どうも、こんにちは。
私は今数論の本を書いているのですが、
その中で、自然数の定義についてどのように
書けばいいのか分からず困っています。
色々と数論の本は見てみましたが、
どれも「物を数える際に使用する数」とか、
そんな大まかなことしか書いてありません。
私が欲しいのは、自然数の厳密な定義です。
どなたかご存知でしょうか。
また、貴方だったら自然数をどのように定義しますか。

左にもある通り、暇だったらでいいので
回答くださいませ(^-^;

A 回答 (2件)

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225
で似たような話が出たばかりです。

●ひとつのやり方は
空集合をφで表すことにすると

無限公理:「φ∈x、n∈x→ (n∪{n}) ∈x、を満たす無限集合xが存在する。」

を前提として、
0=φ
1=0∪{0} = {0}
2=1∪{1} = {0,1}
3=2∪{2} = {0,1,2}
 :
だけを含む無限集合ωの存在を示し、さらに数学的帰納法が使えることを証明する。

●別のやり方としては、ペアノの公理を公理系として最初から採用してしまう。

専ら自然数の性質を論じたければ、後者の方が手っ取り早いでしょう。
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この回答へのお礼

前者は下の方と一緒ですね。

後者については、今まで考えたことも無かったですf^^;
まあ、自然数の定義の仕方としては、
こういう感じがいいんでしょうね。


……でも、下の方のリンク先にもあった通り、
自然数の定義の仕方は一つだけじゃないんで、
もっと自分なりの定義の仕方を考えてみます。
どうもありがとうございました。<お二方

お礼日時:2002/02/20 02:18

このようなページを発見しましたので参考にしてください。



参考URL:http://h.iwa.hokkyodai.ac.jp/mathedu/subjects/nq …
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この回答へのお礼

見てみました。
で、こういった定義の仕方は、
実は位相の時間で先生が説明をしていました。

実を言うと、私はこの定義の仕方はあまり好きではないんですよ。
例えば、空集合を一つの集合として、
その個数を1としているわけじゃないですか。
空集合ってのは元が無い集合なのに、
何で無いものがあるんだってことを考えると
次第に混乱してきてしまって……
(いや、頭では分かるんですけどね。)

だから、正直これとは別の定義をしたいと思うのですが。
スミマセン、このことは最初に書いておくべきでしたね。

お礼日時:2002/02/20 02:12

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Q「完熟トマト」の定義とは?

野菜や果物には「完熟〇〇」という表現があります。ものによって「完熟」の定義が違うと思いますが、「完熟トマト」の世の中共通の定義というものが有るのでしょうか?
有るのでしたら内容を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

農産物流通です。
通常市場に持ち込まれるトマトは薄いピンクすら入る以前のものです。
そうしなければ流通(時間や扱い)に耐えられないでしょうね。

では、「完熟」はというと完熟トマトの共通の定義がないので曖昧です。
本当に完熟、つまり収穫してすぐに食べる状態では流通させると確実に割れます。
うちでは完熟トマトとして販売している頃はカラーチャートで7~8段階で収穫してもらっていました。
見た目は全体が赤く完熟ですが赤がまだ薄いです。

現在は「完熟」という表現が曖昧なことと本当の完熟ではないことから
消費者に優良誤認を与えかねないということで、表示・表現をやめています。

自らの団体が定義をつけ、それを常に消費者に案内していれば
「完熟」という表現を使っても許されそうですね。
例えば「○○産地の完熟基準・・・カラーチャート9段階で収穫し、消費者の手元に24時間以内で届けたものを完熟という」など。

Q複素関数論の特異点の定義の流儀

複素関数論の特異点の定義を見ると、「非正則点=特異点」という流儀と、非正則点のうち、うまく近傍をとれば正則点を排除できるものは特異点の定義から除外する流儀がありますよね。なぜ、このような違いがあるのでしょうか。

Aベストアンサー

<回答No.2補足

<(1) すみませんでした.これは僕がミスリードしてますね.弁明させてもらうと,最初に質問を見たときには(久々の複素解析で)孤立特異点と勘違いしていてごちゃまぜにしていました.(つまり孤立特異点の定義に除去可能な特異点を含めない流儀があるのかと読み間違えました.) なので最初の回答はたぶん本件には無関係です.

