試験前の勉強で分からなかった問題です。

体積変化以外に仕事のない系に関して、以下の問いに答えよ。
1.エンタルピーの自然変数を考えて、エンタルピーに対するオイラーの関係式を直接導出せよ。

2.上の結果を用いて、ギプス・デュエムの式を求めよ。

高校時代、物理を履修していなかったので式の作成が上手くできません。どなたかお願いします!

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」に関するQ&A: σ(・ω・*)はロト6を

A 回答 (1件)

よく本に載っているのは,ギブス自由エネルギーの G を使った話ですが,


思想は全く同じです.

成分 i のモル数を n(i),化学ポテンシャルをμ(i) とする.
i = 1,2,3,...
エンタルピー H について
(1)  dH = TdS + Vdp + Σ_i μ(i) dn(i)
は大丈夫ですよね.
(1)から明らかなように,H の自然な変数は S,p,n(i) だから
H(S,p,n(1),n(2),...) と書くことにする.
H は示量性の量だから,系をα倍にすると H もα倍になる.
S,p,n(i) のうち,示量性の量は S,n(i),示強性の量は p なので
(2)  αH(S,p,n(1),n(2),...) = H(αS,p,αn(1),αn(2),...)
である.
両辺をαで微分して,その後α= 1 とおくと
(3) H = S(∂H/∂S)_{p,n(1),n(2),...} + n(1)(∂H/∂n(1))_{S,p,n(2),n(3),...}
     + n(2)(∂H/∂n(2))_{S,p,n(1),n(3),...} + ...
になり,(1)からわかる
(4)  (∂H/∂S)_{p,n(1),n(2),...} = T
(5)  (∂H/∂n(1))_{S,p,n(2),n(3),...} = μ(1)
と合わせて
(6)  H = ST + Σ_i μ(i) n(i)
が得られる.これが H に対するオイラーの関係式.
(6)の微分形が
(7)  dH = SdT + TdS + Σ_i μ(i) dn(i) + Σ_i n(i) dμ(i)
だから,(1)と比べて直ちに
(8)  Σ_i n(i) dμ(i) = - SdT + Vdp
になる.
特に,T,p を一定にして n(i) だけを変化させるとき
(9)  Σ_i n(i) dμ(i) = 0
である.
(8)あるいは(9)がギプス・デュエムの式.

ヘルムホルツの自由エネルギーを使っても,同じ思想でできます.
試してみてください.

それから
> 高校時代、物理を履修していなかったので式の作成が上手くできません。
をいつまでも引きずっていちゃいけませんよ.
高校の物理なんて上のような内容に比べたら,
本当に大したことのないことしかやっていません.
大体,高校の物理じゃ微積は使わないし....
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました!
式を作ることに関しては早くできるようになりたいです。
これからがんばっていきたいと思うます。

お礼日時:2002/02/14 22:31

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Qオイラーの公式による波の解析について

オイラーの公式と実世界の波の扱い方がイマイチピンときません。
電磁気、量子物理などで、オイラーの公式を使った解析がでてくるので
少し困っております。少し数学と物理に詳しいかた、教えていただけませんか。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・基礎は大丈夫だと・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
オイラーの公式
ある波があったとしたら
y=exp(ix)=cosx+jsinx
これはcosxとsinxの冪級数展開によって証明できることもやって数学
的な土台は大丈夫だと思うのですが

さて本題ですが、
物理などでは電子や光子は波の性質と物質の性質をもち、
波としてみる場合 入射波と反射波の干渉による定常状態
が主に問題になるわけです。
例えば量子で言えば、波動方程式の解は
ψ={C1exp(ikx)+C2exp(-ikx)}exp(iωt)
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するべきなのでしょうか?
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関連がある場合は合わせて教えていただけるとありがたいです。
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 ごっちゃになっているかもしれないので聞いてみました。)

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Aベストアンサー

量子力学以外で出てくる波動関数は実関数で、物理量はイメージが把握できるのですが、
量子力学で扱う波動関数は、それ自身、意味を持っていません。波動関数から期待値などの
計算を行い、実数値の結果を得て初めて物理的意味が明らかになるのです。
そもそも、シュレディンガーの波動方程式が複素演算子を含んでいるので、その解である
波動関数が複素数であってもおかしくはないのです。

Qエンタルピー 熱 体積

エンタルピーは熱と体積の変化による仕事量を同時に考慮した内部エネルギーの変化量というように説明されています。
式では ΔU=Q+W Q熱量 W仕事量 内部エネルギーの変化量ΔU
としてQ=ΔU-W
ΔU-WをHとしてH=エンタルピー
Q=ΔH としています。
内部エネルギーの変化量から仕事量を差し引いたものをH(エンタルピー)としています。
つまりエンタルピーとは熱量そのものではないでしょうか?
最初の説明は仕事量も含んでおり矛盾を感じています。

