ええと、中一の理科の密度の計算なんですが、数学に出すか、科学に出すか、迷ったあげくにこっちに出しました。
それで本題に入りますが、密度の計算の問題で半端な答えが出たのでたんですけれど...
「体積90[cm^3]の液体Bに、Bとは異なる種類の液体Cを90[cm^3]加えたところ、液体の質量が全体で154[g]になりました。液体Cの密度は何[g/cm^3]でしょうか。(液体Bの密度は1[g/cm^3]です。)」という問題ですが。
ちなみに私の答えは32/45[g/cm^3]というしっくりこない数字なんですが...
回答待ってます!!!

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A 回答 (4件)

> 数学に出すか、科学に出すか、迷ったあげくに


> こっちに出しました。
 御質問の本質ではありませんが,内容から考えると「科学」か「化学」の方が良かったかも知れませんね。

> ちなみに私の答えは32/45[g/cm^3]という
> しっくりこない数字なんですが...
 「しっくりこない」とはどういう意味でしょうか?「整数にならないのでおかしい」と言う事でしょうか。それでしたら大丈夫です。実際は分数ではなく小数に直して 0.71 とした方が「理科」としては良いと思います。
 ちなみに,密度が整数になるのは 25℃の水の 1.00 [g/cm^3] くらいのもので,ほとんどのもので小数になります。例えば,メタノ-ル(25℃): 0.786,エタノ-ル(25℃): 0.785。
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この回答へのお礼

いやはやその通りですね。
やっぱり分数は理科らしくないのでしょうかね。(f*_*)
勉強になりました。

お礼日時:2002/02/19 13:46

回答の数字について補足回答します。



理科では数学と違いきっちりとした数字でなくてもいいのです。でも分数は止めましょう。
そして有効桁数を良く考えて回答しましょう。(通常端数は四捨五入です。)

例えば、単位は今回は無視します。
1/3 →  0.33
2/3 →  0.67
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液体B:密度が1g/cm^3であるから → 体積90cm^3で質量90g



質量保存の法則より、154g中90gが液体Bの質量だから液体Cの質量は64g

液体Cは、64gで体積が90cm^3だから、密度は64/90=32/45[g/cm^3]であっていると思います。
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私も計算してみましたが、32/45gですね。


ただ、理科で分数が出ていいのでしょうか?
基本的に小数で答えを出すように言われていると思うのですが。
しかし例外的に分数でも良い答えがあったような気もするんですよね。
私の解答としましては、32/45(=0.71)g/cm^3ということにします。
※32/45=0.7111…

分数で書くべきか小数で書くべきかわからないので自信なしで。
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Q土粒子の密度計算について

水で飽和した粘土の含水比は52 %で、湿潤密度は1.72 g/cm3である。土粒子の密度を求めよ。

計算したくてもできませんでした。
この条件で土粒子の密度はでますのでしょうか?

Aベストアンサー

土粒子は水に溶解しないとする。
水で飽和した粘土=水と土粒子の混合物、1[cm^3]中の
Vw:水の体積[cm^3]
Vs:土粒子の体積[cm^3]
Mw:水の質量[g]
Ms:土粒子の質量[g]
とする。
また、
ρw:水の密度[g/cm^3]=1[g/cm^3]
ρs:土粒子の密度[g/cm^3]、これを知りたい。
ρ:湿潤密度[g/cm^3]=(Mw+Ms)[g]/(1[cm^3])=1.72[g/cm^3]
r:含水比=Mw/Ms=0.52
とする。

1.
Mw/Ms=0.52
Mw+Ms=1.72[g]
これを解いて、
Mw=0.59[g]
Ms=1.13[g]
2.
Vw+Vs=1[cm^3]
Vw=Mw/ρw=0.59[g]/(1[g/cm^3])=0.59[cm^3]
したがって、Vs=1-0.59=0.41[cm^3]
3.
土粒子の密度
ρs=Ms/Vs=1.13[g]/(0.41[cm^3])=2.76[g/cm^3]
か。

ちょっと高めの密度の土だね。

Q何故,[g]=[Ψ]1[f][Φ]^-1ではなく[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]なの?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]はΦ^-1,
[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]はf,
[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
結局[g]=[Ψ][f][Φ]^-1となると思ったのですがなぜか本には
[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]となっています。何処を勘違いしたのでしょうか?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→...続きを読む

Aベストアンサー

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(回答#2より)
[x]=[Φ][x']