<(3) 問題点は理解できました.この件に関して本を読んでみると僕自身いろいろ勉強になったのでまずそれをまとめます.手元にあった本でしか調べていないのはご了承ください.

まず学部の頃に使っていた教科書『複素関数入門』(神保道夫) は本筋では孤立特異点しか定義していません.ちなみにその定義は次の通り.「領域D上の関数f(z)に対して,c∈D が孤立特異点であるとは,十分小さいr > 0をとるとき0 < |z - c| < rでf(z)が正則であることをいう.」続けて「この定義では特にz = cでf(z)が正則な場合も点cを孤立特異点と呼ぶことに注意しておく」とあるように,ここは流儀で分かれるようです.特異点の定義は注意4.17の中で与えられています:「関数f(z)が点aで収束べき級数に展開できないとき,z = aを特異点と呼ぶ.」これはひとつめのpdfにある定義と同じですね.またpdfの中で「以後特に断らない限り,孤立特異点のみを扱う」(p.57)とあるように今まで受けた講義を思い返してみても専ら孤立特異点だけしか問題にしてこなかったように思います.

また『数学事典(第4版)』にも孤立特異点の定義はあるものの,このような意味では特異点という言葉は定義されていません.ちなみに孤立特異点の定義は上と同じです.

まとめると,数学系ではそもそもこの意味では特異点という言葉をあまり使わないというのが実状のように思います―ただ僕は専門家でも何でもないので勘違いかもしれませんが.気になったら図書館へ言って複素解析の本にある定義を片っ端から探してみてください,たぶん合っていると思います.というわけで,僕の理解した範囲でもっともらしい解釈は次のふたつa, bのいずれかだと思います.

ふたつめのpdfでは非標準的な定義が採用されている.これは(a)著者の間違い(専門は原子核物理のようですし)あるいは(b)病的な例を排除するためである(けれども,こういうことは数学者の方が拘りそうなのであまりなさそう).

とは言うものの専門家でない素性の知れない人の解釈は信用に値しないというのであれば,いっそ本人に連絡をしてみて訊いた方が良いかと思います.そのときは結果を知らせてください.

<回答No.2補足

<(1) すみませんでした.これは僕がミスリードしてますね.弁明させてもらうと,最初に質問を見たときには(久々の複素解析で)孤立特異点と勘違いしていてごちゃまぜにしていました.(つまり孤立特異点の定義に除去可能な特異点を含めない流儀があるのかと読み間違えました.) なので最初の回答はたぶん本件には無関係です.

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Qガラス転移の定義とは??

ガラス転移の定義を、自分の言葉でテストに書いたら
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ガラス転移の定義ってなんですか??
ちゃんと決まっている言葉(定義)なのですか??
なんか調べてもぱっとこなくて・・・
なんとか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

あなたの回答を教えて下さい。テストの回答はないのですか?
質問の回答に困ります。

以下参考まで。
ガラス転移とは,ガラスを過熱するか,またはガラスになる過冷却液体を
冷却した時その物質の融点又は液相温度の2/3~1/2の温度付近で,熱膨張
係数や比熱容量突然変化する温度,"ガラス転移温度が存在すること。
ガラスは過冷却の液体である。との言い方もできる。(ガラスの事典より)

 ガラス転移現象とは、過冷却状態からガラス状態に移るときに性質が
大きく変わる(例えば熱膨脹係数が急に小さくなる)現象をいい、ガラス
転移現象を示す温度をガラス転移温度(あるいはガラス転移点)と呼びます。

 ガラス転移とは、温度を変えたときに、アモルファス固体相が示す、比
熱や熱膨張係数のような熱力学的微分量が結晶的な値から液体的な値へと
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になり、最終的にはほとんど停止する。この過冷却液体が運動性を失う現
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却液体)でしか起きない(固体である結晶は融解するだけ)。
 

あなたの回答を教えて下さい。テストの回答はないのですか?
質問の回答に困ります。

以下参考まで。
ガラス転移とは,ガラスを過熱するか,またはガラスになる過冷却液体を
冷却した時その物質の融点又は液相温度の2/3~1/2の温度付近で,熱膨張
係数や比熱容量突然変化する温度,"ガラス転移温度が存在すること。
ガラスは過冷却の液体である。との言い方もできる。(ガラスの事典より)

 ガラス転移現象とは、過冷却状態からガラス状態に移るときに性質が
大きく変わる(例えば熱膨脹係数が急に小さく...続きを読む

Q自然数の定義はこれで正しい?

