磁束密度BとベクトルポテンシャルAの関係式とマクスウェルの電磁方程式、磁場および電流場に関する構成方程式などを用いて、Aを未知変数とした磁界解析に必要な支配方程式を導出せよ。
また、静電場の解析に必要な支配方程式を導出せよ。

以上の問題なんですが、何を求めたいのかが分かりません。支配方程式って何ですか?出来れば急ぎでお願いします。すいません。

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A 回答 (2件)

支配方程式:


  問題を解く場合の求めたい量(未知量Xi)についての(微分)方程
 式のことを言います。問題を解くためには構成式と一緒になって連立
 した形になっているので馴れないとどれが支配方程式でどれが構成
 式なのか紛らわしいかも知れませんが、支配方程式という場合はだい
 たい知りたい未知量そのものを規定する(微分)方程式と言うことが
 出来ます。実際はどっちがどうだろうと必要な方程式が全部そろって
 いれば答には影響しませんが、区別できれば便利なことも多いと思い
 ます。
構成式:
  支配方程式の中に出てくる変数には直接求めたい未知量Xiの他
 にそれ以外の変数Pjが未知量間の関係を表すために必要になること
 があります。この変数Pjについてどのような量なのかを決めるため
 の関係式が必要になります。これが構成式です。構成式は一般には現象
 がどのようになるかとは関係なく別の角度から既知の関係として与えら
 れることが多いと思いますが、常にそうとは限らず、未知量が決まって
 初めて決まる場合もあります。また、微分方程式の場合もそうでない
 場合もあります。
例:
  知識不足で適切な例になるか怪しいですが、簡単でわかりやすい
 1次元の熱の問題をあげてみます:
  ∂(K(∂T/∂x))/∂x=∂(ρcT)/∂t...(1)
  K=g(T)                  ...(2)
           T:未知量(温度)
           K:熱伝導率(温度で変化)
           ρ:密度(一定値)
           c:比熱(一定値)
           x,t:独立変数(位置、時間)
           g:既知関数
  この場合、(1)が支配方程式です。その中にKと言う変数が使用
 されていますが、このKについて(2)でどのようなものかを規定し
 ています。これが構成方程式です。(ただ、このような単純な問題で
 改まって構成式などと言うかどうかは別問題です。)
           
 hekikoさんの問題の場合、静電場と言うことで、一般的な電磁場に対
して特別な条件をが指定され、更に未知量として電場、磁場でなくベク
トルポテンシャルと言うことですのでその条件を踏まえて一般式を変形、
集約していく作業をすることになるのだろうと思います。
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この回答へのお礼

分かりやすい例題ありがとうございました。この例題で友達も理解しました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/14 07:12

こんなのありました(↓URL).



参考URL:http://shibuya.cool.ne.jp/computation/mag/mag01. …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。理解できました。びっくりしたんですが。lucky111さんが教えてくだっさたURL友達も参考にしていて今朝びっくりしました。やはりインターネットは世界につながっているんだなと実感いたしました(笑)

お礼日時:2002/02/14 07:09

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Qマクスウェル方程式から波動方程式の導出

電磁気を知人からもらった本で勉強しているのですが,その本に、
「マクスウェルの方程式から、電磁波に関する波動方程式を導け。また、磁場ベクトルを発生させるのはどの方程式のどの項かを、理由と共に述べよ。」
という問題がありました。いろいろ調べて、なんとか波動方程式の導出はできたのですが、磁場ベクトルを発生させる項がわかりません。
わかる人がいれば、できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

真空中で電荷も電流もない場合を考えます。EEとDD、HHとBBは同じものになるのでEEとBBで考えます。但し、ベクトルを表すのにEE等と書きます。
ファラデー : rot EE + dBB/(cdt)=0
Maxwell-Ampere: rot BB - dEE/(cdt) =0
単位系はcgs gaussを使っていて、cは真空中の光速です。
ファラデーのrotをとると、
0 = rot rot EE + d^2 EE/d^2/c^2
ところが電荷がないCoulomb: divEE=0 を使うと
rot rot EE = - D^2 EE
ここで D^2 = (d/dx)^2 + (d/dy)^2 (d/dz)^2
と書けるのでファラデーのrotをとった式は
[ c^2 D^2 - (d/dt)^2 ]EE = 0
となりますが、これはEEに対する波動方程式に他なりません。
 上の計算ではファラデーのrotをとることによって磁場BBを消去しましたが、Maxwell-Ampereのrotをとれば電場の方を消去することが出来、
磁場に関するCoulomb div BB =0 を使えば、上と全く同じように
BBに関する波動方程式を導くことができます。
 「磁場ベクトルを発生させる」という言い方はおかしな言い方ですが、Maxwell-Ampereで電場が時間的に変化すれば磁場のrotが発生するという答えを期待しているのでしょう。ファラデーで電場のrotが変化したら磁場の時間的変化が変化する、という方も言わないと完全ではありませんね。波動方程式は2回微分ですから。

