次の問題がいまいちわかりません・・・。
皆さん教えてください↓
一辺が1の立方体ABCD-EFGHを、対角線AGを含む平面で切断するとき、
切り口の面積の最小値を求めよ。

A 回答 (4件)

とっくにタイムオーバーだけど(自分なりの)回答。


率直に言えば、答えは(root6)/2。

(Proof)
理由は、立体の対角線AGを含む断面図は、
必ず平行四辺形になり、その平行四辺形は必ず
平行四辺形の対角線AGを含む。
ここで、切り口の平行四辺形と辺BGとの交点をP、
また、辺DHとの交点をQとする。
このとき、AGは長さ一定で、
切り口の平面の面積は、2つの対角線の積に比例する
(要証明、菱形等を例に取れば理解は容易だが、
一般的な四角形については演習問題とする)。
従って、もうひとつの対角線PQが最小になるところを探せば、
そこが切り口の平面が最小となる切り方である。
ここで、AGは固定されてるので、AGとPQが交わる点は
一意に決まり、PQの最小値は(見れば分かると思うが)
BP=FP(またはDQ=HQ)となるところである
(要証明、この証明は微積の知識を必要とする)。
このような切り口の図形は菱形となり、
あとはその面積を普通に計算すればよい。
(Proof end)

補足:ちなみに最大値はroot2で、
辺ABまたは辺ADを通るように切った場合の切り口。
このとき切り口は長方形になる。
これが最大であることの証明は、
先ほどの証明と同様なので省略。
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した、間違えました。


最後はAの2乗です。
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1辺をAと仮定します。


断面図を菱形と考え、短い対角線が"ルート2"A。
1:2:"ルート5"より、1辺の長さが"ルート5"A/2
よって、長い対角線は2。
菱形の面積の公式より、
「"ルート2"A*2/2="ルート2"A」ですかね?
自信なし。
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切り口の面積ということは



四角形ABFEを横切る切り口が辺EF上でEからxの位置にあると考えれば
切り口の面積sは

s=√(1+x^2) * √(1+(1-x)^2)

ですよね。
これを微分して極値を求めると、できると思います。
間違ってたらごめんなさい。
計算これからします。(自分計算遅いので…)
お急ぎのようなのでまずは解法まで。
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