自然数の定義を知りたく思っております。

Peanoの公理というものを見つけました。いちいちよく分かりませんでしたが

集合A(≠φ)に対し,
{f:写像 ; 「fは単射」,且つ,「f(A)\Aの元はただ一つでそれをeで表す」,且つ,「{S(⊂A) ; e∈S,f(S)⊂S}={A}}≠φ
の時、Aを(fとeに関しての)自然数の集合といい、Aの元を自然数という。

言い換えれば、

集合A(≠φ)に対し,
(i) fは単射
(ii) f(A)\Aの元はただ一つでそれをeで表す
(iii) {S(⊂A) ; e∈S,f(S)⊂S}={A}
なる写像fが採れる時、Aを(fとeに関しての)自然数の集合といい、Aの元を自然数という。

このようなAは複数(無数)取れるが構造(体系?)が同じものを同一視すればこのような集合はただ一つしか存在しない。
この時、Aを(ゴシック体の)Nで表す。

と自分なりに解釈したのですが正しいでしょうか?

Aベストアンサー

後継者関数 a|→a∪{a} の定義域は集合全体です。
そのため後継者関数は実は関数の仲間には入りません。
# 関数の定義域は集合でなければならないが、集合全体は集合でないため

ただ後継者関数をある集合に制限したものは関数になります。

> 簡単に言えば、自然数とは
> {φ,φ∪{φ},(φ∪{φ})∪{φ∪{φ}},…}
> の元の事であり、この集合をNと置くと言ってもいいのでしょうか?

集合論で自然数を構成的に定義するときにはそうしますね。
# ちなみに集合論では自然数に0を含めて定義することが多いです
# 0=φと置くとn+1={0,1,...,n}と自然に記述でき自然数nの要素数がnになりますので

Qダイアディックの絶対値の定義とはなんでしょうか?

ダイアディックの絶対値は、どのように定義されているのでしょうか?

Aベストアンサー

ダイアディックについては私も夢中になって勉強しましたが、実際に物理学の中で応用したことはありません。知識だけなので、回答すべきじゃないのですが、他に回答がつかない様なので、少しでも参考になれば、と書かせていただきます。

そもそも、ダイアディックに絶対値というものが定義されているとは知りませんでした。Gibbsは不変量として、first、second、thirdを定義しているので、絶対値の定義として相応しいものがあるのなら、この中のどれか、ということになるでしょう。

firstはマトリクスでいうところのトレースに相当します。secondはなんとも言い難いですが、thirdはマトリクスでいうところのデターミナントに相当します。よって、ダイアディックに絶対値が定義されるのであれば、不変量のthirdが相応しいかと思います。

ご参考までに。

Q自然数の集合論的な定義について

自然数の集合論的な定義を知りましたが、こう定義するメリットはあるのでしょうか?
見事な定義であると賞賛している本がありますが、「自然数とは何か」「1とは何か」という問いに真正面から答えるものではまったくないと思いますし、わざわざこんな風に定義する必要があるのでしょうか?
なんだか、なんでもかんでも集合論で基礎づけてやろうという強引さが感じられるのですが。
なお、当方、数学に関しては無知ですので、容赦ないコメントはご遠慮ください。
優しくご指導お願いします。

