何気に正弦定理など教育番組を観ていて気になって
しまいました.

その放送では三角形ABCについて,角Aの対辺BCを
辺aなどのように表しておりました.

疑問は他の多角形についても対辺という概念があるのか?
(偶数多角形でもあるとすればどのように?)

三角形以外の多角形でも正弦定理(を拡張したような)
公式に相当するものがあるのか?

以上,お願いします.

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A 回答 (1件)

 数学ではなく工学が専攻ですので数学的なことは分かりませんので自信なしということで回答します。


 偶数多角形でも対辺の概念はあります。例えば六角レンチのサイズなどは対辺で表しています(下のURL参照)。
 ただ、この場合、三角形とは異なり、角に対しての対辺ではなく、辺に対する対辺ですが。
要するに奇数多角形の場合は角に対して対辺。
偶数多角形の場合は、辺に対しての対辺となります。

三角形以外の多角形での正弦定理は作ろうと思えば作れます。
多角形を三角形に分割することができる可能なわけですから。

例えば、四角形は三角形2個から作れるので、正弦定理を各々の三角形に適用すれば一応正弦定理を拡張したものにはなります。

多角形でも同じです。
だんだん書いてて自信なくなってきた。

参考URL:http://www.vessel.co.jp/products/UH/index2.htm
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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます.

なるほど,偶数多角形は辺に対する対辺ですね.
普段六角レンチを使っているのに気が付きませんでした.

四角形の場合,ある角とその対角が対角線を通じて
正弦定理,余弦定理をあてはめることができるのですね.

今まで気にしていませんでしたが,これから注意してみることにします.

お礼日時:2002/02/13 16:46

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途中までできたのですけど、その後が教科書の答えのように式をつくれませんでした。

まず私は、
AI=l(1/c・c→+1/b・b→) と式を作りました。
これはAIを求める時に、単位ベクトルを1とし、
その中で、1/c・cが当てはまるので、これで一般線形表示の式をつくりました。

つぎに、OIを題意では聞かれてるのですが、まずAIとBIを求めると、過去の問題で理由はわかりませんけど、順序良く求めていくものなのでBIの式をつくりました。
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Aベストアンサー

「ベクトルAB」を (AB)↑ と書きます 「ベクトルm」は m↑ です。
ご質問に直接答えてないですが、まず、以下はOKですか?
(OA)↑= l↑
(OB)↑= m↑
(OC)↑= n↑
(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} とかける
ここで
(AI)↑+(IB)↑= (AB)↑ より
(AI)↑-(BI)↑= (AB)↑すなわち
h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} - k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} = m↑ - l↑
n↑の係数を比較すると、h/b - k/a = 0 すなわち h = kb/a
m↑の係数を比較すると、h/c + k/c + k/a = 1 すなわち h/c + k(a+c)/ac = 1
第一式を第二式に代入してhを消去すると kb/ac + k(a+c)/ac = 1 すなわち k(a+b+c)/ac = 1
すなわち k = ac/(a+b+c) よって
(BI)↑=k{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a} ={ac/(a+b+c)}{( l↑ - m↑)/c + ( n↑ - m↑)/a}
={a/(a+b+c)}( l↑ - m↑) + {c/(a+b+c)}( n↑ - m↑)
={a/(a+b+c)}l↑ - {(a+c)/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
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= {a/(a+b+c)}l↑ + {b/(a+b+c)}m↑ + {c/(a+b+c)}n↑
= (a*l↑ + b*m↑ + c*n↑)/(a+b+c)

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(OA)↑= l↑
(OB)↑= m↑
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(AB)↑= m↑ - l↑ よって (BA)↑= l↑ - m↑
(AC)↑= n↑ - l↑
(BC)↑= n↑ - m↑
次に
(AB)↑の大きさを1にすると  (m↑ - l↑)/c よって (BA)↑の大きさを1にすると ( l↑ - m↑)/c
(AC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - l↑)/b
(BC)↑の大きさを1にすると  ( n↑ - m↑)/a
(AI)↑=h{(m↑ - l↑)/c + ( n↑ - l↑)/b} とかける
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Q3辺の長さがBC=4、CA=6,AB=5のような三角形ABCにおいて