Aベストアンサー

H=U+pV
これが定義です。

この定義から
⊿H=⊿U+⊿(pV)
であり、⊿Hが⊿U-W (W=-∫pdV)と必ずしも等しいわけではありません。
あくまで⊿(pV)=∫pdV が成り立つときに⊿H=⊿U-W となるのです。

#1のおっしゃられる通り、pが一定の条件下では⊿(pV)=∫pdVが成り立ちますので熱の出入りとエンタルピーの変化が等しくなります。
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Q相対性理論とオイラーの公式

相対性理論の通俗書を読んでいたら(v/C)^2+(m。/m)^2=1という式がありましたが。これはピタゴラスの定理とかsin^2x+cos^2x=1に似ているように思いました。又この頃習ったオイラーの公式で速度と質量をひとつのパラメータで表示できるのでしょうか。

Aベストアンサー

>(v/C)^2+(m。/m)^2=1という式がありましたが。これはピタゴラスの定理とかsin^2x+cos^2x=1に似ているように思いました。

 まず各パラメータが何かを明記してください。それと、この部分の質問は具体的に何をお聞きになりたいのですか?

>又この頃習ったオイラーの公式で速度と質量をひとつのパラメータで表示できるのでしょうか。

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オイラーの公式とド・モアブルの定理を利用して3倍角の公式を証明せよ。という問題のなのですが、私にはオイラーの公式の出番がないように思えます。。。
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一応。。。
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度もあぶるの定理はこの世に存在しなかったとして忘れてしまって結構
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Qギブス-デュエムの式

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[VB](VB*~VB)=-∫(0~b)nA/nB * (5.146-14.294b)db
までで行き詰りました。このあとはどうすれば良いのでしょうか?
よろしくお願いします。
因みに答えは18.079-0.0464b^2+0.0859b^3になるそうです。。

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> 答えがbがあるのでその式は使わないのでは?

nA/nB と b のあいだの関係式を導くのに

 b=(溶質 A のモル数)÷(溶媒 B のキログラム数) …… (式1)

を使います。

溶質 A のモル数=nA
溶媒 B のキログラム数=溶媒 B のグラム数÷1000
溶媒 B のグラム数=溶媒 B のモル数×溶媒 B の分子量

溶質 B のモル数=nB
溶媒 B の分子量=18.02

より

 b=nA÷(nB×18.02÷1000)

だから

 nA/nB=0.001802×b …… (式2)

となります。

> nA/nBは何を示しているのですか?

nA/nB は溶質 A のモル数と溶媒 B のモル数の比を表しているので、とくに何々濃度という名前がついているわけではありませんけれども、溶質 A の「濃度」を示しています。この「濃度」を b に変換するために(式1)の関係を使います。溶媒 B が水のときには、この変換式は(式2)になります。じっさいに式変形を追いかけてみるとわかるのですが、変換に必要なものは溶媒の分子量だけで、塩Aの式量はつかいませんから、Aの具体的な物質名が書いていなくても、nA/nB という「濃度」から b に変換することができます。

ここまでくればあとは、∫(0~b)nA/nB * (5.146-14.294b)dbに(式2)を代入して積分するだけで答えが出ます。

> 答えがbがあるのでその式は使わないのでは?

nA/nB と b のあいだの関係式を導くのに

 b=(溶質 A のモル数)÷(溶媒 B のキログラム数) …… (式1)

を使います。

溶質 A のモル数=nA
溶媒 B のキログラム数=溶媒 B のグラム数÷1000
溶媒 B のグラム数=溶媒 B のモル数×溶媒 B の分子量

溶質 B のモル数=nB
溶媒 B の分子量=18.02

より

 b=nA÷(nB×18.02÷1000)

だから

 nA/nB=0.001802×b …… (式2)

となります。

> nA/nBは何を示しているのですか?

nA/nB は溶...続きを読む

Qオイラー法による微分方程式の数値解法

dy/dx=-2xy^2
y(0)=1

でx=1での値の近似値をオイラーの方法で、求めよ(n=10)

という問題ですが、ウェブでオイラーの方法についてあらかた調べたのですが、記述が複雑うまく理解できませんでした。まず増やしていく幅のhは自由に設定していいのでしょうか?

オイラーの方法による解き方をやさしく教えていただけたら嬉しいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1階の常微分方程式
dy/dx = f(x, y)
の解
y = y(x)
に対して,初期条件
y0 = y(x0)
が与えられているなら,十分小さいhに対して,
y(x0 + h) ≒ y(x0) + y'(x0) h = y0 + f(x0, y0) h
が成り立ちます(1次近似).

