n角形の対角線の数を求めるのに、n(n-3)/2という公式がありますよね。この式の証明を教えていただきたいのですが。

A 回答 (4件)

n角形には、n個の頂点があります。


直線を引くには、二点を結べば線が引けます。
n個の頂点を結ぶ線は、2個の点を選ぶことと同じなので nC2 個あります。
ただし、対角線とは、外側のn個の辺は除くので
対角線の個数は、nC2 - n 個です。
あとは計算で
nC2 - n =n(n-1)/2-n
=n(n-3)/2 となります。
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この回答へのお礼

 結構簡単な証明だという事がわかりました。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/02/15 09:09

まず、1つの角から対角線を引いてみると、


両隣の角と今引こうとしている角には、
対角線が引けないので(n-3)
それがn角あるので n(n-3)
全ての角から対角線を引くと、行って来いでダブってしまう為、
2で割らなければならない。
ということで、
n(n-3)なります。
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この回答へのお礼

 ありがとうございました。分かりやすかったです。

お礼日時:2002/02/15 09:11

ある頂点から他の頂点へ引かれる対角線の本数は,自分と両隣の頂点を除いた頂点の数だけあります.....(n-3)



各頂点の合計は...n(n-3)

対角線を両方向から重複して2回数えているので1/2してn(n-3)/2
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/15 09:15

n角形の対角線の数



1・頂点の数は、n個。
2・対角線は、隣り合わない頂点間の線である。
3・ある1つの頂点に対して、隣り合わない頂点の数は、 n-3 個。
4・すなわち、ある1つの頂点に対して、n本の対角線が引ける。
5・n個の頂点から、引ける対角線の数は、n(n-3)。
6・頂点Aから頂点Bへの対角線と、頂点Bから頂点Aへの対角線は同一とするので、合計の対角線の数は半分になる。
7・よって、n(n-3)/2 になる。

ちょっと言葉の表現が、うまくないような気がします。
とくに、6あたりはカッコ悪いですね。
「対角線は、頂点を2つ持つから2で割る」と言ってもいいですね。
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この回答へのお礼

 そんな事はありません。よく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2002/02/15 09:14

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Q四角形で面積が2倍だと対角線は何倍でしょうか。

軽い質問ですみません。
四角形で面積2倍だと対角線は何倍になるのでしょうか
あと、正四角形と長方形でも同じでしょうか。
計算式にすると割と難しくなるような気がしますけど
できれば式も教えていただけたらとおもいます。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

ルート(√)の計算を知っているという前提で話をします。

まず、正四角形(正方形)で考えてみます。
・1辺の長さが1の正方形は面積も1(=1×1)になります。
・1辺の長さが√2の正方形は面積が2(=√2×√2)
辺の長さは、√2倍になるということです。
正方形は、相似形(同じ形)をしているので、
大きさが変わっても面積が2倍になれば、辺の長さも対角線の長さも√2倍になります。

次に普通の四角形を考えます。
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結果、全体である四角形も面積は2倍になります。

Qn角形の対角線の数

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よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

たとえば、五角形ABCDEで考えてみましょう。

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よって、Aから引ける対角線の数は、5(=頂点の数)-3(自分自身+隣の頂点×2)=(n-3)です。

それを、5つの頂点すべてで数えるので、n(n-3)です。

ここで、Cから引ける対角線を考えてみます。

Cからは、CEとCAです。
でも、AからCに引いたACと、CからAに引いたCAは、ダブりますよね。

AからDに引いたADと、DからAに引いたDAも、ダブります。

どこからどこに引いても、必ず逆の方向で引いた対角線とダブります。

だから、n(n-3)を2で割るのです。

>Wっているので数えないようにする対角線の数が必ず1/2となる理由が理解できないのです。

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Q四角形対角線交差角度

四角形ABCDの対辺長さ(AB,CD)とその対角線長さ(AD,BC)
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条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
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Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
すなわち、四角形ABCDと四角形ABC'D'は共に条件を満たす四角形ですが
対角線のなす角は常に∠APB=∠AP'Bとはなりません。

