次の問題がいまいちわかりません・・・。
皆さん教えてください↓
一辺が1の立方体ABCD-EFGHを、対角線AGを含む平面で切断するとき、
切り口の面積の最小値を求めよ。

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A 回答 (4件)

とっくにタイムオーバーだけど(自分なりの)回答。


率直に言えば、答えは(root6)/2。

(Proof)
理由は、立体の対角線AGを含む断面図は、
必ず平行四辺形になり、その平行四辺形は必ず
平行四辺形の対角線AGを含む。
ここで、切り口の平行四辺形と辺BGとの交点をP、
また、辺DHとの交点をQとする。
このとき、AGは長さ一定で、
切り口の平面の面積は、2つの対角線の積に比例する
(要証明、菱形等を例に取れば理解は容易だが、
一般的な四角形については演習問題とする)。
従って、もうひとつの対角線PQが最小になるところを探せば、
そこが切り口の平面が最小となる切り方である。
ここで、AGは固定されてるので、AGとPQが交わる点は
一意に決まり、PQの最小値は(見れば分かると思うが)
BP=FP(またはDQ=HQ)となるところである
(要証明、この証明は微積の知識を必要とする)。
このような切り口の図形は菱形となり、
あとはその面積を普通に計算すればよい。
(Proof end)

補足:ちなみに最大値はroot2で、
辺ABまたは辺ADを通るように切った場合の切り口。
このとき切り口は長方形になる。
これが最大であることの証明は、
先ほどの証明と同様なので省略。
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した、間違えました。


最後はAの2乗です。
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1辺をAと仮定します。


断面図を菱形と考え、短い対角線が"ルート2"A。
1:2:"ルート5"より、1辺の長さが"ルート5"A/2
よって、長い対角線は2。
菱形の面積の公式より、
「"ルート2"A*2/2="ルート2"A」ですかね?
自信なし。
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切り口の面積ということは



四角形ABFEを横切る切り口が辺EF上でEからxの位置にあると考えれば
切り口の面積sは

s=√(1+x^2) * √(1+(1-x)^2)

ですよね。
これを微分して極値を求めると、できると思います。
間違ってたらごめんなさい。
計算これからします。(自分計算遅いので…)
お急ぎのようなのでまずは解法まで。
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

数学の問題というより,言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
AB=A'B'
が(全て)成り立つならば,△ABC≡△A'B'C'

このとき,結果的に∠C=∠C'も成り立っています。
では,同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
(従って結果的に,∠C=∠C'でもある)

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
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>「2辺挟角」が「2辺1角」では合同にならないことは理解できています
とのことですので,最後の「3辺」について一言触れておきますと,三角形ですので,「3辺が等しい」のであれば,どう対応させようとも,合同になってしまうのです。(はしょった表現ですが通じるでしょうか)

数学の問題というより,言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
AB=A'B'
が(全て)成り立つならば,△ABC≡△A'B'C'

このとき,結果的に∠C=∠C'も成り立っています。
では,同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
(従って結果的に,∠C=∠C'でもある)

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
「1つの辺が等しい」
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私は空間の把握能力が劣っていると思われます。見ればわかる、はナシでお願いします。

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自明に思えることでも、言葉で表すのは一苦労ですね。


>1.もっとも合理的な解答とその理由を教えてください。

最も合理的かどうかは分かりませんが、考えたことを書きます。

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このとき、長方形 ACGE を含む平面と AC'GE' を含む平面が成す角度はθであり、三角錐 C'ACG と E'AEG は互いに鏡像(鏡映)となっているので、2 つの三角錐の体積は等しいです。三角柱 ACDEGH と ACBEGF も体積が等しいので、回転後の平面により立方体が 2 分割されたできた 2 つの立体も、体積が等しいことになります。

上の考察では長方形 ACGE を含む平面からスタートしてそれを少し回転させましたが、ADGF や ABGH からスタートしても、同様なことが言えます。

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>2.また面acge を拡大した平面に直線L が含まれることはどうやって証明できますか?

線分 AG は長方形 ACGE の対角線なので、AG は ACGE を含む平面に含まれています。また、AG は L の一部なので、L は AG を含む平面に含まれています。よって、L は ACGE を含む平面に含まれています。

自明に思えることでも、言葉で表すのは一苦労ですね。


>1.もっとも合理的な解答とその理由を教えてください。

最も合理的かどうかは分かりませんが、考えたことを書きます。

長方形 ACGE を含む平面を L の周りにθという小さな角度だけ回転させ、その平面と辺 CD が交点を持っている状況を考えます。その交点を C'、平面と辺 EF との交点を E' します。

このとき、長方形 ACGE を含む平面と AC'GE' を含む平面が成す角度はθであり、三角錐 C'ACG と E'AEG は互いに鏡像(鏡映)となっているので、2 つの三...続きを読む

Q証明写真撮影のライティング

証明写真撮影に特化したライティング機器設置位置の質問です。
機材は
ニコンD50 18-55mm 標準ズーム
180Wモノブロックストロボ(ガイドナンバ:36)×2
(モデリングランプ50wハロゲン)
白アンブレラ80cm×2
ソフトボックス60×60cm×1
ソフトボックス70×100cm×1
ライトスタンド×2
背景影消し用ストロボ×1

