ジョーカーを除いた一組52枚のトランプがある。

無作為に5枚のカードを取り出したとき、同じ数字または絵が4枚揃う確率

ごめんなさい。こっちがどうしても悩んでいる方なのです。  (さっきのも自信が持てなかったので、こっちは全く......(@@) )
どうしても、5回引けるというところに引っかかっています。
 何回目で関係ないのを引く・・・ってやっていって、最後に全ての論理和を求めれば良いのでしょうか?

A 回答 (11件中1~10件)

◆Naka◆


再登場です。
まず先にお詫びを申し上げます。
先ほどの#1の回答に不備がありました。
「お礼」をいただき、考えて直していたときに間違いに気付きました。
それは「同じ種類」のところだったのですが、それについては後述します。

じゃあ、「同じ数字」を考えてみましょう。
最後の5枚目に「違う数字」が入る確率は…
(52/52)×(3/51)×(2/50)×(1/49)×(48/48)=1/20825
になりますよね??
じゃあ、その「違う数字」が3枚目に来たとすると、どうなるか考えてみましょう。
(52/52)×(3/51)×(48/50)×(2/49)×(1/49)=1/20825
となって、分母・分子が同じですから、結局同じですよね?
「違う数字」は5ヶ所に入り得ますから…
(1/20825)×5=1/4165
となって、先ほどの答えと同じになります。

次は「同じ種類」ですが、ここで先ほどはミスりました。
これは「5枚とも同じ種類」と「5枚中4枚が同じ種類」に分けて計算し、あとで加えなければいけませんでした。
まず「5枚とも同じ種類」ですが…
(52/52)×(12/51)×(11/50)×(10/49)×(9/49)=33/16660
になりますね。
次いで、「5枚中4枚が同じ種類」ですが…
(52/52)×(12/51)×(11/50)×(10/49)×(39/48)×5=143/3332
となります。
これを加えて、
33/16660+143/3332=187/4165

そして、さらにこれに「同じ数字」の「1/20825」を加えて…
187/4165+1/4165=188/4165
ということになります。

どうも失礼しました。訂正できてよかったです。 m(_ _)m
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◆Naka◆


なるほど、そう言われてみれば… (^^;)
でも「5枚そろっている」のは、当然「4枚」を含みますから、「ちょうど4枚」とか、「4枚だけ」という記述がない限り大丈夫だと思いますよ。
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◆Naka◆


そうなんですよ~。「うっかり」ばっかやっちゃうんですよね。 (^○^)
「なんだ、簡単じゃん。」なんて思って。
rukaandkaitoさんも「うっかり」をやっちゃったみたいですし…(「5枚目は何でも良いので、1/48だから」のところですね)
というわけで、stomachmanさんのお答えと、やっと一致しました。(#2の「188/4165」です)
これはみんなでミスって、引き分けかな?? (^o^)
(なんで回答者3人で10回答…???)
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この回答へのお礼

いや~ 本当にお手数かけました^^;;
ありがとうございます。
皆さんのお手数を考えると、ポイントを誰かに決めないといけないのってつらいですね^^;;

 ちなみに、この文章で判断したときに、「4枚揃う」を
「4枚以上揃う」と解釈しても良いのでしょうか?
私も悩んでいます。
 これを一応告げておいてご一考いただいてから締め切りたいと思います。

お礼日時:2000/12/26 11:13

うあああ。

Stomachmanまぁた間違えてしまいました。うほほほほい。こんどは計算間違いです。
 そうか、これがieyasuさんの仰る状況なのね....