3辺の長さがBC=4、CA=6,AB=5のような三角形ABCにおいて、内心をIとする。AB→=b→、
AC→=c→として、AI→をb→、c→で表せ。

この問題わかりませんでした。

回答を見ると、
ABとACの長さは5,6なので、ABとAC上の単位ベクトルは、1/5b→、1/6c→となります。(単位ベクトルは1なので)
すると、その和の1/5b→+1/6c→は∠Aの二等分線上のベクトルであるので、AI→と同一直線状にあることがわかります。

よって、式を作ると
AI→=k(1/5・b→+1/6・c→)=t(6b→+5c→)
*K/30 =t とおく

質問1
AI→=K(1/5・b→+1/6・c)というのは、これは、ベクトルを最初に学んだ最初の部分のことですよね??ただ、そのあとの、t(6b→+5c→)というのと、(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。 この二つ、t(6b→。。)って部分は気がつかないといけない部分と、t=k/30の部分は、数学の世界って良くKとか置く事が多くて>_<今回この意味がわからないと絶対だめだと感じました。。

続き→
同様ににBA→=-b→、BC→=-b→+c→
BI→=l{1/5(-b→)+1/4(-b→+c→)} =l(ー9/20・b→+1/4・c→)=s(-9b→+5→c)と表せる。

質問2
最初のAIでも同じなんですけど、どうしてK(。。 やl(。。とlとkが出てきてるのですか??
あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分と
そのあとのs(-9b→+5→c)って部分がどうしてこのようになるのかわかりませんでした>_<

どなたか教えてくださいお願いします>_<

3辺の長さがBC=4、CA=6,AB=5のような三角形ABCにおいて、内心をIとする。AB→=b→、
AC→=c→として、AI→をb→、c→で表せ。

この問題わかりませんでした。

回答を見ると、
ABとACの長さは5,6なので、ABとAC上の単位ベクトルは、1/5b→、1/6c→となります。(単位ベクトルは1なので)
すると、その和の1/5b→+1/6c→は∠Aの二等分線上のベクトルであるので、AI→と同一直線状にあることがわかります。

よって、式を作ると
AI→=k(1/5・b→+1/6・c→)=t(6...続きを読む

Aベストアンサー

>(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。
  これはtと置かなくても大丈夫です。分数がないようにしているだけ
  でしょう。だから、t=k/30は気がつかなくても解けます。

>あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分とそのあとの・・・
  ※1と見間違うからl(エル)は大文字Lとしますね。
  これは、AI→のときと同じ考えで、BI→は、
  (BA→の単位ベクトルとBC→の単位ベクトルの和)×L・・・☆
  と表すことができ、BA→=-b→だからBA→の単位ベクトルは
  -1/5b→、BC→=c→-b→だからBC→の単位ベクトルは
  1/4(c→-b→)となるので、☆の式に代入して
  BI→=L(-1/5b→+1/4c→-1/4b→)=L(-9/20b→+1/4c→)
  L/20=sとおけば、-9L/20=-9s、L/4=5L/20=5sと表せ
  BI→=s(-9b→+5c→)となります。

  さっきと同じで、これもsと置き換えないでも大丈夫です。

あとは、AI→=AB→+BI→からt、s(または置き換えなしなら
k、L)の連立を解けば、t(またはk)が求められます。

>(k/30 = tとおく)って部分がわかりませんでした。
  これはtと置かなくても大丈夫です。分数がないようにしているだけ
  でしょう。だから、t=k/30は気がつかなくても解けます。

>あとl(-9/20・b→+1/4・c→)って部分とそのあとの・・・
  ※1と見間違うからl(エル)は大文字Lとしますね。
  これは、AI→のときと同じ考えで、BI→は、
  (BA→の単位ベクトルとBC→の単位ベクトルの和)×L・・・☆
  と表すことができ、BA→=-b→だからBA→の単位ベクトルは
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Aベストアンサー

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Q球面三角形の正弦定理・余弦定理

 球面上の非ユークリッド幾何学に興味を持ち、正弦定理・余弦定理があることまではわかったのですが、どこにも証明が載っておらずに困っています。どのような証明で導けるのでしょうか?

