関数g(x)は任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足し、かつx=1において微分可能である。このとき、g(x)はすべての正の数xで微分可能であることを示し、g'(1)=aとして、g'(x)を求めよ という問題ですがどうすればいいのか教えて下さい。お願いします。

A 回答 (3件)

>g(x+dx)+g(1/x) が


>g((x+dx)/x))となっているのか分かりません。
…え~と。

任意の正数x,yに対してg(xy)=g(x)+g(y)、って条件忘れてませんよね?

…そーか、この条件のxと式に登場するxとを混同してるんですね。

「任意の正数x,yに対して」g(xy)=g(x)+g(y)と書かれている以上、どのような2正数に対してもg(なんたら×かんたら)=g(なんたら)+g(かんたら)が成り立ちます。
また、微分を行おうとしている点は正ですから、ちょっとの部分を十分小さくすることで、微分地点+ちょっとを正にすることができます。
さらに、1/微分地点も正です。

以上のことから、なんたら=微分地点+ちょっと、かんたら=1/微分地点とすることで、g(微分地点+ちょっと)+g(1/微分地点)=g((微分地点+ちょっと)×(1/微分地点))=g((微分地点+ちょっと)/微分地点)となります。

微分地点をx、ちょっとをdxと書けば、g(x+dx)+g(1/x)==g((x+dx)/x)となります。
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この回答へのお礼

よく分かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/12 17:52

答えを出すだけなら。

。。
g(xy)=g(x)+g(y)を見たときに、g(x)の候補の1つとして、log(x)を思いつけば、答えは直ちに出ますよね?
で、log(x)は思いついてほしい気はします。(奇抜なひらめきではないはず)
それで答えを先に見つけておいてから、その答えに目指した式変形を行うことを考えてみる・・・という方法もありじゃないかなぁ?とは思います。

ちなみに、任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足するような関数g(x)って、log(x)の定数倍に限られませんでしたっけ?(謎)
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この回答へのお礼

>任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足するような関数g(x)って、log(x)の定数倍に限られませんでしたっけ?
 そうなんですか?よくわかりません…。
hitomuraさんの方法でいいんですよね?

お礼日時:2002/02/12 17:55

g(xy)=g(x)+g(y)より、任意の正数に対して、g(1)=g(x)+g(1/x)、すなわち、-g(x)=g(1/x)-g(1)が成り立ちます。



微分の定義式にしたがって計算すると、
{g(x+dx)-g(x)}/dx={g(x+dx)+g(1/x)-g(1)}/dx
        ={g((x+dx)/x))-g(1)}/dx
        ={g(1+dx/x)-g(1)}/dx
        =(1/x)[{g(1+dx/x)-g(1)}/(dx/x)]
        →(1/x)g'(1)=a/x (dx→0)
となりますから、任意の正数に対して微分可能で、g'(x)=a/xとなります。

この回答への補足

すみません。式の一行目から二行目なんですが、なぜ
g(x+dx)+g(1/x) が
g((x+dx)/x))となっているのか分かりません。

補足日時:2002/02/11 12:23
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