どうも答えがでかい。変だとおもってよく見たら.....(10/49)の因子が落ちてました。
p1 = 5 × (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(39/48) + (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(9/48)
= {(13/52)(12/51)(11/50)(10/49)}(1/48)(5 × 39 + 9)
= {(13/52)(12/51)(11/50)(10/49)}(1/48)204
= {(13/52)(12/51)(11/50)(10/49)}(1/12)51
= (13/52)(11/50)(10/49)
= (1/4)(11/50)(10/49)
= (1/4)(11/5)(1/49)
よって、
P = 4 × p1 = 4 × (1/4)(11/5)(1/49)= (11/5)(1/49) = 11/(5×49)
です。

従って、
P+Q = 11/(5×49) + 1 /(17 × 49 × 5)
= (11×17 + 1 )/(17 × 5×49)
= 188 / 4165 = 0.045138...です。
こんどこそ!! 自信アリはやめておこう。Nakaさん助けてぇ~
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この回答へのお礼

いや~ 本当にお手数かけました^^;;
ありがとうございます。
皆さんのお手数を考えると、ポイントを誰かに決めないといけないのってつらいですね^^;;

 ちなみに、この文章で判断したときに、「4枚揃う」を
「4枚以上揃う」と解釈しても良いのでしょうか?
私も悩んでいます。
 これを一応告げておいてご一考いただいてから締め切りたいと思います。

お礼日時:2000/12/26 11:13

Stomachman間違えてしまいました。

簡単とか言っちゃって...とほほ。
直前の回答において
×「同じスーツが5枚中4枚揃う確率P」というのは間違いで、
○「同じスーツが5枚中4枚以上揃う確率P」が正解です。

従って、(2)は以下のように訂正する必要があります。
(2) 「同じスーツが5枚中4枚以上揃う確率P」は
「スーツ1が5枚中4枚以上揃う(確率p1)」, ...,「スーツ4が5枚中4枚以上揃う(確率p4)」が同時に起こることはありません。したがって P = p1+....+ p4です。また明らかにp1 = ... = p4です。従って、P= 4 × p1です。
「1回目にスーツ1以外を引き、他はスーツ1ばかり引く(確率p1,1)」,..,「5回目にスーツ1以外を引き、他はスーツ1ばかり引く(確率p1,5) 」および「全部スーツ1ばかり引く(確率p1,0)」も同時に起こることはありません。明らかにp1,1=.... =p1,5なので、従ってp1 = 5 × p1,5 + p1,0。
そして
p1,5 = (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(39/48)
p1,0 = (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(9/48)
ですから、
p1 = 5 × (13/52)(12/51)(11/50)(39/48) + (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(9/48)
= {(13/52)(12/51)(11/50)}(1/48)(5 × 39 + 9)
= {(13/52)(12/51)(11/50)}(1/48)204
= {(13/52)(12/51)(11/50)}(1/12)51
= (13/52)(11/50) = (1/4)(11/50)
よって、
P = 4 × p1 = 4 × (1/4)(11/50)= (11/50)
です。

一方、Qの方はそのままで、
Q = 13 × 5 × (4/52)(3/51)(2/50)(1/49)
= 5 × (3/51)(2/50)(1/49) = (3/51)(1/5)(1/49) = 1 /(17 × 49 × 5)
ですから、
P+Q = (11/50) + 1 /(17 × 49 × 5)
= (17 × 49 ×11 + 10)/(17 × 49 × 50)
= 9173 / 41650 = 0.22024... です。
ということは、Nakaさんも検算の要あり、かもしれません。
今度も敢えて自信アリにしておきましょう。
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アホついでのStomachmanの以下の計算、結果はNakaさんと一致しました。

良かった良かった。

「同じスーツが5枚中4枚揃う(確率P)」と「同じ数字が5枚中4枚揃う(確率Q)」が同時に起こることはありません。したがって、「同じスーツが5枚中4枚揃うか、あるいは同じ数字が5枚中4枚揃う」の確率はP+Qです。

