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n角形の対角線の数を求めるのに、n(n-3)/2という公式がありますよね。この式の証明を教えていただきたいのですが。

A 回答 (4件)

n角形には、n個の頂点があります。


直線を引くには、二点を結べば線が引けます。
n個の頂点を結ぶ線は、2個の点を選ぶことと同じなので nC2 個あります。
ただし、対角線とは、外側のn個の辺は除くので
対角線の個数は、nC2 - n 個です。
あとは計算で
nC2 - n =n(n-1)/2-n
=n(n-3)/2 となります。
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この回答へのお礼

 結構簡単な証明だという事がわかりました。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/02/15 09:09

まず、1つの角から対角線を引いてみると、


両隣の角と今引こうとしている角には、
対角線が引けないので(n-3)
それがn角あるので n(n-3)
全ての角から対角線を引くと、行って来いでダブってしまう為、
2で割らなければならない。
ということで、
n(n-3)なります。
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この回答へのお礼

 ありがとうございました。分かりやすかったです。

お礼日時:2002/02/15 09:11

ある頂点から他の頂点へ引かれる対角線の本数は,自分と両隣の頂点を除いた頂点の数だけあります.....(n-3)



各頂点の合計は...n(n-3)

対角線を両方向から重複して2回数えているので1/2してn(n-3)/2
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/15 09:15

n角形の対角線の数



1・頂点の数は、n個。
2・対角線は、隣り合わない頂点間の線である。
3・ある1つの頂点に対して、隣り合わない頂点の数は、 n-3 個。
4・すなわち、ある1つの頂点に対して、n本の対角線が引ける。
5・n個の頂点から、引ける対角線の数は、n(n-3)。
6・頂点Aから頂点Bへの対角線と、頂点Bから頂点Aへの対角線は同一とするので、合計の対角線の数は半分になる。
7・よって、n(n-3)/2 になる。

ちょっと言葉の表現が、うまくないような気がします。
とくに、6あたりはカッコ悪いですね。
「対角線は、頂点を2つ持つから2で割る」と言ってもいいですね。
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この回答へのお礼

 そんな事はありません。よく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2002/02/15 09:14

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