関数g(x)は任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足し、かつx=1において微分可能である。このとき、g(x)はすべての正の数xで微分可能であることを示し、g'(1)=aとして、g'(x)を求めよ という問題ですがどうすればいいのか教えて下さい。お願いします。

A 回答 (3件)

>g(x+dx)+g(1/x) が


>g((x+dx)/x))となっているのか分かりません。
…え~と。

任意の正数x,yに対してg(xy)=g(x)+g(y)、って条件忘れてませんよね?

…そーか、この条件のxと式に登場するxとを混同してるんですね。

「任意の正数x,yに対して」g(xy)=g(x)+g(y)と書かれている以上、どのような2正数に対してもg(なんたら×かんたら)=g(なんたら)+g(かんたら)が成り立ちます。
また、微分を行おうとしている点は正ですから、ちょっとの部分を十分小さくすることで、微分地点+ちょっとを正にすることができます。
さらに、1/微分地点も正です。

以上のことから、なんたら=微分地点+ちょっと、かんたら=1/微分地点とすることで、g(微分地点+ちょっと)+g(1/微分地点)=g((微分地点+ちょっと)×(1/微分地点))=g((微分地点+ちょっと)/微分地点)となります。

微分地点をx、ちょっとをdxと書けば、g(x+dx)+g(1/x)==g((x+dx)/x)となります。
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この回答へのお礼

よく分かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/12 17:52

答えを出すだけなら。

。。
g(xy)=g(x)+g(y)を見たときに、g(x)の候補の1つとして、log(x)を思いつけば、答えは直ちに出ますよね?
で、log(x)は思いついてほしい気はします。(奇抜なひらめきではないはず)
それで答えを先に見つけておいてから、その答えに目指した式変形を行うことを考えてみる・・・という方法もありじゃないかなぁ?とは思います。

ちなみに、任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足するような関数g(x)って、log(x)の定数倍に限られませんでしたっけ?(謎)
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この回答へのお礼

>任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足するような関数g(x)って、log(x)の定数倍に限られませんでしたっけ?
 そうなんですか?よくわかりません…。
hitomuraさんの方法でいいんですよね?

お礼日時:2002/02/12 17:55

g(xy)=g(x)+g(y)より、任意の正数に対して、g(1)=g(x)+g(1/x)、すなわち、-g(x)=g(1/x)-g(1)が成り立ちます。



微分の定義式にしたがって計算すると、
{g(x+dx)-g(x)}/dx={g(x+dx)+g(1/x)-g(1)}/dx
        ={g((x+dx)/x))-g(1)}/dx
        ={g(1+dx/x)-g(1)}/dx
        =(1/x)[{g(1+dx/x)-g(1)}/(dx/x)]
        →(1/x)g'(1)=a/x (dx→0)
となりますから、任意の正数に対して微分可能で、g'(x)=a/xとなります。

この回答への補足

すみません。式の一行目から二行目なんですが、なぜ
g(x+dx)+g(1/x) が
g((x+dx)/x))となっているのか分かりません。

補足日時:2002/02/11 12:23
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このような問題は、数学の問題だから「きっと、必ず因数分解できるに違いない」と思ってアプローチできますが、現実の社会では「必ずしも因数分解できるとは限らない」と思わないといけません。

 ということで、行きあたりばったりにいろいろトライ・アンド・エラーしていても解けるとは限りませんので、ここはドンくさく、正攻法でやるしかありません。

 お示しのようなx, y の二次式は、一般的に
   (ax + by + c)(dx + ey + f)
と因数分解できます。a~f を整数に限らなければ、必ずこう書けます。
 あとは、a~f を整数になるかならないかで、整数で表わせなければ、「きれいに」因数分解できないということです。

 これを展開すると
  adx² + (ae + bd)xy + bey² + (af + cd)x + (bf + ce)y + cf
となるので、これと与えられた式を比べて、a~f を求める、という作業をするのが「正攻法」です。

 やってみましょう。(a, b, c)と(d, e, f) は対称形になるので、一方だけを示します。

(1)
ad = 2
ae + bd = -3
be = -2
af + cd = 5
bf + ce = 5
cf = -3
面倒ですが、これを解けば
 a=2, b=1, c=-1, d=1, e=-2, f=3
となります。
 つまり
2x² - 3xy - 2y² + 5x + 5y - 3
= ( 2x + y - 1)( x - 2y + 3)

(2)同様に
ad = 1
ae + bd = -1
be = -2
af + cd = 2
bf + ce = -7
cf = -3
これを解けば
 a=1, b=1, c=3, d=1, e=-2, f=-1
となります。
 つまり
x² - xy - 2y² + 2x - 7y - 3
= ( x + y + 3)( x - 2y - 1)

(3)さらに同様に
ad = 6
ae + bd = 5
be = -6
af + cd = 1
bf + ce = -5
cf = -1
これを解けば
 a=2, b=3, c=1, d=3, e=-2, f=-1
となります。
 つまり
6x² + 5xy - 6y² + x - 5y - 1
= ( 2x + 3y + 1)( 3x - 2y - 1)

このような問題は、数学の問題だから「きっと、必ず因数分解できるに違いない」と思ってアプローチできますが、現実の社会では「必ずしも因数分解できるとは限らない」と思わないといけません。

 ということで、行きあたりばったりにいろいろトライ・アンド・エラーしていても解けるとは限りませんので、ここはドンくさく、正攻法でやるしかありません。

 お示しのようなx, y の二次式は、一般的に
   (ax + by + c)(dx + ey + f)
と因数分解できます。a~f を整数に限らなければ、必ずこう書けます。
 あ...続きを読む


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