自然数と言うのは整数の一部だし整数とは実数の一部だし実数は複素数の一部だ、また分数と言うのは有理数の一部だし・・・・ということをベン図に書いて表すと複素数と言うのが一番大きなまる(範囲)になりますよね。僕は大学1年生です。それ以上にもっと定義と言うか範囲の広いもの(複素数をも包み込むもの)はないんですか?このことを大学の教授に質問したら四元数があり八元数があるといわれました。それ以上は無いのですか?又その定義についても教えていただけるとありがたいです。絵が無いのと私の文章力のため若干わかりにくいとは思いますがご回答のほうお願いします。

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A 回答 (5件)

> 僕にさっぱり何のことかよく分かりませんでした。


いやあ,こういう話はすぐボロを出してしまうので,私も余り自信はありません.

複素数の段階では,複素数を係数とする代数方程式の解が複素数に
収まりますので,それなりに閉じた世界と言えます.

でも,もっと拡張というのも当然の方向でして
(数学は拡張によって発展したようなものでしょう),
その一つの拡張方向が四元数...です.
ここらへんは nikorin さんも書かれておられます.

複素数までは演算法則が実数と同じでした.
それ以上の拡張には犠牲がいるらしく(?),
四元数では乗法の交換法則が成立しません.つまり xy ≠ yx.
八元数ではさらに乗法の結合法則が成立しません.つまり (xy)z ≠ x(yz).
だから,八元数では xyz なんて書いてはいけないのですね.
(xy)z か x(yz) かわかりませんから.

nikorin さんによると
>除法が一意的に可能な数体系は1,2,4,8次元のものに限られる
ということですので,八元数より上に拡張しようとすると
犠牲が大きすぎてボロボロになってしまうということでしょう.
もう少しきちんとするなら,
除法が定義できないと「体」にならないと言えばいいでしょうか.

四元数で言うなら,√(-1) が i だけでなく,j,k とあることになります.
したがって,四元数の一般的な形は
z = a + bi +cj + dk
ということになります.a,b,c,d は実数.
交換法則が成立しないというのは,具体的には ij = -ji の類です.

多少はお答えになっているでしょうか.
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この回答へのお礼

拡張の方向が色々あるという事は分かりました。それ以外はさっぱりでした。でもありがとうございました。

お礼日時:2002/02/17 10:27

数というものの定義に関わる非常に難しい問題だと思います。


数の拡張の「方向」(課せられる制限)が変わればいろんな結果になるんではないでしょうか?

ただし、除法が一意的に可能な数体系は1,2,4,8次元のものに限られる
という結果(8次元以上はない)がM. Kervaire 、J.Milnor(> Ann. of Math. 68, 444 (1958))
という数学者によって証明されているそうです。
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この回答へのお礼

拡張の方向が1つではないという事を初めて知りました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/17 10:29

siegmund先生、ご指摘の通り、


私がした質問
No.193082 質問:n次元ベクトルの外積の定義
の回答のNo.12、oodaiko先生の解説が非常にわかりやすいです。



参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=193082
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この回答へのお礼

あんまりよく分からなかったですけどありがとうございます。

お礼日時:2002/02/16 18:14
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この回答へのお礼

ありがとうございます。名前だけ並べていただければ結構です。四元数、八元数、一六元数というふうに。No1の方もNO3の方もお願いします。僕にさっぱり何のことかよく分かりませんでした。

お礼日時:2002/02/16 18:23

ひょっとしてこれの事でしょうか。



参考URL:http://www.nk.rim.or.jp/~jun/3d_info/quaternion. …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。お手数ですがもう少し分かりやすくお願いします。

お礼日時:2002/02/16 18:25

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#2よりやさしいと思います。
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間違いないです。無限小超実数は0に無限に近い超実数のことですし、
有限超実数は有限の実数に無限に近い超実数になりますから、
無限小超実数の集合⊂有限超実数の集合 になります。

#2,#4です。

(#5さんへ)

>> いいえ、lim Δx=0(Δx→0)です。

門外漢ながら、
http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/jissen/jissen18.html
に lim[Δx→+0]Δx = dx という記述があったので#4のような回答をしました。
しかし、これには私も疑問を感じます。
恐らく、下記の説明のほうがいいのではないかと思います。

正の無限小超実数を1つ選び、dx とおく。
すると、lim[x→+0] f(x) の極限値が存在するならば、
lim[x→+0] f(x) = st(f(dx)) が成り立つ。
(ここで、s...続きを読む


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