Aベストアンサー

前の回答者の方々の回答に全面的に賛成しつつの補足みたいなものです。
集合における自然数の定義とされるものは、自然数なら満たすとされるであろう条件群を満たすように作られています。その条件群が公理であり、このような集合をその公理のモデルと言います。つまり、数学的には集合による定義というよりは、自然数の公理系(現代的にはペアノの公理ではなくペアノ算術PAが普通)を満たす模型を(標準的な)集合論の中で構築してみせたということです。定義自体はPAでなされていると考えるべきでしょう。
数学をやる上で自然数とは何かというのは、本音では「我々の知っているはずのあの自然数」なんですが、この「あの自然数」に対して本当にすべての面で皆に共通認識がある保証はありません。したがって、たとえば

自然数の理論内の言語で表された閉じた文で証明できないものがある

とか

自然数の理論と集合論の理論には演繹も含めた対応がある

などといった主張について語る場合、「あの自然数」ではたとえば理論の範囲を定めることは不可能であり、数学で扱うことができなくなります。しかし、公理により自然数を特定すれば、理論の範囲も明確になり、上記の定理も実際に証明されています。このように、自然数やその理論について語る場合、明確な定義である公理化が不可欠になります。
ところが、その公理が矛盾していると、理論は何も示すことができなくなります(正確には何でも示すので使い物にならない)。標準的な集合論は様々な状況証拠のようなものから矛盾していないと信じられていて(矛盾がないことを万人が納得するように示すことは事実上不可能)、矛盾のない公理系だけが集合でモデルをつくることができるとわかっています。集合論で自然数を「定義」できるということは、自然数の公理系がまず矛盾しないという保証が与えられることになります。
このように、集合論で自然数を定義することは自然数の公理系が矛盾しないであろうという保証を与え、その保証の元で明確に定義された自然数・自然数の理論などを数学の対象として扱えるようになるため、このような定義がされるわけです。
なお、このような自然数の公理系が我々の知っているあの自然数を表していない可能性もあります。そうなり使えないとなったら困るんじゃないかと思われるかもしれませんが、そうなったら公理系を代えれば済むことです。数学は絶対的真理じゃなくただの道具ですから。

前の回答者の方々の回答に全面的に賛成しつつの補足みたいなものです。
集合における自然数の定義とされるものは、自然数なら満たすとされるであろう条件群を満たすように作られています。その条件群が公理であり、このような集合をその公理のモデルと言います。つまり、数学的には集合による定義というよりは、自然数の公理系(現代的にはペアノの公理ではなくペアノ算術PAが普通)を満たす模型を(標準的な)集合論の中で構築してみせたということです。定義自体はPAでなされていると考えるべきでしょう。
数学を...続きを読む

Q中学2年図形の証明についての質問です。定義、定理、仮定の違いとは…

非常に初歩的な質問ですみません。
今の私の解釈では・・・

【仮定】
・問題文に出てきた事象。
・結論にはなり得ない。

【定義】
・証明をしなくてもわかりきっている(知識として丸覚えしなければならない)特徴。
・問題を解く際、答えでここへたどり着く証明をすれば、その図形であることがいえる(例:~により、AB=CB(2辺の長さが等しい)なので三角形ABCは二等辺三角形である)。つまり、結論になり得る。

【定理】
・以前証明してはっきりした特徴。
・結論になり得る?

習った内容をすっかり忘れてしまい、結論になり得るのはてっきり「定義」のみかと思って問題集の証明を解いていたのですが、どうやら模範解答を読むと定理も結論にしていいようで…

つまりは・・・
・定義と定理の違いはさほどなく、両方とも図形の特徴(性質)である。
・よって、定義のみならず定理も丸覚えせねばならない。
ということになるのでしょうか?

図形の性質については小学校でも触れているので、定義と定理にさほど違いが無ければ、とりあえず特徴を片っ端から思い出して証明を解けばいい話なのでちょっと気が楽になっていいなあと思っているのですが・・・如何でしょうか?

非常に初歩的な質問ですみません。
今の私の解釈では・・・

【仮定】
・問題文に出てきた事象。
・結論にはなり得ない。

【定義】
・証明をしなくてもわかりきっている(知識として丸覚えしなければならない)特徴。
・問題を解く際、答えでここへたどり着く証明をすれば、その図形であることがいえる(例:~により、AB=CB(2辺の長さが等しい)なので三角形ABCは二等辺三角形である)。つまり、結論になり得る。

【定理】
・以前証明してはっきりした特徴。
・結論になり得る?

