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十分に広い紙に間隔Lで平行線を引き、そこに長さLの針を無作為に落とす。
針は必ず倒れるものとし、また、針と平行線の太さは無視できるとする。
針と線が交わる確率を解析的に求めよ。

解答
針の長さをA、平行線の間隔をB、A/B≡Rとする。
平行線からの針の中心Cからの距離をx、平行線の垂直方向と針のなす角をθとする。
針が平行線と交わる条件は
   x≦Acosθ/2…※
である。対称性から針の中心xは(0,A/2)の一様分布、θは(0,B/2)の一様分布と考えられる。
上のxとθを座標に取りその範囲の長方形の面積ををΩとし、※の面積をΣとすると、確率Pは
   P=Σ/Ω
で与えられる。従って、
Σ=int(0→π/2) Acosθ/2 dx=A/2
Ω=π/2*B/2=πB/4
   ∴P=2R/π
となる。ここで、A=B だから、
   P=2/π

となります。※までは理解できるのですがそれ以降が釈然としません。
またA≠Bの時はどうなりますか?
Aが大きすぎると確率が1以上になってしまいます。
解説できる方お願いします。以下の本に図も載っています。
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演習 大学院入試問題集 数学(2)(サイエンス社) P174
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A 回答 (3件)

siegmund です.



No.2の回答の図がどうも余りよくありませんでした.
cos 曲線が θ=π/2 でゼロになっていませんでした.
曲線は描けないのでどこかでボロが出るのですが,
下のようにすればもう少しましですね.
斜線は cos 曲線のつもり.
*の部分がΣです.

○ B > A の場合
    x
    │
 B/2├────────┐
    │        │
    │        │
 A/2│        │
    │\       │
    │*\      │
    │**\     │
    │***\    │
    │****\   │
    │*****\  │
    │******\ │
    │*******\│
    └────────┴──θ
   0        π/2

○ A > B の場合
    x
    │        
 A/2│        
    │\       
    │ \      
    │  \     
 B/2├────────┐
    │****\   │
    │*****\  │
    │******\ │
    │*******\│
    └────────┴──θ
   0    Θ   π/2

それから,
A < B,すなわち R < 1 ならこれでOKです,
と書いたのは P = P=2R/π でOKという意味です.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
大変よくわかりました。

お礼日時:2002/02/13 00:13

A < B,すなわち R < 1 ならこれでOKです.


A > B,すなわち R > 1 ならちょっと様相が異なります.

図を描いてみれば簡単です.
Ωの方は幅 π/2, 高さ B/2 の長方形ですね.
Σの方は x = (A/2) cosθの下側の面積です.
θ=0 のとき x = A/2 ですから,
A<B のときは cos 曲線はすっぽりΩの中に含まれています.
図では cos 曲線が描けないので斜線で代用してあります.
Σは*の部分の面積

    x
    │
    │
 B/2├──────────┐
    │          │
 A/2│          │
    │\         │
    │*\        │
    │**\       │
    └──────────┴──θ
              π/2

ところが A>B ですと,θがある値までは cos 曲線の方が長方形より上にあります.


    x
 A/2│
    │\
    │ \
 B/2├──────────┐
    │***\      │
    │****\     │
    │*****\    │
    │******\   │
    │*******\  │
    └──────────┴──θ
              π/2

cos 曲線とx=B/2 が交わるθの値をΘとして
Σ = (B/2)Θ + (A/2)∫{Θ~π/2} cosθ dθ
  = (B/2)Θ + (A/2)(1-sinΘ)
  = (B/2)Θ + (A/2){1-(1/A)√(A^2-B^2)}
ですから
P = Σ/Ω
 = (2/π){Θ + (1/B)[A-√(A^2-B^2)]}
になります.
R→∞ なら,Θ→π/2 で,上の式の{ }の第2項がゼロになりますから
めでたく P→1 というわけです.

ミスプリントなどあるかもしれませんので,チェックもよろしく.
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0<A<=Bのとき


横軸をθ、縦軸をxとしグラフを書きます
xの範囲は(0、B/2) θの範囲は(0、Π/2)
標本空間Ωは、この範囲の面積で横 Π/2、縦 B/2
よって、Ω=ΠB/4
針が平行線と交わるときΣは、x<=(A/2)cosθ を満たす部分の面積
わかり易くすると、y=(A/2)cosθとθ軸で囲まれた部分の面積 
 ただし、0<θ<Π/2
よって、Σ=int(0-Π/2)(A/2)cosθdθ=A/2
確率P=(交わるとき)/(全体)
=Σ/Ω
=(cosのグラフの面積)/(長方形の面積)
=(2A)/(BΠ)
また、A>Bのときは、平行線と二回交わる場合があるので
また別の議論になると思います
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/13 00:14

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