上限・下限

問題は次の上限・加減を求めなさい、というもので
(1)A={1/n;n∈N}Nは自然数
(2)A=[0,1)
(3)A={p∈Q;p<√2}Qは有理数
答えは
(1)上限が1、下限が0
(2)上限が1、下限が0
(3)上限が√2、下限は存在しない
このように解答すればいいのでしょうか？説明が必要ならどの程度書けばいいでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/05/21 12:10

どこまで書けばいいのかは学習段階に依存します

時期的に考えても，質問者さんは
大学の理系の微積分の一年生で
εδの初歩をやってるってとこでしょうから
最初は

馬鹿らしくても定義に従って泥臭く書く

ことをお勧めします
やってるうちに定義や論法が自然に理解できます

(1)だけ．
上限：
sup(A) = 1である
なぜならば，任意のε>0にたいして
1∈ Aであるので，
任意のε>0に対して
1-ε< a ≦ 1　となるAの元aが存在する
＃「最大元が存在すればそれが上限である」
＃という定理を習ってればそれを使ってもよいです

下限：
inf(A)=0である
以下にそれを示す
任意のε>0にたいして
0< a < ε となるAの元aが存在することを
示せばよい

εが有理数である場合，
n，mを自然数とし
ε=m/n と既約分数で表すことができる．
このときは a = 1/n とすればよい

εが無理数である場合
有理数の稠密性より，互いに素な自然数n，mを用いて
0<m/n<εとなる有理数m/nが存在する
そこで a= 1/n とすればよい

有理数の稠密性は
さすがに使ってよいでしょうし
習ってると思います．

No.1 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2006/05/21 11:59

sup,infの定義に従うことを確認するだけです

例えば
(1)infA=0の証明
　∀n∈N,0<1/nはすぐ分るものとする(正/正は正より)
　アルキメデスの原理より∀ε>0,∃n∈N,ε>1/nも成り立つ
(3)のinfが存在しないことの証明は背理法を使いますが殆自明だと思います