つまり、四角形ABCDの形状は一意に確定しません(異なる形状の四角形ABCDが何通りも作図できます。)
条件を満たす四角形ABCDの対角線の交点をPに対して、∠APB≠一定です。
つまり、条件を満たす異なる四角形ABCDについて対角線の交点Pは、同じ円弧上にない(円周角∠APBが同じではない)ので、∠APBは一定ではない。つまり∠APBは辺AB,BC,対角線AC,BDだけでは求まらないということです。

No.1です。

ANo.1の補足の訂正をした場合

辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
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Qn角形の対角線の数は?

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Aベストアンサー

対角線の交点をEとすると対角線の交わる角度は
∠BEC=∠AED=x, ∠AEB=∠CED=yです。
ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
sin(∠EBC)=√{1-(cos(∠EBC))^2}=√{4(BC*BD)^2-(BC^2+BD^2-CD^2)^2}/(2BC*BD)
sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この4つの三角関数を(※)に代入して arccosをとれば角度x[ラジアン]が求まります。
対角線の角度xの単位はラジアンですが、度数法にするには「180/π」をかけてやれば 度(°)の単位に変換できます。
もう1つの補角の角度yなら y=π-x[ラジアン]で求まります。度(°)単位であれば「180/π」を掛ければ変換できます。

対角線の交点をEとすると対角線の交わる角度は
∠BEC=∠AED=x, ∠AEB=∠CED=yです。
ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
sin(∠EBC)=√{1-(cos(∠EBC))^2}=√{4(BC*BD)^2-(BC^2+BD^2-CD^2)^2}/(2BC*BD)
sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この4つの三角関数を(※)に代入して arccos...続きを読む

Q3/(n+2)(n+5)= 1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>} ???

{1/(n+2)}-{1/(n+5)}=3/(n+2)(n+5)…(1)です。更に
1/3 {<1/(n+2)>-<1/(n+5)>}…(2)
にと変形できるそうです。
読んでいる本に、(1)の分子の3を1にする為に上の変形が紹介されていたのですが、

(1)と(2)は同じ数値、大きさになるのでしょうか? 
分子と分母で数字が同じでも、分子を1にして元々の数字で割ってしまっては(分母に元の数字を)、違う大きさになると思うのですが…
2/1と1/2は違いますし…

Aベストアンサー

A-B=3Cだから、C=(1/3)(A-B)だ、といっているのです。

1/(n+2)-1/(n+5)=3{1/(n+2)(n+5)}だから
1/(n+2)(n+5)=(1/3){1/(n+2)-1/(n+5)}になりますよということ。
(2)の方の式に等号がありませんが、左辺(あるいは右辺)に
くるべきものをいっしょに考えてください。

Q四角形ABCDで、AD、BCの中点をそれぞれP、Qとし、また対角線AC、BDの中点をそれぞれR、Sと

四角形ABCDで、AD、BCの中点をそれぞれP、Qとし、また対角線AC、BDの中点をそれぞれR、Sとするとき、四角形PSQRは平行四辺形になることを証明せよ。

Aベストアンサー

たぶん、中学の幾何の問題ですよね?

△ACDにおいてRP//CDかつRP=1/2CD(中点連結定理)……①
△BCDにおいてQS//CDかつQS=1/2CD(中点連結定理)……②
①、②よりQS//RPかつQS=RP……③
③より向かい合う2辺が平行で長さが等しいので、四角形PSQRは平行四辺形であると分かります。
(証明終わり)

No.2の方が、四角形PSQRの向かい合う2組の辺が平行であることを指摘していらしたので、こちらは別解として向かい合う1組の辺が平行で長さが等しいことからの証明にしてみました。

