aを実数とする。次の不等式について問いに答えよ。
x^2-(a-1)x-a≦0・・・(ⅰ)
x^2-(1-a)x-a≧0・・・(ⅱ)
1)(ⅰ)を満たすxの値を範囲を求めよ。
2)(ⅱ)を満たすxの値を範囲を求めよ。
3)(ⅰ)と(ⅱ)を同時に満たすxの値を範囲を求めよ。

上のような問題なのですが(1)からわかりません。
自分では(ⅰ)の式に判別式を用いて場合分けの境界(a=-1)は出したんですが、その先がわかりません。
また、(3)については(ⅰ)∩(ⅱ)だと思うのですが、(1)と(2)の答えが出ないことには解けません。

解答は持っていますので解法をご教授ください。よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

既にUKYさん、ryu20さん、siegmundさんから解法の方針は示されていますが、実際に解くと以下のようになります。

文字を含む不等式ですので場合分けに注意して解くことが必要です。

まず最初の式ですが幸運にも簡単に因数分解できる形ですので、判別式を持ち出すまでもなく
x^2-(a-1)x-a≦0   (1)

(x-a)(x+1)≦0   (2)
と書き直せます。境界はx=a, x=-1の2個所にあるな、と検討がつきますが、aと-1の大小によってちょっと状況が変わってきます。この場合に見通しを立て易くするには数直線上に図示するのが一番です。

(A)-1≦aの場合
数直線上に表すと(等幅フォントでご覧下さい)
            a
(x-a) ────────●━━━━━→x
          -1
(x+1) ──────●━━━━━━━→x

それぞれ太線の部分で正になります。●ではちょうど0です。(x-a)と(x+1)を掛けたものが負(0を含む)、という条件ですから、片方が正(0も含む)で片方が負(0も含む)という個所を探すと
-1≦x≦a   (3a)
が(1)を満たすことが分かります。なおa=-1の場合はただ一点、x=-1のみが解になります。

(B)a≦-1の場合
上のちょうど逆になります。
          a
(x-a) ──────●━━━━━━━→x
            -1
(x+1) ────────●━━━━━→x

上記と同様に議論し、答えは
a≦x≦-1   (3b)

であることが分かります。

2番目の不等式も同様に解けます。
(x-1)(x+a)≧0   (4)
と因数分解できますから、境界はx=1, x=-aにあることが分かります。答えだけ書くと、
(C)-a≦1(すなわち-1≦a)の場合 x≧-a または 1≦x   (5a)
(D)1≦-a(すなわちa≦-1)の場合 x≧1 または -a≦x   (5b)
となります。今度は(x-1)と(x+a)の積が正または0となるようにxの範囲を決める必要があることに注意。

最後の問題3)はおっしゃるように、両方の重なる部分を取ればよいことになります。ただし場合分けには注意。(境界はx=-1, -a, 1, aの4個所ありそれら相互の大小関係で分けることになります)

(E)-1≦aなら
上記の(A)(C)で重なるxの範囲が答え。今度はaと1の大小によって重なる範囲が変わってきますので、さらに場合分けが要ります。。
(E-1)さらにa≦1なら
            -1  a
不等式(1)の解─────●━━━●──→x
          -a   1
不等式(4)の解━━━●───●━━━━→x

となります。(太線が不等式を満たす範囲。●は含む)
両方を満たすのは1≦x≦aです。

(E-2)a=1なら
           -1   1
不等式(1)の解────●━━━●──→x
           -1   1
不等式(4)の解━━━━●───●━━━━→x

となって、両方を満たすx=1と-1のみが解になります。ちょっと特殊です。

(E-3)さらに0≦a≦1なら
          -1   a
不等式(1)の解───●━━━●──────→x
            -a   1
不等式(4)の解━━━━━●───●━━━━→x

となります。(太線が不等式を満たす範囲。●は含む)
両方を満たすのは-1≦x≦-aです。

(E-4)さらに-1≦a≦0なら
          -1  a
不等式(1)の解───●━━●──────→x
              -a   1
不等式(4)の解━━━━━━━●───●━→x