Aベストアンサー

今日は。直角球面三角形ABCにおいて、C=π/2 とすると、他の角A,BのsinA,cosA,tanA,sinB,cosB,tanB表示はご存知である事とし、
またcosc=OE/OB=OD/OB*OE/OD …(1)(Oは球の中心点です。またBD⊥OC, DE⊥OA, OB=1(単位長さ))とおきます。

一般の球面三角形の正弦定理は、まず球面三角形ABCの頂点Cから対辺ABまたはその延長と垂直に交わる大円の弧CDの長さをpとする。
直角球面三角形CADについて、
 sinA=sinp/sinb
直角球面三角形CDBについて、
 sinB=sinp/sina
∴sina/sinA=sinb/sinB
同様に、 sinb/sinB=sinc/sinC

一般の球面三角形の余弦定理は、先と同じ条件でpを設定し、弧AD=m, 弧BD=n とすれば、直角球面三角形CDBについて、(1)から cosa=cosp*cosn
同様に直角球面三角形CADから、 cosb=cosp*cosm
 n=c-m または m-c であるから、
 cosp=cosb/cosm=cosa/cosn=cosa/cos(c-m)
∴cosa=cosb*cos(c-m)/cosm=cosb*cosc+cosb*sinc*tanm
ところが、cosA=tanm/tanb から、
tanm=tanb*cosA よって、次の等式が成り立つ。
cosa=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA
cosb,coscも同様な方法で導かれるのでは。
図を示せなく解りずらくてご免なさいね。

今日は。直角球面三角形ABCにおいて、C=π/2 とすると、他の角A,BのsinA,cosA,tanA,sinB,cosB,tanB表示はご存知である事とし、
またcosc=OE/OB=OD/OB*OE/OD …(1)(Oは球の中心点です。またBD⊥OC, DE⊥OA, OB=1(単位長さ))とおきます。

一般の球面三角形の正弦定理は、まず球面三角形ABCの頂点Cから対辺ABまたはその延長と垂直に交わる大円の弧CDの長さをpとする。
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このときの、BDとBFの長さの求め方と長さを教えてください。

できるだけ、わかりやすい解説をお願いします。

Aベストアンサー

      A


   F


B-----D-E-------C

だいたいこんな図をイメージする。

(1) 「辺BCの中点をE」より BE = EC = 4.

(2) 「角Aの二等分線と辺BCとの交点をD」 より BD:DC = AC:AB = 5:7.
これには、まず、三角形ABEと三角形ADCのの面積比がAB:DCであることを示す。
(その証明のヒントは、ABDとADCが辺ADを共有していること)
そして、ABDは底辺BDで、ADCは底辺DC、高さは共通なので
ABDの面積 = 1/2 × BD × 高さ
ADCの面積 = 1/2 × DC × 高さ
この比がAC:ABなので、BD:DC = AC:AB

最後に
7BD = 5DC.
BD + DC = 8.
これを解けばよい。

(3)「角Bを共有、角BDF = 角BAEより、BFEとBEAは相似」よりBF:BE = BD:BA.
まず「角BDF = 角BAE」を示す。
これには、
「円に内接する四角形AFDEにおいて、角BAE + 角FDE = 180度」と
「角BDF + 角FDE = 180度」を用いればすぐわかる。
あとは、比を使って計算するだけです。

以上です。

      A


   F


B-----D-E-------C

だいたいこんな図をイメージする。

(1) 「辺BCの中点をE」より BE = EC = 4.

(2) 「角Aの二等分線と辺BCとの交点をD」 より BD:DC = AC:AB = 5:7.
これには、まず、三角形ABEと三角形ADCのの面積比がAB:DCであることを示す。
(その証明のヒントは、ABDとADCが辺ADを共有していること)
そして、ABDは底辺BDで、ADCは底辺DC、高さは共通なので
ABDの面積 = 1/2 × BD × 高さ
ADCの面積 = 1/2 × DC × 高さ
この比がAC:ABなので、BD:DC = AC:AB

最後に
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