が面接官で暗記したのを言われたらあまりよい印象はもてないと思います。
しかし、自己PRや志望理由は暗記しかないと思うのです。

以上、2つお願いします

Aベストアンサー

大学院で専攻が変わりましたので、参考にして下さい。
時間は20分、面接官は3~4人でした。

まず聞かれたのが志望理由ですが、願書と一緒に小論文として志望理由を書いていましたので、その内容を話しました。
もちろん、一言一句暗記ではありませんが、内容(というか、あらすじ)は小論文と同じです。
先生方は小論文を読みながら聞いていました。
多分、書いてある内容と言っている内容が違った場合はここで突っ込まれるのだと思いました。
丸暗記でない点は、詳しく書かなかった部分を補足して説明したり、書いてあるとおりの内容は割愛して説明した点です。

・志望理由
・なぜ、専攻を変えたか
・なぜ、この大学か
以外で聞かれたことですが、卒業研究の内容と、これからやりたい分野の知識を聞かれました。

卒業研究の内容はこれからの分野とはあまり関係がない分野でしたが、「ちゃんと理解してやっているか」を見られたのだと思います。
自分が分かっていなければ、分野の違う先生方に説明することはできませんので。
これについては、「卒業研究の先生の前で後輩に説明する」という場面を想像して練習しました。
(専門家にも分野の違う人にも分かってもらうため)

これからやりたい分野の知識は、小論文の中で分かりにくい点があったため、突っ込まれました。
そのように書いた根拠(ある文献の名前)を出したので、結果としては「それだけ勉強している」と取られたようです。

大学院で専攻が変わりましたので、参考にして下さい。
時間は20分、面接官は3~4人でした。

まず聞かれたのが志望理由ですが、願書と一緒に小論文として志望理由を書いていましたので、その内容を話しました。
もちろん、一言一句暗記ではありませんが、内容(というか、あらすじ)は小論文と同じです。
先生方は小論文を読みながら聞いていました。
多分、書いてある内容と言っている内容が違った場合はここで突っ込まれるのだと思いました。
丸暗記でない点は、詳しく書かなかった部分を補足して説...続きを読む

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む


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