# この1次近似がオイラー法の根本的な原理であり,これが解らなければ,オイラー法が解っていないというよりも,微分という考え方がまだ理解できていないと思われますので,もしそうなら,1次近似について復習してください.

そこで,
x1 = x0 + h
と置くと,
y(x1) ≒ y0 + f(x0, y0) h = y1
と表せます.

この式で求められるy1は飽くまで近似値なので,真の解のグラフが点(x1, y1)を通るとは限らないのですが,当たらずとも遠からずってとこでしょうから,点(x1, y1)が真の解のグラフ上にあるものとみなし,この点で同じ近似を行います:
y(x2) ≒ y(x1) + y'(x1) h = y1 + f(x1, y1) h = y2

同じようにして,逐次近似を行っていくと,一連の近似値が得られます:
y1 = y0 + f(x0, y0) h,
y2 = y1 + f(x1, y1) h,
y3 = y2 + f(x2, y2) h,
y4 = y3 + f(x3, y3) h,
...

そこで,xにおける解の値y(x)の近似値が欲しければ,区間[x0, x]をn等分し(本当は等分でなくてもいいのですが,簡単のためそうします),それぞれの分点に
x0, x1, x2, ..., x[n-1], xn = x
と名前を付けると,
y1 = y0 + f(x0, y0) h,
y2 = y1 + f(x1, y1) h,
...
y[n-1] = y[n-2] + f(x[n-2], y[n-2]) h,
yn = y[n-1] + f(x[n-1], y[n-1]) h.

これがオイラー法です.

このやり方は素朴で分かりやすいのですが,誤差が蓄積しますので,精度はあまり良くありません.

で,今回の微分方程式
dy/dx = -2x y^2,
y(0) = 1
ですが,VBSで簡単なコードを書いてみました:


'Euler法

Option explicit

Function f(x, y)
f = -2*x*y^2
End Function

Dim x, xn, y, h
Dim n, i

'初期条件
x = 0
y = 1

xn = 1 '評価点

n = 10 '分割数
h = (xn - x)/n '幅

For i = 1 To n
y = y + h*f(x, y)
x = x + h
Next

MsgBox "y(" & xn & ") = " & y


これをメモ帳でも何でもいいからテキストエディタで拡張子.vbsのテキトーなファイル名で保存し,アイコンをダブルクリックすると,

y(1) = 0.503641976039014

とか値が出力されます.

この微分方程式は,ANo.2さんが回答してくださっているように解析的に解けるのですが(変数分離形),真の解は
y(1) = 0.5
なので,確かに「当たらずとも遠からず」って感じです.

1階の常微分方程式
dy/dx = f(x, y)
の解
y = y(x)
に対して,初期条件
y0 = y(x0)
が与えられているなら,十分小さいhに対して,
y(x0 + h) ≒ y(x0) + y'(x0) h = y0 + f(x0, y0) h
が成り立ちます(1次近似).

# この1次近似がオイラー法の根本的な原理であり,これが解らなければ,オイラー法が解っていないというよりも,微分という考え方がまだ理解できていないと思われますので,もしそうなら,1次近似について復習してください.

そこで,
x1 = x0 + h
と置くと,
y(x1) ≒ y0 + f(x0, y0) h = y1
と表せ...続きを読む

Q断熱系での熱力学関係式の導出

熱力学の問題が解けなくて困っています。

断熱壁に囲まれた、体積一定の容器の中が1、2という2つの部分からなっている体系で、1、2の間の壁は動くことができます。
この壁は熱は通しますが、物質は通しません。
この1、2に入っている物質が同じもので、物質の量も同じ場合を考えます。

この体系のエントロピー変化ΔSを2次まで計算したときに出てくる項のうち

(δ^2S/δE^2)_V =ー1/T^2Cv
という項は導出できたのですが、


(δ^2S/δV^2)_E=1/T(dp/dV)_T ー (T(dp/dT)_V ー p)^2/(CvT^2)

(上の式でdは偏微分、_○は○一定、Cvは定積比熱です)

