楕円に内接する長方形の問題で・・・

x^2／a^2　+　y^2/b^2　=　1　の楕円に内接する長方形で、
面積が最大のものの辺の長さを求めよ。
という問題で、
(1)単位円に内接する長方形で面積が最大のものを求める。→正方形
(2)この楕円は単位円をx軸方向、y軸方向にそれぞれa倍、b倍に拡大したものだから
この楕円に内接する面積が最大の長方形は(2)で求めた正方形を
x軸方向、y軸方向にそれぞれa倍、b倍に拡大したものである・・・

という解き方は、解答として×でしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： take_5 回答日時： 2006/05/22 16:46

面白い質問ですね。

各々の最大値を求める事自体は極めて簡単です。
単位円：x^2＋y^2＝1上の点は(cosθ、sinθ)で表されるから、求める長方形の面積Ａは　Ａ＝4cosθ*sinθ＝2sin(2θ)≦2　等号は　θ＝π/4.

楕円：x^2／a^2　+　y^2/b^2　=　1上の点は(a*cosθ、b*sinθ)でせ表されるから、求める長方形の面積Ｂは　Ｂ＝4ab*cosθ*sinθ＝2ab*sin(2θ)≦2ab　等号は　θ＝π/4.

つまり、Ａ：Ｂ＝1：ab　‥‥(1)

単位円の面積はπ、楕円：x^2／a^2　+　y^2/b^2　=　1の面積は　π*ab。

単位円の面積：楕円の面積＝1：ab　‥‥(2)

確かに質問者の予想と一致する。
しかし、これは具体的に結果を求めたから判った事。
だから、この結果を一般性としてどのように論証するのか？

解くだけなら、こんな回り道する必要はない。
しかし、考えるだけなら結構面白い。

どなたか論証してください。

この回答へのお礼

＞楕円：x^2／a^2　+　y^2/b^2　=　1上の点は(a*cosθ、b*sinθ)でせ表されるから、求める長方形の面積Ｂは　Ｂ＝4ab*cosθ*sinθ＝2ab*sin(2θ)≦2ab　等号は　θ＝π/4.

なるほど・・・この解き方はスマートですね！
自分の持っている問題集の解答はもっとゴチャゴチャしていたので・・（ー▽ー；
解答ありがとうございました！

お礼日時：2006/05/22 21:42

No.2 回答者： hobdnm 回答日時： 2006/05/22 15:50

第１象限のある点を（x,y）とおいて式にあてはめ、つらつら計算すると、y座標は

b√(1-(x^2/a^2))
と表されました。

で、結局長方形の面積は4xyなので
4bx√(1-(x^2/a^2))
と表されます。

ここで４倍するのは問題の長方形は第１象限から第４象限まであるためです。第１象限の４つ分にあたるんですね。

で、これを微分して増減表を書くと
x=a/√(1+b)
の時に最大となります。

円の場合はa=b=1であるため上式に代入して
x=1/√2
つまり正方形となる点が面積の最大値となる、と思われます。

だから、
「最大となる点はx=a/√(1+b)に依存する」
ので（y座標はxを代入してまた計算）、x、yをそれぞれa、b倍したからと言って面積、あるいは辺の長さもまたそうなる、というわけではないと思います。

計算がややこしいですが、確かめてみてください。きっとこうなるはずです。

この回答へのお礼

ちょっと難しいですね（´д｀；
でもがんばって計算して確かめてみます！
回答ありがとうございました！

お礼日時：2006/05/22 21:40

No.1 回答者： take008 回答日時： 2006/05/22 11:07

解答が×か○かの基準は？

誰が読んでも納得する解答になっていれば○です。
あなたが，×でしょうか？と質問されたと言うことは，あなた自身が十分納得していないのだと思われます。
ですから×です。

単位円を楕円に拡大した時
円に内接する長方形の面積が円のα倍 ⇔ 対応する長方形の面積が楕円のα倍
ということを使って，誰もが納得できる説明に修正できると思います。

この回答へのお礼

＞円に内接する長方形の面積が円のα倍 ⇔ 対応する長方形の面積が楕円のα倍
ということを使って，誰もが納得できる説明に修正できると思います。

なるほど！（゜д゜）面積比を利用すればよいのですね。
回答ありがとうございました！

お礼日時：2006/05/22 21:38