両方を満たすのは-1≦x≦aです。

(F)a≦-1なら
上記の(B)(D)で重なるxの範囲が答えです。こちらの場合分けは簡単で
         a  -1
不等式(1)の解─●━━●────────→x
               1  -a
不等式(4)の解━━━━━━━●──●━━→x

両方を満たすのはa≦x≦-1です。

計算ミスをしているかも知れませんので、念のためご自身で確認しながら読んでいただければ幸いです。
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この回答へのお礼

私の勘違いから始まったこの質問にお付き合いいただきありがとうございます。
数直線がとてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/19 18:15

UKY さん:


> 判別式がどうのこうのというより、ただ単に不等式の解を求めればいいのではないかと思います。

私もそう思います.
(i)は
x^2-(a-1)x-a = (x+1)(x-a)
と因数分解できますから,不等式の解は直ちにわかりますよね.
a と -1 の大小関係で分類が必要ですが.

(ii)も
x^2-(1-a)x-a = (x-1)(x+a)
ですから,(i)と同じような方針でできます.

(i)(ii)ができれば a の分類に注意して(iii)は簡単でしょう.
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この回答へのお礼

そうですね。無事解くことができました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/19 20:29

解の公式か、因数分解を利用します。


1)解の公式を利用
  x^2-(a-1)x-a=0の解は
  x=a,-1
ここでaの場合分けをし、
  a≧-1 ; -1≦x≦a
a≦-1 ; a≦x≦-1
となります。

  因数分解を利用
  x^2-(a-1)x-a≦0
(x-a)(x+1)≦0
よって(x-a)と(x+1)がどちらかが正で、もう一方が負ならば成り立ちます。
  つまり、(x-a)≧0∧(x+1)≦0 or (x-a)≦0∧(x+1)≧0
  これをまとめると解の公式と同じになります。
  
2)は同様にやりましょう。
3)はおっしゃる通り(1)∧(2)です
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/19 19:01

判別式がどうのこうのというより、ただ単に不等式の解を求めればいいのではないかと思います。



2次方程式の解の公式を使って、不等式の解を求めればいいでしょう。
もちろん解はaを含んだ数になります。

2次不等式の問題で判別式は、主に
「不等式の解が存在するようなaの範囲を求めよ。」
というような問題でよく使います。
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この回答へのお礼

迅速なご回答ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/19 18:35

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Q2次不等式の解答についての質問です。

2次方程式 x²-2x+2=0 の答えは複素数範囲で「x=1±i」で、2次不等式 x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」のようですが、この不等式の答えとして、やはり複素数範囲で「x<1-i、1+i<x」というのは不適なのでしょうか?

Aベストアンサー

この話は結構深刻で、深刻な問題ほど学校は対応しない傾向にあり、悩みが後を引くことがあります。しかしあるときなんとなく考え違いしていたことに気が付いて、納得できることがあります。

>2次不等式 x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」のようですが、
xy平面においてy=x²-2x+2のグラフを書くとx軸と交わることがなくどこでも
  y>0
よって x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」となるわけです。

だけど解の公式で求めたx=1±iが使えないじゃないかという疑問は尤もです。

しかしここで考えましょう。このxy平面でx=1±iはどこなんだと見まわすと、実は居場所がない。つまり別の世界の数字だということです。

そこでそもそも不等式とかもっと基本的な大小の概念は実数の世界のもので、虚数(複素数)の入り込む余地はないのです。この点をしっかり押さえておいてください。「虚数に大小はない。」

将来、横軸に実数、縦軸に虚数を取ったガウス平面というものを習うかもしれませんが、それは実数のみを扱うxy平面と矛盾するものではありません。

Q(aのx乗−3)(aのx乗+8)の計算方法は、 =a^x × a^x − 3a^x + 8a^x +

(aのx乗−3)(aのx乗+8)の計算方法は、

=a^x × a^x − 3a^x + 8a^x +(−3)8

=a^x^2 + 5a^x −24

であっていますか?