真空中で電荷も電流もない場合を考えます。EEとDD、HHとBBは同じものになるのでEEとBBで考えます。但し、ベクトルを表すのにEE等と書きます。
ファラデー : rot EE + dBB/(cdt)=0
Maxwell-Ampere: rot BB - dEE/(cdt) =0
単位系はcgs gaussを使っていて、cは真空中の光速です。
ファラデーのrotをとると、
0 = rot rot EE + d^2 EE/d^2/c^2
ところが電荷がないCoulomb: divEE=0 を使うと
rot rot EE = - D^2 EE
ここで D^2 = (d/dx)^2 + (d/dy)^2 (d/dz)^2
と書けるのでファラデーのrotをとった式は
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Qマクスウェル方程式 静磁界

静磁界の場合、
マクスウェル方程式 rotH=J+∂D/∂t
の変位電流の部分∂D/∂tは無視できるとありました。
これはなぜなのでしょう?


解析導体内に導体または磁性体が存在して、
それには渦電流が流れない場合を考えているからでしょうか。

それとも電界が保存的ではないからでしょうか。

Aベストアンサー

 数式をあげても面倒なだけなので、言葉で書きます。

 マックスウェル方程式は、電束(電場)の時間変動が磁場のrotに影響し、磁束(磁場)の時間変動が電場のrotに影響するという、連立偏微分方程式ですが、磁場の発生源は電流で、これは電荷の流れです。電荷の運動は、その瞬間の磁束と電場に影響されますが(ローレンツ力)、ローレンツ力による電荷の運動への影響は、ニュートンの運動方程式が定めます。

 なので電磁場ー電荷の系を完全に扱うためには、ニュートンの運動方程式が必要です。導体内の全ての自由電子に対して運動方程式をたてる事は、実際上無理ですが、その効果を現象論的な実験結果として与えるのが、一般化されたオームの法則になります。

  E=k・J   (1)

 ここでEは、導体内の電場,kは導体の電気抵抗率(いわゆる抵抗),Jは導体内の伝導電流密度(自由電子の流れ)です。(1)をマックスウェル方程式に追加し、さらに∂B/∂t=0(静磁場: ∂H/∂t=0)の条件を与えると、定常状態でJは定常電流(∂J/∂t=0)という結果が得られます。そうすると導体内の真電荷分布は時間変動しないので、∂D/∂t=0になります。定常状態にいたる非定常状態(過渡現象)は、一瞬だろうという見当も付きます。なので、「静磁場 ⇒ ∂D/∂tは無視できる ⇔ 静電場」です。誘電体の場合は、もっと簡単に、「静磁場 ⇒ ∂D/∂t=0 ⇔ 静電場」が言えます。

 「静電場 ⇒ 静磁場」も言えるので、「静電場 ⇔ 静磁場」です。


>解析導体内に導体または磁性体が存在して、それには渦電流が流れない場合を考えているからでしょうか。

 導体は大抵磁性体なので、渦電流は存在します。ただし渦なので、ふつうの電流のように一方向に流れるものではないです。物体の電気的性質(導体)と、磁気的性質(磁性体)は、独立なものとして(古典電磁気学では)扱われます。両者の相互作用を橋渡しするのがマックスウェル方程式(と電荷の運動方程式)です。橋渡し効果が「静電場 ⇔ 静磁場」なので、磁場が時間変動しない事(静磁場: ∂B/∂t=0)が重要な訳です。

 なので(定常な)渦電流の塊である永久磁石に触っても感電しないし、電気スタンドの近くにフラッシュメモリを置いといても、たぶん大丈夫といったあたりで、納得して頂けないでしょうか?。

 数式をあげても面倒なだけなので、言葉で書きます。

 マックスウェル方程式は、電束(電場)の時間変動が磁場のrotに影響し、磁束(磁場)の時間変動が電場のrotに影響するという、連立偏微分方程式ですが、磁場の発生源は電流で、これは電荷の流れです。電荷の運動は、その瞬間の磁束と電場に影響されますが(ローレンツ力)、ローレンツ力による電荷の運動への影響は、ニュートンの運動方程式が定めます。

 なので電磁場ー電荷の系を完全に扱うためには、ニュートンの運動方程式が必要です。導体内の全て...続きを読む

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Aベストアンサー

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