(1) 「同じ数字が5枚中4枚揃う確率Q」は
「数字1が5枚中4枚揃う(確率q1)」, ... , 「数字13が5枚中4枚揃う(確率q13) 」が同時に起こることはありません。したがって、Q = q1 + q2 + .... + q13 です。また明らかにq1 = q2 = .....= q13 です。従って Q = 13 × q1 です。
 q1において「1回目に数字1以外を引き、他は数字1ばかり引く(確率q1,1)」,..,「5回目に数字1以外を引き、他は数字1ばかり引く(確率q1,5) 」も同時に起こることはありません。明らかにq1,1=.... =q1,5なので、従ってq1 = 5 × q1,5。
そして q1,5 = (4/52)(3/51)(2/50)(1/49) ですから、
Q = 13 × 5 × (4/52)(3/51)(2/50)(1/49) = 13 × 5 × (4 × 3 × 2)/(52 × 51 × 50 × 49)

(2) 「同じスーツが5枚中4枚揃う確率P」は
「スーツ1が5枚中4枚揃う(確率p1)」, ...,「スーツ4が5枚中4枚揃う(確率p4)」が同時に起こることはありません。したがって P = p1+....+ p4です。また明らかにp1 = ... = p4です。従って、P= 4 × p1です。
 p1 = 「1回目にスーツ1以外を引き、他はスーツ1ばかり引く(確率p1,1)」,..,「5回目にスーツ1以外を引き、他はスーツ1ばかり引く(確率p1,5) 」も同時に起こることはありません。明らかにp1,1=.... =p1,5なので、従ってp1 = 5 × p1,5。
そして p1,5 = (13/52)(12/51)(11/50)(10/49) ですから、
P = 4 × 5 × (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)= 4 × 5 × (13 ×12 × 11× 10)/(52 × 51 × 50 × 49)

以上から、
P+Q ={4 × 5 × 13 ×12 × 11× 10 + 13 × 5 × 4 × 3 × 2}/(52 × 51 × 50 × 49)
={4 × 5 × 13 ×12 × 11× 10 + 13 × 5 × 4 × 3 × 2}/(52 × 51 × 50 × 49)
=(13 × 4) × {5 × 12 × 11× 10 + 5 × 3 × 2}/(52 × 51 × 50 × 49)
= 52 × 5 × {12 × 11× 10 + 3 × 2}/(52 × 51 × 50 × 49)
= 52 × 5 × 3 × 2 × {2 × 11× 10 + 1}/(52 × 51 ×50 × 49)
= 52 × 5 × 3 × 2 × 221 /(52 × (17 × 3) ×50 × 49)
= 52 × 5 × 3 × 2 × (13 × 17) /(52 × 17 × 3 ×(5 × 5 × 2) × 49)
= 13 /(5 × 49)
= 13 /(5 × 49)
= 13/245 =Nakaさんの答:221/4165 (これは17で約分できるんです!)

 この問題は確率の計算としては例外的に簡単な例です。というのは事象を適当に分類すると、完全に独立な事象に分けられるからです。普通はこうは行きません。
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◆Naka◆


もう一ヶ所ありました~。(^^;)

>そして、さらにこれに「同じ数字」の「1/20825」を加えて…

じゃなくて、「同じ数字」の確率は、「1/4165」でしたね。
答えはやっぱり同じです。
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◆Naka◆


再々登場です。 (^^;)
二ヶ所、書きミスっちゃいました。

>じゃあ、その「違う数字」が3枚目に来たとすると、どうなるか考えてみましょう。
>(52/52)×(3/51)×(48/50)×(2/49)×(1/49)=1/20825

>まず「5枚とも同じ種類」ですが…
>(52/52)×(12/51)×(11/50)×(10/49)×(9/49)=33/16660

この最後の (1/49)と(9/49) は、それぞれ(1/48)と(9/48) です。
答えはそのままで結構です。

しっかしstomachmanさん、スゴイ!! (^^;)
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質問のご主旨は、1まいづつ何が起こるか。

ってことのようですんで、キカイに手伝って貰ってやってみたら1時間かかりました。(アホか!)