Aベストアンサー

(a˟)ⁿ=a˟ⁿ=aⁿ˟ [ 例:a³˙²=a²˙³=a⁶ ]

このまま展開しても良いけどa˟=yとでも置けば
(y-3)(y+8))=y²+5y-24

y=a˟に戻すと
(a˟)²+5a˟-24

(a˟)²=a˟²=a²˟

∴a²˟+5a˟-24

Q一次不等式の解の存在条件(整数解の個数)

模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。

[問]
xについての連立不等式
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
がある。
この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。

===============================
[模範解答]
「a<0」、「0<aかつa-3<0」、「3<a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、
「0<aかつa-3<0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。
※ 他三つの場合は省略。

【a=3の場合】
(イ)かつ(ロ)はx<0と同値で不適
----
【0<aかつa-3<0の場合】
(イ)と(ロ)は次のようになり、不適
(イ): x<3(a-3)
(ロ): x≦a
===============================

【a=3の場合】の説明について
どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

【0<aかつa-3<0の場合】の説明について
なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

よろしくお願いします。

模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。

[問]
xについての連立不等式
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
がある。
この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。

===============================
[模範解答]
「a<0」、「0<aかつa-3<0」、「3<a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、
「0<aかつa-3<0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。
※ 他三つの場合は省略。

【a=3の場合】
(イ)かつ(ロ)はx<0と同値で不...続きを読む

Aベストアンサー

>【a=3の場合】の説明について
>どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

a=3と置くと

ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)

3x<3×3(3-3) ---(イ)
(3-3)x≧3(3-3) ---(ロ)

3x<3×3×0 ---(イ)
0x≧3×0 ---(ロ)

x<0 ---(イ)
0x≧0 ---(ロ)

(ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。

「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。

(イ)さえ成り立てば「連立する」のです。

(イ)は、最終的に

x<0

になっちゃってますから「(イ)かつ(ロ)」は「x<0と同じ」って事です。

>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

「x<0であるxは無限にある」ので「連立不等式を満たす整数がちょうど3個」という条件に合いません。

「条件に合わない」から「不適」と言っているのです。

「なぜ不適なのか」と言われたら「x<0であるxは無限にあって、3個だけじゃないから不適」なのです。

xが-1でも、-2でも、-3でも、-4でも、何でも成り立つでしょう?

>なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

【0<aかつa-3<0の場合】
って事は
【0<aかつa<3の場合】
です。

【0<aかつa<3の場合】
を満たすaは、1と2だけです。

aが1の場合

(イ): x<3(a-3)
(ロ): x≦a

(イ): x<3(1-3)
(ロ): x≦1

(イ): x<3×2
(ロ): x≦1

(イ): x<6
(ロ): x≦1

(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。

つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。

これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。

さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね?

それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。

aが2の場合

(イ): x<3(2-3)
(ロ): x≦a

(イ): x<3(2-3)
(ロ): x≦1

(イ): x<3×1
(ロ): x≦1

(イ): x<3
(ロ): x≦1

(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。

つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。

これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。

さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね?

それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。

これで「aが1の場合は不適、aが2の場合も不適」と判りました。

なので「ここで導き出された二式から不適と判断できる」のです。

出題者が欲しい正解は

「aが○○の時」

です。

aに○○を入れた時、成り立つxが無限個あったり、0個だったり、1個だったり、2個だったり、4個以上だったら駄目なんです。

aに○○を入れた時、成り立つxは、x=◎、x=△、x=□の3個しかない、って場合だけ「aが○○の時」ってのが正解になるのです。

>【a=3の場合】の説明について
>どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

a=3と置くと

ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)

3x<3×3(3-3) ---(イ)
(3-3)x≧3(3-3) ---(ロ)