同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

これらの関係から、
[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
となり、これを[y']=[g][x']と見比べると、
[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
>[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数(=成分)の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
[v][x]=[v'][Φ^-1]*[Φ][x']
[w][y]=[w'][Ψ^-1]*[Ψ][y']
と表してみてもわかる。ベクトルの成分[x']は行列[Φ]によって[x]にうつり、同じく成分[y']は行列[Ψ]によって[y]にうつっている。だから、同一の線形写像が
f:[x]→[y]
g:[x']→[y']
と表現されているなら、[Ψ][g][x']=[f][Φ][x']となっていて、いいかえると、
[x']→[y']の対応は、[x']→[x]→[y]→[y']という対応をたどったときも、一致していなくてはならない。だから、成分で考えたとき、[g]は、[Φ]→[f]→[Ψ^-1]と同一になるのである。つまり[g]=[Ψ^-1][f][Φ]。

あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(...続きを読む

Q混合密度の計算方法を教えてください

始めまして。混合後の密度計算の仕方を教えてください。

液体Pの純度は65%です(重量比、P液100グラム中にはPPが65グラム含まれています)。P液の密度は0.80固定とします。

液体Nは溶媒(溶剤)です。密度は0.75とします。

液体Pを溶媒Nに溶解した液体(PN)があります。
PN中のPPの濃度(重量比)を2%とすると、液体PNの密度はどうやって計算したらいいのでしょうか。濃度から混合液の密度は求められるという話を聞いたものですから、皆さんに質問させていただきました。
液体P中のPPのデータはありません。

理系の学問の化学にしてはちょっと程度の低い質問ですが、化学だめ、数学だめの私にとっては難問です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どうも、po-netと申します。

<方針>

液PにおけるPPと溶媒の濃度の比を用いて、液体PNにおけるNの濃度を求めます。
そして、そこから導き出された(液体PNの)それぞれの濃度と、液体Pと液体Nの密度から、液体PNの密度を求めます。
また、溶液濃度は全て同じ単位を使っていることから数字をそのまま使うことができるのにも着目します。


<解き方>

まず、PとかNですと(私が)イメージしにくいので、
PP=砂糖、液体N=しょうゆ、液体Pの溶媒=水、液体PN=調味料
としましょう。
後で元に戻してください。
絵に描くとより分かりやすいです。。。

こう考えると液Pは濃度65%の砂糖水、つまり
砂糖:水=65:35(=13:7)   ・・・(1)
ということですよね?
(ここの意味を取り違えていたらゴメンナサイ)

(1)より、式を変形して
水=砂糖×(35/65)        ・・・(1)'

さて、問題によると、砂糖水としょうゆと混ぜたとき、知りたい事の第一段階であるしょうゆの割合をX%とししたとき、こんな関係ができます。
しょうゆ:砂糖水=X:100-X    ・・・(2)
砂糖水=砂糖+水=100-X      ・・・(3)
砂糖=2                ・・・(4)

さあ、あとは数学の問題です。
(1)’、(2)、(3)、(4)より
砂糖水=???%  (=Yとします)
しょうゆ=X=???%   (自分で計算しましょう♪)

調味料における砂糖水、しょうゆの割合が分かったところで、やっと密度の計算に入ります。
・砂糖水の密度は0.80 → コレが全体のY%   ・・・(5)
・しょうゆの密度は0.75 → コレが全体のX%  ・・・(6)

(5)、(6)より、全体の密度は
 (0.80Y+0.75X)/100 (これは自分で計算しましょう♪)
で求まります。

____________________________________

5年位前の事なんで、かなり自信ないけど書いてみました。
あっているかどうか分かりませんが。。。
間違えていたらごめんね。。。

どうも、po-netと申します。

<方針>

液PにおけるPPと溶媒の濃度の比を用いて、液体PNにおけるNの濃度を求めます。
そして、そこから導き出された(液体PNの)それぞれの濃度と、液体Pと液体Nの密度から、液体PNの密度を求めます。
また、溶液濃度は全て同じ単位を使っていることから数字をそのまま使うことができるのにも着目します。