以下、その結果ですが、手でいじった所が多いので、数字のチョンボはご容赦下さい。

最初の1枚のカードを選んだ。としましょう。
すると2枚目の可能性は、
[1] 同じ数字の3枚。確率(3/51)
[2] 同じスーツの12枚。確率(12/51)
[S] したがってスカは、確率(36/51)

(1)2枚目は1枚目と同じ数字(従ってスーツは異なる)。こうなる確率は(3/51)です。
3枚目としては、
[1] 同じ数字の2枚のどれか。確率(2/50)
[2] 1枚目か2枚目と同じスーツの24枚。確率(24/50)
[S]スカの確率は(24/50)です。

(1-2)3枚目は1枚目、2枚目と同じ数字(従ってスーツは異なる)。こうなる確率は(2/50)(3/51)です。これで数字を揃えるしかなくなりました。
[1] 4枚目で同じ数字の1枚を当てる。確率(1/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(1/49)(2/50)(3/51)です。
[2] 4枚目でスカを引き、5枚目で同じ数字の1枚を当てる。確率(1/48)(48/49)=(1/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(1/49)(2/50)(3/51)です。
[×]はずす確率は(1-(2/49))です。
-> ●失敗!この状態にくる確率は、(1-(2/49))(2/50)(3/51)です。

(1-2)3枚目は1枚目か2枚目と同じスーツ(従って数字は異なる)。こうなる確率は(24/50)(3/51)です。4枚目、5枚目で
[1] 既に2枚ある同じ数字を続けて引く。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(24/50)(3/51)です。
[2] 既に2枚ある同じスーツの11枚から続けて引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(24/50)(3/51)です。
[×]はずす確率は(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))です。
-> ●失敗!この状態にくる確率は、(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))(24/50)(3/51)です。

(1-S)3枚目はスカ。こうなる確率は(24/50)(3/51)です。もう後がない。
4枚目、5枚目で
[1] 同じ数字の2枚を続けて引く。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(24/50)(3/51)です。
[×]はずす確率は(1-(1/48)(2/49))です。
-> ●失敗!この状態にくる確率は、(1-(1/48)(2/49))(24/50)(3/51)です。

(2)2枚目は1枚目と同じスーツ(従って数字は異なる)。こうなる確率は(12/51)です。
3枚目としては
[1] 同じスーツの11枚のどれか。確率(11/50)
[2] 1枚目か2枚目と同じ数字の6枚。確率(6/50)
[S]スカの確率は(33/50)です。

(2-1)3枚目も同じスーツ。こうなる確率は(11/50)(12/51)です。これでスーツを揃えるしかなくなりました。
[1] 4枚目で同じスーツの10枚のどれかを引く。確率(10/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(10/49)(11/50)(12/51)です。
[2] 4枚目でスカを引き、5枚目で同じスーツの10枚のどれかを引く。確率(10/48)(39/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(10/48)(39/49)(11/50)(12/51)です。
[×]はずす確率は(1-(10/49)-(10/48)(39/49))です。
-> ●失敗!この状態にくる確率は、(1-(10/49)-(10/48)(39/49))(11/50)(12/51)です。

(2-2)3枚目は1枚目か2枚目と同じ数字(従ってスーツは異なる)。こうなる確率は(6/50)(12/51)です。4枚目、5枚目で
[1] 同じスーツの11枚のどれかを続けて引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(6/50)(12/51)です。
[2] 既に2枚ある同じ数字を続けて引く。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(6/50)(12/51)です。
[×]はずす確率は(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))です。
-> ●失敗!この状態にくる確率は、(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))(6/50)(12/51)です。

(2-S)3枚目はスカ。こうなる確率は(33/50)(12/51)です。もう後がない。
4枚目、5枚目で
[1] 同じスーツの11枚のどれかを続けて引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(33/50)(12/51)です。
[×]はずす確率は(1-(10/48)(11/49))です。
-> ●失敗!この状態にくる確率は、(1-(10/48)(11/49))(33/50)(12/51)です。