習った内容をすっかり...続きを読む

Aベストアンサー

「定義」は決められた事です。
例えば直角三角形の定義は「内角の1つが直角である三角形」。
決まったことなので、理由も何もありません。

それに対し、「定理」は証明により導き出された法則です。
例えば「ピタゴラスの定理」。
これは「~なので、ピタゴラスの定理により、三角形ABCは直角三角形である」
という風に証明に使うことができます。

「定理」はもちろん丸暗記していると便利ですが、証明により導き出すことができるので、必ず丸暗記しなければならないということはありません。

Q数論幾何学を学ぶための前提としてやっておくべきことを教えてください

数論幾何学を学ぶための前提としてやっておくべきことを教えてください

当方、某旧帝理学部在籍、数学科志望の1年です。
数論幾何学という分野に漠然と憧れを抱いています。
しかし、前提となる知識が多いようで、今後どのように勉強したらいいのかよくわかりません。
現在は、微分積分、線型代数に関して基本的な知識はあります。具体的にいうと、高木貞治先生の『解析概論』、佐武一郎先生の『線型代数学』に書いてある程度のことなら理解できます。
数学以外のこと(たとえば外国語など)に関することでも構いませんので、アドバイスを頂きたいです。

Aベストアンサー

>高木貞治先生の『解析概論』、佐武一郎先生の『線型代数学』に書いてある程度のことなら理解できます
1年生でこれは立派。自分でこうした本を読めるのなら、今後も数学的な困難は何とかなると思う。

ただ、質問者には「自分で未知の分野に挑むための、準備をする能力」が足りないと感じる。
大学の教養課程までの、勉強としての数学には、準備をする能力は不用である。なぜなら、やるべきことはすでに決まっていて、学生はそれに沿って学習を進めればよいだけだからだ。
しかし、学部に所属し専門課程に入ると、自分のやりたい分野・興味のある分野に関連した情報を、自分自身で集める能力も同じくらい必要になる。それがないから、ここで質問することになるわけである。
今回は私が回答するが、次回以降、より専門的な質問には回答できる人がいなくなるかもしれない。だから、そうした疑問を自分自身で解決できるような能力を鍛えておくべきだと思う。
とは言え、情報収集は別に難しいことではない。理学部に数学科があるのなら、そこ(か大学院の数学研究科みたいなところ)に教授や助教授・助手(准教授)も在籍しているだろう。その中で、自分の興味のある分野に近い分野の研究をしている方にメールしたり、研究室を訪問したりして、どのような準備が必要か、相談するのがよいのではないだろうか。
1年生の内は、知識の少なさや研究の作法みたいなものに不慣れなことから、敷居を高く感じてしまうかもしれない。しかし、その程度のことで失礼を感じて怒ってしまうほど、先生方は怖くはない。勇んで質問に行こう。絶対に損はしない。

では本題を。
数論幾何学のために次に知るべきなのは、代数学(特に環論)、および幾何学(ユークリッド幾何学ではなく非ユークリッド幾何学、多様体論というもの)だろう。
代数学は、最近でも良い教科書が何冊でも出版されているので、私の古い知識からお奨めを挙げるのはやめておく。本屋で手に採って探すなり、3年生以降がどのようなテキストを授業に使っているかシラバスで調べるなりして見つけて欲しい。
多様体論は、「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)が今も初学者の定番のようだ。もちろん、他に良い本があると聞いたのならそちらでも良い。

これらの勉強が終わったら、それ以降の勉強に関する質問はこのサイトの回答者の手には余るだろう。
そうなるまでに、良い相談相手の先生を探しておくのが良い。

あと外国語だが、英語が英検2級に受かる程度の実力なら、学部の内は困らない。ただ、将来研究者になって、海外の研究者と話せるようになっておくための勉強を、英語サークルなどで進めておくのも良いと思う。
なお、第2外国語は、結局要らなかった気がする。

>高木貞治先生の『解析概論』、佐武一郎先生の『線型代数学』に書いてある程度のことなら理解できます
1年生でこれは立派。自分でこうした本を読めるのなら、今後も数学的な困難は何とかなると思う。

ただ、質問者には「自分で未知の分野に挑むための、準備をする能力」が足りないと感じる。
大学の教養課程までの、勉強としての数学には、準備をする能力は不用である。なぜなら、やるべきことはすでに決まっていて、学生はそれに沿って学習を進めればよいだけだからだ。
しかし、学部に所属し専門課程に入ると、...続きを読む

Q要件定義書とは?