<解き方>

まず、PとかNですと(私が)イメージしにくいので、
PP=砂糖、液体N=しょうゆ、液体Pの溶媒=水、液体PN=調味料
としま...続きを読む

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q3種類の液体を混合した時の密度計算を教えてください

お世話になります。密度計算について教えてください。

液体A中には最高純度50wt%で物質AAが溶けています。
純度50wt%の液体Aの密度は0.8です。
純度は常に一定ではありません。

液体B中には最高純度75wt%で物質BBが溶けています。
純度75wt%の液体Bの密度は0.95です。
同じく純度は常に一定ではありません。

液体Cの密度は0.75です。
温度は一定とします。

液体AとBの混合液(もしかしたらさらにCも混ざっているかもしれない)が300リットルあります。
混合に用いた液体AとBの純度は不明です。
混合液中に含まれるの液体Aの純品の濃度を25%とします。
さらに混合液中には液体Aの純品の半分のB液中の純品が含まれるとすれば
混合液300リットルの密度を計算で求めることは可能でしょうか。

Aベストアンサー

 ご質問内容が分かり難いのですが,結論を言いますと『混合液300リットルの密度を計算で求めることは不可能』です。

 密度を求めるには,その物質の質量と体積が分かっている必要があります。今の場合,混合液の体積は 300 リットルと分かっていますが,質量が分かりません。

 『液体Aの純品の濃度を25%』,『液体Aの純品の半分のB液中の純品が含まれる』の「%」を「重量対容積%」と考えれば,各純品(AA と BB ?)の質量は求まりますが,それらを溶かしている溶媒の質量は分かりません。

 ましてや,『もしかしたらさらにCも混ざっているかもしれない』となると C の重量(どれだけ入っているか)も考えないといけません。

 と言う訳で,お書きの混合溶液の密度は計算では求まりません。

Qはたしてlim[h→∞](1+h)^(1/h)やlim[h→∞](1+1/h)^hやlim[h→0](1+1/h)^hの極限は?

自然対数e≒2.71828の定義は
e:=lim[h→0](1+h)^(1/h)
ですが
これに対して
lim[h→∞](1+h)^(1/h)

lim[h→∞](1+1/h)^h

lim[h→0](1+1/h)^h
の極限はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

log{ (1+h)^(1/h) } = log(1+h)/h -> 0 ( h -> ∞ )ですね

(1+1/h)^h = (1+t)^(1/t) ( t = 1/h) ですね

Q密度の計算なんですが...

ええと、中一の理科の密度の計算なんですが、数学に出すか、科学に出すか、迷ったあげくにこっちに出しました。
それで本題に入りますが、密度の計算の問題で半端な答えが出たのでたんですけれど...
「体積90[cm^3]の液体Bに、Bとは異なる種類の液体Cを90[cm^3]加えたところ、液体の質量が全体で154[g]になりました。液体Cの密度は何[g/cm^3]でしょうか。(液体Bの密度は1[g/cm^3]です。)」という問題ですが。
ちなみに私の答えは32/45[g/cm^3]というしっくりこない数字なんですが...
回答待ってます!!!

Aベストアンサー

> 数学に出すか、科学に出すか、迷ったあげくに
> こっちに出しました。
 御質問の本質ではありませんが,内容から考えると「科学」か「化学」の方が良かったかも知れませんね。

> ちなみに私の答えは32/45[g/cm^3]という
> しっくりこない数字なんですが...
 「しっくりこない」とはどういう意味でしょうか?「整数にならないのでおかしい」と言う事でしょうか。それでしたら大丈夫です。実際は分数ではなく小数に直して 0.71 とした方が「理科」としては良いと思います。
 ちなみに,密度が整数になるのは 25℃の水の 1.00 [g/cm^3] くらいのもので,ほとんどのもので小数になります。例えば,メタノ-ル(25℃): 0.786,エタノ-ル(25℃): 0.785。

Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

Q化学の密度計算

密度の計算をするときこれだけは覚えておかないと
とけないこと、式、気を付けるべき条件などあったら
教えてください。文系の人間なので式とか丁寧に
解説してください

Aベストアンサー

単位体積あたりの質量としての密度は国際単位系 (SI) では キログラム毎立方メートル(kg/m3)を単位として使用します。他にも g/cm3 = kg/L などの形で使われます。
固体や液体の密度はg/cm3などがよく使われますが、気体の密度については標準状態(0℃で1013hPa(1気圧))のときの1立方メートルの容積の質量kgや1リットル当たりの質量gなどで表示されます。
アボガドロの法則によって気体1モルの体積はすべての気体について同じでその体積は22.4リットルになります。
このため例えば酸素ガスの密度は標準状態ではつぎのように計算されます。
酸素ガスは酸素原子が2個結合した分子からなっており1モルの質量は酸素の原子量16*2 で32 gとなります。
標準状態での体積は22.4リットル(L)ですから
32 / 22.4 = 1.43 g/L
となります。

Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

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Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む


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