(S)2枚目はスカ。こうなる確率は(36/51)です。
まだ完全にアウトではありませんが、もう後がない。3枚目としては、
[1]1枚目と同じスーツで2枚目と同じ数字、あるいは2枚目と同じスーツで1枚目と同じ数字、の2枚。確率(2/50)
[2]1枚目か2枚目と同じ数字の6枚のうち、[1]の2枚を除く4枚。確率(4/50)
[3] 1枚目か2枚目と同じスーツの24枚のうち[1]の2枚を除く22枚。確率(22/50)
つまり、残り50枚のうち、狙うのは28枚です。
[×]はずす確率は(22/50)です。
-> ●失敗!この状態にくる確率は、(22/50)(36/51 )です。

(S-1)3枚目で「1枚目と同じスーツ、2枚目と同じ数字」あるいは「2枚目と同じスーツ、1枚目と同じ数字」をひいた。こうなる確率は(2/50)(36/51)。
まだ、スーツを揃えに行くのか、数字を揃えに行くのかは確定しません。
4枚目、5枚目としては、
[1] スーツを揃えるには、既に2枚あるスーツと同じ、11枚のうちの2枚を引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(2/50)(36/51)です。
[2] 数字を揃えるには、既に2枚ある数字と同じ、2枚を引き当てる。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(2/50)(36/51)です。
[×」はずす確率は(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))です。
-> ●失敗!この状態にくる確率は(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))(2/50)(36/51) です。

(S-2)3枚目で、1枚目か2枚目と同じ数字の6枚のうち、「1枚目と同じスーツで2枚目と同じ数字、あるいは2枚目と同じスーツで1枚目と同じ数字、の2枚」を除く4枚のどれかを引いた。こうなる確率は(4/50)(36/51 )です。
もう、数字で行くことは確定しましたし(スーツは3枚ともばらばらです。)その数字も決まりました。
[1] 4枚目と5枚目で続けて残り2枚の同じ数字を引く。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(4/50)(36/51 )です。
[×]失敗する確率(1-(1/48)(2/49))
-> ●失敗!この状態にくる確率は(1-(1/48)(2/49))(4/50)(36/51 )です。

(S-3)3枚目で、1枚目か2枚目と同じスーツの24枚のうち、「1枚目と同じスーツで2枚目と同じ数字、あるいは2枚目と同じスーツで1枚目と同じ数字、の2枚」を除く22枚のどれかを引いた。こうなる確率は(22/50)(36/51 )です。
もう、スーツで行くことは確定しましたし(数字は3枚ともばらばらです。)そのスーツも決まりました。
[1] 4枚目と5枚目で続けて同じスーツを引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功!!この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(22/50)(36/51 )です。
[×]失敗する。確率(1-(10/48)(11/49))
-> ●失敗!この状態にくる確率は(1-(10/48)(11/49))(22/50)(36/51 )です。
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先の方の意見が少し納得がいかないため記述します。


トランプは52枚ありますが、同じ数字は4枚ずつある訳ですよね!
ということは、
1枚目の確立は1/52、同じ数字なので、
2枚目の確立は3/51、
3枚目の確立は2/50、
4枚目の確立は1/49です!
5枚目は何でも良いので、1/48だから
同じ数字を4枚引く確立は1/51979200では?
上記は順番が変わっても確立は変わりません。
理由は分母の数(残りカード枚数)は、必ず52,51…48になります。
分子の数も同じく1枚目は必ず1で同一のカードを引き当てるたびに、1ずつ減っていきます。
違うカードは残り枚数の内の1つを引き当てるので、1,1,1,2,3となります。

次に同一シーク(絵柄)の場合
1枚目の確立は1/52
2枚目の確立は11/51
3枚目の確立は10/50
4枚目の確立は9/49
5枚目の確立は1/48ですね!
つまり、11/3465280になります

で、双方を足せば結論が出ます。
=1/51979200 + 11/3465280
=1/51979200 + 165/51979200
=166/51979200
=11/3465280

で、大体35万5千分の1です!?
もの凄い確立のように思えますが、ランダムに引いた5枚のカードの出現率は1/311875200ですから、
3億以上のパターンのうちから引き当てることを考えると、中々の確立ではないでしょうか?
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