撮影環境は
バックはグレーのロールスクリーン
そこから50cmに被写体
更に被写体からカメラまで1m70cm
両脇は白壁(幅1m50cm)となっております。
光源は蛍光灯で自然光は入りません、蛍光灯の消灯は不可です。
天井は2m60cmあります
この限られたスペースで効率の良いライティング位置をなるべく具体的に教えていただけると幸いです。
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

あなたはどのような写真を撮りたいですか?
下の方とダブりますが、下記のページの右側の上と下の写真を見て考えてみてください。(後でまた見ますので別タブで開いてください。)
http://www.photofactory.co.jp/shoumeishashin2.html

 上の写真のように正面からストロボを発光させれば、全体的に明るい写真は撮れますが、フラットな感じになります。

 下のようにメインとなるストロボを斜め上方から当てると、人物に当たる光量の差(ストロボに近い部分ほど明るくなる)により立体感を表現することができます。
 この場合は下記のようにストロボをセットします。
http://fujifilm.jp/business/photo/fotorama/advice001.html

 ・基本スタンバイにあるカメラの位置はフジの場合ですから気にする必要はありません。
 ・影消しストロボについてです。一番上のURLの4枚の写真の背景を見てください。
  左上は全体的に均一で明るくなっていますが、他は下のほうが明るく上に行くに従って少しずつ暗くなっています。
  これは、ストロボの中心部をどこに向けるかで調整できます。
  フジの場合は頭部あたりを照らしているので発光量により異なりますが、背景は全体的に明るく写ると思います。
  ストロボの高さを低くすれば頭部辺りが暗めになります。高さが調整できない場合は角度で調整してください。
 このように調整しても背景が明るすぎる場合は人物と背景の距離を大きくします。

 次はライティングを入れたスタンバイ についてです。
 ・フジはメイン、フロントの両方とも上方30度の角度から照射しています。
  共に上方から照射したのであごのあたりの影が目立つことを考慮して、モデルの前方にレフを入れています。
 レフがなければテーブルにコピー用紙等を敷き詰めて配置するといいです。側面のレフはなくてもフロントである程度コントロールできます。

 ・メインの角度はフジの場合30度になっていますが、一般的には上方に45度以上が多いです。余裕があれば角度を変えて描写の違いを確認してみてください。

 ・ストロボと人物の頭部との距離はとりあえず、メインは1.4メートル、フロントは2メートルに設置してください。
  この後テスト撮影して、顔の部分の影が目立つようであればメインの光量を落とします。距離を1.5、1.6メートル・・・のように大きくするか、フロントを近づける。ストロボとアンブレラの距離で調整できるものもあります。

 逆にフラットな場合にはメインの光量を上げます。(上の逆)
 これは使用するアンブレラや、壁、天井、床の色の違い等により影のでき方が異なりますので、このように実際に撮影して調整してください。

 再度“髪の部分に注意して”一番上のURLの4枚の写真を見てください。
 ・右下だけ髪が明るくなっていますね。これは頭の上からストロボを発光させたからです。
  もしカメラの外付けストロボをお持ちでしたら、発光部にエンビの筒か、厚紙を丸めて筒状にしたものをテープなどで取り付けて、照射角度を狭めて髪の部分にだけ当たるようにして発光させればこのような写真を写すことが出来ます。ただし設置ができないと思いますので助手の方に高い位置から照射してもらうことになりますか・・・。
  そしてスレーブユニットも必要になります。
http://www.biccamera.com/bicbic/jsp/w/catalog/list.jsp?DISP_CATEGORY_ID=033011&PARENT_CATEGORY_ID=03&BACK_URL=camera/index.jsp&SPEC_VALUE1=033011,014,%83X%83%8C%81%5B%83u,,1,

 ところでカメラの設定のほうは問題ありませんか。

 専用ストロボであれば露出やホワイトバランスは自動で問題はないと思いますが、この場合はどうなのでしょう。

 オートでうまく撮れない場合にはマニュアルで撮影します。
 RAWで撮影し、シャッタースピードはX接点。
 絞りは、フラッシュメーターがない場合には絞りを一段ずつ変えて5~6枚撮影し、それらを液晶モニターで見て、その中から適正に近いもののF値を選びます。
 最後に、現像時に露出、ホワイトバランスを調整するといいです。

あなたはどのような写真を撮りたいですか?
下の方とダブりますが、下記のページの右側の上と下の写真を見て考えてみてください。(後でまた見ますので別タブで開いてください。)
http://www.photofactory.co.jp/shoumeishashin2.html

 上の写真のように正面からストロボを発光させれば、全体的に明るい写真は撮れますが、フラットな感じになります。

 下のようにメインとなるストロボを斜め上方から当てると、人物に当たる光量の差(ストロボに近い部分ほど明るくなる)により立体感を表現することが...続きを読む

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>結論のどちらが自分の実物の顔に近い、というのはわからないということでしょうか?
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1辺が1の立方体があります。この各頂点の対角線の交点を結んで出来る正八面体に内接する球の半径はいくらですか

Aベストアンサー

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2つの直角三角形の相似から
1/2:r=(√6)/4:(√2)/4
∴r=(√3)/6です。


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