十分に広い紙に間隔Lで平行線を引き、そこに長さLの針を無作為に落とす。
針は必ず倒れるものとし、また、針と平行線の太さは無視できるとする。
針と線が交わる確率を解析的に求めよ。

解答
針の長さをA、平行線の間隔をB、A/B≡Rとする。
平行線からの針の中心Cからの距離をx、平行線の垂直方向と針のなす角をθとする。
針が平行線と交わる条件は
   x≦Acosθ/2…※
である。対称性から針の中心xは(0,A/2)の一様分布、θは(0,B/2)の一様分布と考えられる。
上のxとθを座標に取りその範囲の長方形の面積ををΩとし、※の面積をΣとすると、確率Pは
   P=Σ/Ω
で与えられる。従って、
Σ=int(0→π/2) Acosθ/2 dx=A/2
Ω=π/2*B/2=πB/4
   ∴P=2R/π
となる。ここで、A=B だから、
   P=2/π

となります。※までは理解できるのですがそれ以降が釈然としません。
またA≠Bの時はどうなりますか?
Aが大きすぎると確率が1以上になってしまいます。
解説できる方お願いします。以下の本に図も載っています。
***********************************************
演習 大学院入試問題集 数学(2)(サイエンス社) P174
***********************************************

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A 回答 (3件)

siegmund です.



No.2の回答の図がどうも余りよくありませんでした.
cos 曲線が θ=π/2 でゼロになっていませんでした.
曲線は描けないのでどこかでボロが出るのですが,
下のようにすればもう少しましですね.
斜線は cos 曲線のつもり.
*の部分がΣです.

○ B > A の場合
    x
    │
 B/2├────────┐
    │        │
    │        │
 A/2│        │
    │\       │
    │*\      │
    │**\     │
    │***\    │
    │****\   │
    │*****\  │
    │******\ │
    │*******\│
    └────────┴──θ
   0        π/2

○ A > B の場合
    x
    │        
 A/2│        
    │\       
    │ \      
    │  \     
 B/2├────────┐
    │****\   │
    │*****\  │
    │******\ │
    │*******\│
    └────────┴──θ
   0    Θ   π/2

それから,
A < B,すなわち R < 1 ならこれでOKです,
と書いたのは P = P=2R/π でOKという意味です.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
大変よくわかりました。

お礼日時:2002/02/13 00:13

A < B,すなわち R < 1 ならこれでOKです.


A > B,すなわち R > 1 ならちょっと様相が異なります.

図を描いてみれば簡単です.
Ωの方は幅 π/2, 高さ B/2 の長方形ですね.
Σの方は x = (A/2) cosθの下側の面積です.
θ=0 のとき x = A/2 ですから,
A<B のときは cos 曲線はすっぽりΩの中に含まれています.
図では cos 曲線が描けないので斜線で代用してあります.
Σは*の部分の面積

    x
    │
    │
 B/2├──────────┐
    │          │
 A/2│          │
    │\         │
    │*\        │
    │**\       │
    └──────────┴──θ
              π/2

ところが A>B ですと,θがある値までは cos 曲線の方が長方形より上にあります.


    x
 A/2│
    │\
    │ \
 B/2├──────────┐
    │***\      │
    │****\     │
    │*****\    │
    │******\   │
    │*******\  │
    └──────────┴──θ
              π/2

cos 曲線とx=B/2 が交わるθの値をΘとして
Σ = (B/2)Θ + (A/2)∫{Θ~π/2} cosθ dθ
  = (B/2)Θ + (A/2)(1-sinΘ)
  = (B/2)Θ + (A/2){1-(1/A)√(A^2-B^2)}
ですから
P = Σ/Ω
 = (2/π){Θ + (1/B)[A-√(A^2-B^2)]}
になります.
R→∞ なら,Θ→π/2 で,上の式の{ }の第2項がゼロになりますから
めでたく P→1 というわけです.

ミスプリントなどあるかもしれませんので,チェックもよろしく.
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0<A<=Bのとき


横軸をθ、縦軸をxとしグラフを書きます
xの範囲は(0、B/2) θの範囲は(0、Π/2)
標本空間Ωは、この範囲の面積で横 Π/2、縦 B/2
よって、Ω=ΠB/4
針が平行線と交わるときΣは、x<=(A/2)cosθ を満たす部分の面積
わかり易くすると、y=(A/2)cosθとθ軸で囲まれた部分の面積 
 ただし、0<θ<Π/2
よって、Σ=int(0-Π/2)(A/2)cosθdθ=A/2
確率P=(交わるとき)/(全体)
=Σ/Ω
=(cosのグラフの面積)/(長方形の面積)
=(2A)/(BΠ)
また、A>Bのときは、平行線と二回交わる場合があるので
また別の議論になると思います
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/13 00:14

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Q1/2π-θは余角。π-θ、π+θ、1/2π+θに名前はありますか?

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もしあればご教示ください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>90°からθを引いた角を余角と言いますが、

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>π-θ、π+θ、1/2π+θに名前はあるでしょうか?