という式の左辺から右辺がどう式変形したら導出できるのかがわかりません。

断熱系、体積一定という条件を使うことはわかるのですが・・・

どなたか教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

-(1/T^2) p (∂T/∂v)_e + (1/T) (∂p/∂v)_e

= -(1/T^2) p (∂T/∂v)_e + (1/T) {(∂p/∂v)_T + (∂p/∂T)_v (∂T/∂v)_e}

= {-(1/T^2) p + (∂p/∂T)_v} (∂T/∂v)_e + (1/T) (∂p/∂v)_T

= (1/T^2){-p + T (∂p/∂T)_v} (∂T/∂v)_e + (1/T) (∂p/∂v)_T

= -(1/T^2){-p + T (∂p/∂T)_v} (∂e/∂v)_T/(∂e/∂T)_v + (1/T) (∂p/∂v)_T

= -(1/T^2){-p + T (∂p/∂T)_v} (∂e/∂v)_T/Cv + (1/T) (∂p/∂v)_T

これが (1/T) (dp/dv)_T - {T (dp/dT)_V - p}^2/(CvT^2) に等しいことを示すには

 (∂e/∂v)_T = -p + T (∂p/∂T)_v

であることを示せばよい。

(∂e/∂v)_T = (∂e/∂v)_s + (∂e/∂s)_v (∂s/∂v)_T = -p + T (∂s/∂v)_T

にマクスウェルの関係式 (∂s/∂v)_T = (∂p/∂T)_v を使えば (∂e/∂v)_T = -p + T (∂p/∂T)_v が得られる。

-(1/T^2) p (∂T/∂v)_e + (1/T) (∂p/∂v)_e

= -(1/T^2) p (∂T/∂v)_e + (1/T) {(∂p/∂v)_T + (∂p/∂T)_v (∂T/∂v)_e}

= {-(1/T^2) p + (∂p/∂T)_v} (∂T/∂v)_e + (1/T) (∂p/∂v)_T

= (1/T^2){-p + T (∂p/∂T)_v} (∂T/∂v)_e + (1/T) (∂p/∂v)_T

= -(1/T^2){-p + T (∂p/∂T)_v} (∂e/∂v)_T/(∂e/∂T)_v + (1/T) (∂p/∂v)_T

= -(1/T^2){-p + T (∂p/∂T)_v} (∂e/∂v)_T/Cv + (1/T) (∂p/∂v)_T

これが (1/T) (dp/dv)_T - {T (dp/dT)_V - p}^2/(CvT^2) に等しいことを示すには

 (∂e/∂v)_T = -p + T (∂p/∂T)_v

であ...続きを読む

Qオイラー法、ルンゲクッタ法について。

オイラー法、ルンゲクッタ法について。
この2つについて分からない事があるので質問します。
まず、オイラーについてですが、yi+1=yi+hf(x,y)という式がテイラー展開によって求まると言われましたが、テイラー展開の2次以降の項は微少量として無視できるのは分かります。でもそもそもテイラー展開ってひとつ先の値を今の値から求まるみたいな展開でしたっけ??というのが一つ目の質問です。

2つ目は、オイラーの式の中のf(x,y)についてです。簡単なバネ・マス・ダンパ系を考えた時、運動方程式はm・d2x/dt2+c・dx/dt+kx=0となると思いますが、この場合のf(x,y)はどうやって求めるのでしょうか。

3つ目はルンゲクッタそもそもについてです。
ルンゲクッタとはK1K2K3K4という係数(?)に1221という重みをかけるとyi+1が求まるそうですが、この理由がどんなサイトや本を見ても納得出来ません。
何か分かりやすい本やサイトがあれば教えて頂けないでしょうか。

以上3つの質問、回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

簡単に:
1: y は x の関数です. つまり y_i = y(なんか) と書けます. この式における「なんか」とは, いったいなんでしょうか?
2: 典型的には連立微分方程式で書く.
3: 「理由」というのが何の理由なのか読み取りにくいのですが, 「y_(i+1) が求まる」理由なら, 努力と根性でゴリゴリ計算すれば出てきます. 「重みの取り方」に対する理由だとすると, これは単純に「わかりやすい数値」というだけ.

Qギプスの相律についてです。 式としては f = c - p + 2 となっており c=成分の

ギプスの相律についてです。
式としては

f = c - p + 2

となっており

c=成分の数
p=相の数

です。

このとき、成分の数 って言うのは
何なのですか?
相の数と言うのは気相、液相
の数を数えたらいいんですが
成分の数がピンときません。

また、授業にて

系の状態を定める為に選んだ状態量を『状態変数』といい、
状態変数を用いて得られる状態量を
『状態関数』という。
示強性状態関数の最小数(自由度)fは
ギプスの相律によって決まる。
と習いました。

ここで
系の状態を定めるとはどうゆう事か
という疑問を持ちました。

あと、自由度を求めて
なにに使えるのでしょうか?

悩んでいる問題は

25℃の温度にて水とその飽和蒸気からなる系の自由度を求めよ。

です。

Aベストアンサー

懐かし過ぎて混乱しました、
成分の数は物質の数です、今回c=1、p=2だからf=1
どうやってもこの状態から逃れられません。
自由度は化学工学において非常に重要で、無意味な状態の可能性を排除してしまいます。
なお超臨界状態になると相が減るので成り立たなくなります。


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