3x<3×3×0 ---(イ)
0x≧3×0 ---(ロ)

x<0 ---(イ)
0x≧0 ---(ロ)

(ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。

「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。
...続きを読む

Qy=2x^3-6x^2-18x+13が極小値をとるときのxの値の求めかたを教えてください。

y=2x^3-6x^2-18x+13が極小値をとるときのxの値の求め方(求める過程の一部分)を教えてください。
(2x^3=2の三乗を意味します)

解説書には、
f(x)=2x^3-6x^2-18x+13とすると、
f'(x)=6x^2-12x-18
=6(x-3)(x+1)  ・・・以下省略
とあるのですが、

f(x)=2x^3-6x^2-18x+13とすると、
f'(x)=6x^2-12x-18
の部分が理解できません。

初歩的な質問ですみませんが、
どなたか教えてください。

どうぞ宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

f(x)=2x^3-6x^2-18x+13 を微分すると、
f'(x)=3*2x^(3-1)-1*18x^(1-1)=6x^2-12x-18 になります。

この微分された f'(x) を導関数と云い、この値は、関数 f(x) のグラフにおいて、点 x における接線の傾きを表し、極値(極大値または極小値)の接線は水平で、f'(x)=0 です。

よって、f'(x)=6x^2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0 より、X=3,-1 の点で、
f(x) は極値を取ります。

なお、X=3,-1 の点で、f(x) が極大値または極小値のいずれを取るかの問題が残っていますが、解説書を見ても判らないとき、また、質問して下さい。 

Q不等式

僕は数学の不等式系の問題や単元がものすごくキライで苦手です。
不等式が出てきたら一瞬にして集中力も切れ勉強する気がなくなります。
今、不等式の表す領域をチャートで勉強していたのですが全くわかりません。
それにやる気までなくなりました。
不等式の苦手意識を克服する方法はありませんか?
今高三理系で受験生です。

Aベストアンサー

苦手意識を作ってしまった事が諸悪の根源です。それを断ち切るには、最初に戻って一から勉強しなおすことです。数学Iで不等式を習いますから、教科書の問を順に解いていくことをお勧めします。不等式の扱いは他の分野に比べて特に難しいところはありません。復習して最初からやり直すことで何ら難しい分野ではないことが分かると思います。

 さて、不等式の表す領域ですが、これはがよくわからないのは不等式の難しさとは別のところにあると思います。特に不等式の表す領域におけるxとyの表す式の最大値最小値問題が難しいのは不等式が苦手なのとは別の次元にあります。

 数学の解答を読んで分からないのは、その解答が何をしているか気づかないからです。では、なぜ気付かないのかというと経験が少ないからです。チャートを勉強しているときに、解答を読んで分からなければ、むしろ自力で解いてみるといいです。人の解答を読むより、自分で解くほうがむしろ簡単です。(解答が読めない人の場合)指針など、解法の要点を理解したらあとは自分で解いてみたらどうでしょうか。

このアドバイスが参考になれば幸いです。

Q3次方程式 x^3+3x^2+(a-4)x-a=0 の異なる解は2つであるようにaの値

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★3次方程式 x^3+3x^2+(a-4)x-a=0 の異なる解は2つであるように、定数aの値を定めよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

#4の解は誤り。この回答者は、いつも平気で誤答を書き込むから、注意してください。本人も、質問者も。

(x-1)*(x^2+4x+a)=0 ‥‥(1)となるが、これが条件を満たすには、f(x)=x^2+4x+a=0 ‥‥(2)とすると、
【1】(2)が重解をもち、それがx≠1である時
【2】f(x)=0の解で、一つが1で、もう1つが x≠1である時

実際の計算は、自分でやって。

Q数1 不等式

不等式がちっともわからないのでアドバイスお願いします。

※2乗は~で表させていただきます

xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
     x~2-ax-2a~2ー(2)  (aは定数)

1、不等式(1)を解いて下さい

これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。


2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

全然解らないです((汗

3、不等式(1)、(2)を同時に満たすxの整数値がちょうど2個存在するときaのとりうる値の範囲を求めてください

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

>xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
1、不等式(1)を解いて下さい
これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。

そうですね。skyline-gtr-32さんの答えどおりでいいです。

x^2-2x=x(x-2)≦0なので
0≦x≦2という答えの範囲になります。

>2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

まず、(2)の不等式を因数分解します。

x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)<0・・・(☆)
なんですよね。
さて、
(x-p)(x-q)<0という不等式の答えの範囲は、
p<qという条件つきならば、p<x<q
が答えになりましたよね?