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QΣ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ

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(iii) p<0の時
が分かりません。
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Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
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Qr^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)についての問題

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r^2(θ)=cos2θ (-π/4≦θ≦π/4、r≧0)

(1)dr/dθを求めよ。

自分なりに出した答えが
r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
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    = - √sin2θ/sin2θ  ←有利化

(2)dr/dθ = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1

(3)直行座標(x,y)で表したときに、dy/dx = 0となるθの値と、それに対応するr(θ)を求めよ。

x = rcosθ、y = rsinθ とおき、
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dy/dθ = rcosθ

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dy/dx = -cosθ/sinθ = -1/tanθ




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    = -1/√sin2θ
    = - √sin2θ/sin2θ  ←有利化

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dr/dθ = 0となるのはθ = 0のときで r(0) = √cos0 = 1

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Aベストアンサー

> r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
> dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
ここで間違い。
合成関数の微分を確実にマスターすること。
 これは高校レベルです。

dr/dθ =[{cos(2θ)}^(1/2)]'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{cos(2θ)}'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{-sin(2θ)}(2θ)'
=-{sin(2θ)}/{cos(2θ)}^(1/2)

> ←有利化
院受験者が誤字では困りますね。
「有理化」と正しく。
有理化はしてもしなくてもどちらでもOKと思います。
高校や大学受験の中高生なら別ですが…。

(2) (1)が間違っていますので たとえ結果が合っていても
(2)は零点になりますね。

>dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
>    = -1/√sin2θ
↑の(1)の間違った計算式からは
dr/dθ =0 となるθは存在しません。
ここで計算間違いに気が付かないといけませんね。

sin(2θ)=0→θ=0→ r(0)=√1=1

> (3)直行座標(x,y)
また誤字です。
「直交座標」のミス。

r^2=cos(2θ)=1-2(sinθ)^2
r^2=1-2(y/r)^2
x^2 +y^2=1-{2y^2/(x^2+y^2)}
(x^2+y^2)^2=x^2+y^2-2y^2
(x^2+y^2)^2=x^2-y^2…(A)
xで微分
2(x^2+y^2)(2x+2yy')=2x-2yy'
y'=-(x/y){x^2+y^2-(1/2)}/{x^2+y^2+(1/2)}
y'=0の時 x^2+y^2=(1/2)…(B) ←なぜx=0が排除されるか考えて下さい。
(A)に代入
x^2-y^2=1/4
x=±√6/4,y=±√2/4…(C)
r≧0,-π/4≦θ≦π/4から
r=√(x^2+y^2)=√2/2
cosθ=x/r=√3/2
∴θ=±π/6
r^2=cos(2θ)より
θ=±π/6→r(±π/6)=(√2)/2

> r(θ) = √cos2θ (∵ r≧0)
> dr/dθ = 1/2 x 2 x (-sin2θ)^(-1/2)
ここで間違い。
合成関数の微分を確実にマスターすること。
 これは高校レベルです。

dr/dθ =[{cos(2θ)}^(1/2)]'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{cos(2θ)}'
=(1/2){cos(2θ)}^(-1/2)}{-sin(2θ)}(2θ)'
=-{sin(2θ)}/{cos(2θ)}^(1/2)

> ←有利化
院受験者が誤字では困りますね。
「有理化」と正しく。
有理化はしてもしなくてもどちらでもOKと思います。
高校や大学受験の中高生なら別ですが…。

(2) (1)が間違っていますので たとえ...続きを読む

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

Qn^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθの極限

cosθ=exp(-(1/2)θ^2+a(θ)θ^2)
a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおく事をヒントに、
lim(n->∞)n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ=(2π)^1/2
が示せるそうなんですが、全くわかりません。
変数変換するんでしょうけどうまくいきません…助けてください。
(∫[x=-∞,∞] exp(-x^2) dx=π^1/2 を使うらしいです)

Aベストアンサー

a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおき、
θ√n=xとおくと、

n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ 
 = ∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

 cos(x/√n)=1-(1/2)x^2/n+O(x^4/n^2)

と書けるので、これをlogに入れてやると、

 log(cos(x/√n))=log(1-x^2/(2n)+O(x^4/n^2))

となります。logを1の周りで展開すると、

 log(cos(x/√n))=-x^2/(2n)-O(x^4/n^2)

となるので、結局、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2
     =n[-x^2/(2n)-O(x^4/n^2)]/x^2 +1/2
     =-1/2-O(x^2/n)+1/2
     =-O(x^2/n)

となります。これを元の被積分関数のexpに戻すと、
被積分関数 fn(x)は、

 fn(x) = exp(-(1/2)x^2 - O(x^2/n))

となります。
n→∞のとき、fn(x)→exp(-x^2/2) に収束します。また、このとき積分範囲は[-∞,∞]となります。

極限操作と積分の順序を入れ替えてもよいならば、
(この辺が少し曖昧ですが・・)

lim(n→∞)∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]fn(x)dx
 =∫[x=-∞,∞]exp(-x^2/2)dx
 =√(2π)

となります。

極限操作と積分の順序を入れ替えるには、何らかの定理を使う必要があるかもしれません。

a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおき、
θ√n=xとおくと、

n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ 
 = ∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

 a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

 cos(x/√n)=1-(1/2)x^2/n+O(x^4/n^2)

と書けるので、これをlogに入れてやると、

 log(cos(x/√n))=log(1-x^2/(2n)+O(x^4/n^2))

となります。logを1の周りで展開すると、

 log(cos(x/√n))=...続きを読む


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