Q正n角形を正(n*2^m)角形にしていった極限の円の同一性

初歩的な質問で恐縮です。nがどのような整数であるかにかかわらずmを無限大にしたものは円になると思いますが、この円が同一であることを証明するにはどのような勉強をしたらよいでしょうか。

Aベストアンサー

数学的帰納法を使って以下のような手順で、証明すれば良いかと思います。

正n角形の外接円の半径Rは,
外接円の中心Oと正n角形の1つの頂点と結んだ線分の長さに等しいこと。
正2n角形は
正n角形の頂点間の円弧を2等分した点を頂点に加えて、2n個の頂点を結んで
構成できること。なので、追加された頂点と円の中心までの距離が正n角形の半径に等しいこと。

正n2^m角形についの外接円の半径が正n角形の半径Rに等しいと仮定し、
正n2^(m+1)角形について、頂点間を2等分した点を正n2^m角形の頂点に加えて正n2^(m+1)角形が構成でき、新たに追加された頂点と正n2^m角形の円の中心までの距離が、正n2^m角形の外接円の半径(正n角形の半径Rに等しい)に等しいことを示す。

Q2本の対角線が、下の図のように交わっている四角形の名前を書きなさい。

自分で選んだ答えは、

(1)正方形、ひし形
(2)ひし形、平行四辺形
(3)平行四辺形
(4)長方形

解答をみると、
(1)正方形
(2)ひし形
(3)平行四辺形
(4)長方形

でした。

(1)でひし形、(2)で平行四辺形を選ぶのは間違ってますか?

他の問題で「対角線が直角に交わる四角形を選べ」というのがあって、答えは「正方形とひし形」。
対角線が直角に交わるものは平行四辺形と見なしてはいけないんでしょうか。

それぞれの選んではいけない理由も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)「正方形」は「ひし形」の特殊な場合(頂角が直角)。その「特殊」の条件が成立していたら、「特殊」な方の名前で呼ぶのが普通です。

(2)同様に、「ひし形」は「平行四辺形」の特殊な場合(長辺と短辺の長さが等しい)。こちらも、「特殊」の条件が成立していたら、「特殊」な方の名前で呼ぶのが普通です。

 質問者さんの論法でいくと、お示しの問題の答はすべて「四角形」でもよいということになってしまいます。

 ものごとの概念には、「上位の概念」と「下位の概念」とがあって、「下位」にいくほど「具体化、詳細化」され、上位ほど「抽象化、包括化」されます。また、どういうくくりで概念化したかの経路にも依存します。
 どのレベルの概念でいうべきかは一律には決められませんが、通常は「その場で要求される最も具体化、詳細化されたレベル」で述べるのが普通と考えるべきでしょう。

 たとえば「質問者さんは何人(なにじん)ですか」と聞かれて、
(宇宙人に聞かれたら)「地球人」
(人種的な意味で聞かれたら)「アジア人」(黄色人)
(国際会議で聞かれたら)「日本人」
(国内で聞かれたら)「関西人」「東北人」
など、いろいろなレベルでの答え方があり、その場その場で「適切なレベル」を選択すると思います。宇宙人や国際会議で「関西人」と答えても意味が通じないでしょう。

 数学の「図形」の問題では、「共通認識」として上のようなレベルだということです。「正しい」「間違っている」ということではなく、「そういう共通認識」ということです。「数学」という土俵で論じる以上、それを「知らない」では済まされないということです。

(1)「正方形」は「ひし形」の特殊な場合(頂角が直角)。その「特殊」の条件が成立していたら、「特殊」な方の名前で呼ぶのが普通です。

(2)同様に、「ひし形」は「平行四辺形」の特殊な場合(長辺と短辺の長さが等しい)。こちらも、「特殊」の条件が成立していたら、「特殊」な方の名前で呼ぶのが普通です。

 質問者さんの論法でいくと、お示しの問題の答はすべて「四角形」でもよいということになってしまいます。

 ものごとの概念には、「上位の概念」と「下位の概念」とがあって、「下位」にいく...続きを読む

Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む


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