(☆)を見てみると、-aと2aの大小比較をして、
(小さいほう)<x<(大きいほう)
というのが答えになるのが分かると思います。

-aと2aはどちらが大きいのでしょうか?
2a<-aとすると、3a<0となるので、a<0となって0<a<1に矛盾します。
-a<2aとすると、0<3aとなって、これは0<a<1にあてはまりますから
-aのほうが2aより小さいです。
したがって、答えは

-a<x<2aとなります。

さらに、(1)(2)を同時に満たす、ということは

0≦x≦2
-a<x<2a・・・(★)
の2つを同時に満たしている、ということですね。
ここで、0<a<1ですから
(★)は-1<a<x<2a<2ということになりますから、0≦x≦2との共通部分は
0≦x<2a
ということになります。

>3、不等式(1)、(2)を同時に満たすxの整数値がちょうど2個存在するときaのとりうる値の範囲を求めてください

0≦x<2a
の中に、整数解が2個あるようにするには、
x=0,x=1が入ればいいので
1<2a
つまり(1/2)<a
0<a<1の条件と合わせれば、1/2 <a<1
ということになると思います。

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

>xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
1、不等式(1)を解いて下さい
これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。

そうですね。skyline-gtr-32さんの答えどおりでいいです。

x^2-2x=x(x-2)≦0なので
0≦x≦2という答えの範囲になります。

>2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

まず、(2)の不等式を因数分解します。

x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)<0・・・(☆)
なんですよね。
さて、
(x-p)(x...続きを読む

Q[問] h(x)=x^25-x^13+5とする時、(x-1)^2で割った時の余りを求めよ。

[問] h(x)=x^25-x^13+5とする時、(x-1)^2で割った時の余りを求めよ。
[解]
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h(1)=5なので、a+b=r=5とは置ける事は分かりますがこれからどうするのでしょうか?
答えはMapleで解いたら12x-7と出ました。

Aベストアンサー

h(x)を(x-1)^2で割ったあまりをa・x+bとすると
h(x)=g(x)・(x-1)^2+a・x+b
h'(x)=(g'(x)・(x-1)+2・g(x))・(x-1)+a
よって
h(1)=a+b
h'(1)=a

Q不等式の問題

息子と共に不等式を勉強しています。問題レベルはx-3 ≤ 4 程度です。
今息子の頭は初めての不等式でこんがらがってます。そこで回答付きの問題をネットにて探しています。
一次不等式の問題、何かいいサイトありますか?
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

あ~難しいですよね・・・

これなんかどうでしょう?

参考URL:http://www7a.biglobe.ne.jp/~mkun/Mathematics/renhutou.htm#1

Q1/3・3^x+3・3^-x=3^x+3^-xを満たすxの求め方がわか

1/3・3^x+3・3^-x=3^x+3^-xを満たすxの求め方がわかりません・・・。
多分基本的な事を理解出来ていないのだと思います。
どなたか解法を教えて下さい。

Aベストアンサー

まず1/3・3^x+3・3^-x=3^x+3^-xの両辺に3^xを乗ずる。
すると(1/3)*(3^x)^2+3=(3^x)^2+1となる。
これを式整理すると,(2/3)*(3^x)^2=2
すなわち(3^x)^2=3となります。
ここで3^x>0であることより3^x=√3
よってx=log[3]√3=log[3]3^(1/2)=1/2

わかりましたか??


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