高校のテストの範囲なのですがラジアンを使った求め方がわかりません。
ぜひ教えてください。

中心点をOとし半径が15cmの円があったとします。この円の弧上に点AとBをとります。
角AOBを2/3πradとします。
この扇形AOBの面積Sとこの長さLを求める場合どのような式を立てたらよいのでしょうか?

なお角度はラジアンのままで120度とはしないでください。

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A 回答 (4件)

僕は高校三年生なので、間違っているかもしれませんが・・・


扇形の弧の長さと面積の公式が数学3であります。

(Θはシーターです。)
L=rΘ
S=1/2r^2Θ (ただし0<Θ<2π)
です。弧上に点ABということなので、その長さをLとして
上の公式に当てはめます。
L=15*2/3π
S=1/2*15^2*2/3π

よって、弧の長さは10π
面積は75π
だと思います。間違っていたらごめんなさい。
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Lって「弧」の長さですか?それとも「扇形AOBの長さ」ですか?



「弧」の長さだった場合、前の発言のlが答えです。
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>この扇形AOBの面積Sとこの長さLを求める場合どのような式を立てたらよいのでしょうか?



1). Sを求める
半径r、角度Θ(度)の扇形の面積を求める式は?
いわゆる360度は何rad?(重要)
->これで解けるはず。

2). Lを求める
半径r,角度Θr(rad)の扇型の弧の長さlは(radの定義を使う)?
Lをrとlで表すと?

どちらにしろ、教科書のラジアンの定義の部分をよく読んでください。
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 360°=2π[rad]なので、



S=π×15×15×(2π/3)/2π = 75π
L=2×π×15×(2π/3)/2π = 10π

となります。
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私への補足ではないのですが、気に成る点がいくつかあって、書かせて頂きます。

#1 弧度法については二通りの考え方があります。
   文部科学省も意見が分かれているようです。

(1) 本質的に、弧度法が必要になるのは、数学IIIの、
   三角関数の微分である。
   だから、その直前に教えれ場良いという説。

   事実、この考え方で、一時、弧度法が数学IIの教科書から、
   消えました。現行では、元に戻って数学IIの範囲になっています。
数学IIで、弧度法が教えられると、一部の生徒は、何故こんなの必要なのか、
疑問に思います。360度法(60分法)で充分ではないか。
この疑問対しての返答は不可能なのです。必然性がないのです。
全ての問題が、360度法で解けるのです。

(2) 数学IIで加法定理などの様々の公式は、いずれは弧度法に、
   書き換えねば成らないので、三角関数で導入した方が良い、という説。

どちらの主張にも、いちりあります。
個人的には、数学IIで教えてよいが、何故必要かをハッキリ説明する必要がある

と思っています。実際、微積に堪能な人でも、弧度法の必然性を正しく説明できる

人は少ないのです。
これは、教科書にも責任があります。明示的には書かれていないのです。

弧度法は便利です。本気になれば、10分で基本は理解できます。
面倒なのは、(360度法、弧度法)の変換を瞬間的に出来るようになるには、
かなりの(慣れ)が必要で、これは10分では無理なのです。

今回のような問題は、基本だけで充分なので、検索しても良いし、新スレッドをた

てれば、アットいうまに回答が多数到着します。


#2
>> b=arとなることを覚えます。

今回の問題は、もともと弧度法なのです。
今回の問題は弧度を知らないと、解けないのです。

換言すると、a=2になりましたが、これは2度と言う意味ではありません。

弧度法の基本は360度=2πです。

360度:2π=x度:2
x=360度/π≒115度

<最後の答は、115度だったのです。>

 結論から書くと、(解けない問題を解こうとしていた。)となります。
 換言すると、<a度と思っていた。>

○ 角度に単位である<度>が付いていない場合は、
  全て弧度法なのです。紛れを防ぐためにaラジアンと書く場合もありますが、
  通常は<つけません>

○ 弧度法でみると、b=arは(当たり前の式)であって、
  覚える式ではないのです。

○ では、これからはどうするか、

(1) 角度に<度>がついていない問題には手を出さない。
(2) 弧度法の基本を学ぶ。

選択するのは、sakura1424様です。

ANo.2 です。

私への補足ではないのですが、気に成る点がいくつかあって、書かせて頂きます。

#1 弧度法については二通りの考え方があります。
   文部科学省も意見が分かれているようです。

(1) 本質的に、弧度法が必要になるのは、数学IIIの、
   三角関数の微分である。
   だから、その直前に教えれ場良いという説。

   事実、この考え方で、一時、弧度法が数学IIの教科書から、
   消えました。現行では、元に戻って数学IIの範囲になっています。
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よろしくお願いします。

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>二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
二点を通る円で半径Rの円の中心点を求めるには、
が正しい書き方です。
2点を(x1,y1),(x2,y2)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-x1)^2+(y-y1)^2=R^2 … (1)
(x-x2)^2+(y-y2)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-x1-x2)(x2-x1)+(2y-y1-y2)(y2-y1)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、2組の解が出てきます。
2点間の距離>2Rの時は解が無い
2点間の距離=2Rの時は解は重解で2点を結ぶ線分が円の直径となる。
 円の中心は2点を結ぶ線分の中点が円の中心になります。
2点間の距離<2Rの時は
 2組の解の座標点が円の中心になり、円の中心は2つ存在します。
 この場合の円の中心は、(1)と(3)を(x,y)の連立方程式の解ですが、
 公式とするには式が長く複雑すぎます。
 個別の点が与えられたら、その都度、(1)と(3)から連立方程式を解いて
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>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
>半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか?

2点間の距離
 =√(((14.50200 - 10.34600)^2) + ((46.81100 - 38.57600)^2))
 = 9.2242919

一方、円の直径=4.61200*2=9.22400
2点間の距離の方が円の直径より大なので不可能です。

もし、
>>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)
2点を直径とする円なら、円の中心(x,y)を求める式は
x=(14.502+10.346)/2=12.424
y=(46.811+38.576)/2=42.6935
で計算できます。

>二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
二点を通る円で半径Rの円の中心点を求めるには、
が正しい書き方です。
2点を(x1,y1),(x2,y2)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-x1)^2+(y-y1)^2=R^2 … (1)
(x-x2)^2+(y-y2)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-x1-x2)(x2-x1)+(2y-y1-y2)(y2-y1)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、2組の解が出てきます。
2点間の距離>2Rの時は解が無い
2点間の距離=2Rの時は解は重解で2点を結ぶ線分が円の直径となる。
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