すみません教えてください。
私は設計を全くしたことがなくて馬鹿みたいな質問かもしれませんが

設計を行う上で「要件定義書」をかかなければならないと
思うのですが、その要件定義書にはなにを記載すればいいのか
具体的に教えていただけないでしょうか?

さらに大雑把な質問ですが、案件を受注して仮に外注に仕事を
投げる場合、どこらへんまで、こちらで物を作ったらいいのでしょうか?

馬鹿みたいな質問ですがもしよろしければお教え下さい。

Aベストアンサー

「要件定義書」自体、さまざまな定義があるようですが、基本的にはクライアントから「RFP(Request For Proporsal)要求定義書」が提出されるケースもありますが、クライアント側にシステム部門がなかったり、システム知識がない場合には、要件のヒアリングをしたうえでヒアリング結果をまとめた「要件(要求)定義書」を作成します。いわゆる新システムの青写真になります。
記載項目は以下のもので網羅されていると思います。参考にしてください。
・開発案件名
・開発の目的と背景
・効果予測
・システム稼動開始予定時期
・開発案件概要
・全体実現イメージ
・導入後の見通し(データの増加予想など)
また、外注に振る場合は、要件のヒアリング作業から参画してもらい外注に要件定義書を作ってもらうこともよいと
思います。

Q「3桁の自然数」 →0は自然数?

百の位、十の位、一の位のうち、いずれかは偶数であるような3桁の自然数の中で、各位の数の和が奇数であるものは幾つあるか。

模範解答
百の位、十の位、一の位のうち、1つの位だけが奇数で、他の2つの位は偶数である。
そのような場合には、次の[1]~[3]がある。

[1] 一の位が奇数、他の位が偶数のものについて
百の位は2, 4, 6, 8の4通り
十の位は0, 2, 4, 6, 8の5通り     ←0???
一の位は1, 3, 5, 7. 9の5通り
よって、4×5×5=100個
[2]
 :
・・・と続くのですが、
こういう類の問題で「3桁の自然数」と言った場合、
その範囲は100~999ですか?
最上位の位以外なら0が含まれていてもいいんですか?

自然数の定義は「0を含まない」ですよね? ←確認
ですから、「3桁の自然数」と言った場合、
それぞれの位は1~9までの数で構成されるべきじゃないんですか?
特に今回は、それぞれの位が偶数か奇数かという話をしているので
各位も自然数なのかと思いました。
100や510が自然数なのは承知しています。
でも、この問題の書き方が曖昧に思えてなりません。
どうか私を納得させて次から間違えないようにさせて下さい。お願いします。

百の位、十の位、一の位のうち、いずれかは偶数であるような3桁の自然数の中で、各位の数の和が奇数であるものは幾つあるか。

模範解答
百の位、十の位、一の位のうち、1つの位だけが奇数で、他の2つの位は偶数である。
そのような場合には、次の[1]~[3]がある。

[1] 一の位が奇数、他の位が偶数のものについて
百の位は2, 4, 6, 8の4通り
十の位は0, 2, 4, 6, 8の5通り     ←0???
一の位は1, 3, 5, 7. 9の5通り
よって、4×5×5=100個
[2]
 :
・・・と続くのですが、
こういう類の問題で「3桁の自然数...続きを読む

Aベストアンサー

>最上位の位以外なら0が含まれていてもいいんですか?
いいんです。

>自然数の定義は「0を含まない」ですよね? ←確認
そのとおり。

>100や510が自然数なのは承知しています。
そのとおり

>各位も自然数なのかと思いました。
各位も自然数だとする問題もあります。


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